数学人教B版 (2019)第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.1 函数及其表示方法优秀当堂达标检测题

3.1.1函数及其表示方法人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 下列各组函数的图象相同的是(    )

A.
B.  
C.
D.

2. 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象可能为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 下列各组函数中，与表示同一函数的是(    )

A. 与 B. 与
C. 与 D. 与

4. 在下列四组函数中，表示同一函数的是(    )

A. ，，，
B. ，
C. ，
D. ，

5. 已知函数的定义域为，则的定义域是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的大致图象为

A.  B.
C.  D.

7. 已知函数，(    )

A.  B.  C.  D.

8. 设函数的定义域是且，值域是且，则下列四个图像可以是函数的图像的为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列命题中，正确的有(    )

A. 函数与函数表示同一函数
B. 已知函数，若，则
C. 若函数，则
D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为

10. 已知函数的定义域为，值域为，则(    )

A. 函数的定义域为
B. 函数的值域为
C. 函数的定义域和值域都是
D. 函数的定义域和值域都是

11. 德国数学家狄利克雷在年时提出：“如果对于的每一个值，总有一个完全确定的  值与之对应，那么是的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个，有一个确定的和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为；当自变量取无理数时，函数值为以下关于狄利克雷函数的性质，其中表述正确的是(    )

A.  B. 的值域为
C. 为奇函数 D.

12. 下列各组函数中是同一函数的是(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 下列选项中，表示的是同一函数的是__________．
    ．，       
    ．．，      
    ．，
14. 设函数若，则实数          ．
15. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是___________．
16. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知的定义域为，求函数的定义域；
    已知的定义域为，求的定义域；
    已知函数的定义域为，求函数的定义域．
18. 已知函数．
    求的值；
    若，求实数的值．
19. 已知函数，且其图象过点

求的解析式；

当时，求的值；

求在上的值域．

20. 设，．

若，求的值；

求满足条件的函数的解析式，并写出定义域；

设的最小值为，求的最大值．

21. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

求函数在上的解析式；

是否存在非负实数，使得当时，函数的值域为？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由．

22. 已知函数的图象经过和两点．

求的解析式；

若函数，求的值域．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查函数的概念，是中档题．
两个函数图象相同，则要求对应法则相同，定义域相同、值域相同，逐项判断即可得．

【解答】

解：对于，函数的定义域为，值域为，
而 的定义域为，值域为，故A不合题意；
对于，函数的定义域为，值域为，
而 ，则与的定义域、值域均相同，解析式相同，故B符合题意；
对于，函数的定义域为，但的定义域为，定义域不同，故
不合题意；
对于，两个函数的解析式不同，故D不合题意；
综上，故答案为．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象．

首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．

【解答】

解：分两种情况讨论：

当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，

从而可以求得，

当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，

可求得，

所以

根据函数解析式从而可选出正确的图象，

故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查同一函数的判断，需要定义域相同，对应法则相同才是同一函数，属于基础题．
利用同一函数的判断条件判断即可．
【解答】
解：的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
B.的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数；
C.、的定义域都为，且，所以是同一函数；
D.的定义域为，的定义域为，所以不是同一函数．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了函数概念中同一函数的应用，属于基础题．
判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，逐一判断各选项的两个函数的定义域和对应法则是否一致即可得到结果．
【解答】
解：两个函数的定义域都为，但两个函数的解析式不相同，即对应法则不一样，故不表示同一函数；
B.的定义域为，的定义域为或，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
C.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不表示同一函数；
D.的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域相同，对应法则相同，故表示同一函数．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了求抽象函数的定义域问题，是一道基础题．
根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：，解得：，
由，解得：，
故函数的定义域是．
故选．  

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查有关函数图象的选择问题，涉及到的知识点有三角形的面积公式、函数解析式的求法、根据解析式选择合适的函数图象，属于中档题．
首先求出的解析式，在求其解析式的时候，关键是要根据题中所给的图，对的取值进行恰当的分类，然后分类讨论，给出分段函数的解析式后，再根据解析式画出函数的图象，求得结果．

【解答】

解：分两种情况讨论：

当时，可以求得直角三角形的两条直角边分别为，

从而可以求得，

当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形，

可求得，

所以

从而可选出正确的图象，

故选B．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查函数求值，计算和，进而可得结论．
【解答】
解：因为，
所以

；
，


．
．
故答案为．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数的定义域和值域，函数图象，属于中档题．
根据函数的定义，结合图象逐一分析判断即可．

【解答】

解：观察发现，每一个图中都是一个对应一个，故都是函数图像．
对于，定义域是且，值域是，值域不满足
对于，定义域不满足
对于，定义域是且，值域是且，满足
对于，定义域不满足．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查同一函数的概念，函数求值，函数解析式以及抽象函数定义域，属于中档题．
分别求两个函数的定义域即可判断；由函数解析式可得若，则即可判断；利用配凑法可求解函数解析式，即可判断；结合抽象函数定义域即可判断．
【解答】
解：的定义域是
的定义域是，或，
两函数的定义域不同，故不是同一函数，A错误
函数，若，则，故B正确；
若函数，则，故C正确；
若函数的定义域为，则函数中，，即函数的定义域为，故D错误．
故选BC．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查抽象函数的定义域和值域，复合函数的定义域和值域，属较难题．
本题的难点是对复合函数的定义域和值域的理解，对于，由可得，即可得出函数的定义域进行判定；对于，因为有解，故函数的值域也是，由此即可判定函数的值域；对于，由即对恒成立即可判定；对于，取由复合函数的定义域的求解即可判定．
【解答】
解：对于，因为函数的定义域为，所以由，可得，函数的定义域为，故A错误；
对于，函数的定义域为，值域为，所以由选项A可得，函数的定义域为，所以函数的值域也是，所以函数的值域为，故B正确；
对于，令，因为函数的定义域为，所以，解得，因为对恒成立，所以函数的定义域为，又因为对于函数的值域为，所以函数的值域也是，即函数的值域也是，所以函数的定义域和值域都是，故C正确；
对于，令，则的定义域为，所以由，可得，所以函数的定义域为，故D错误．
故选BC．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数新定义问题，涉及函数的解析式，函数定义域与值域，函数的奇偶性，属于中档题．
根据新定义函数结合函数的性质逐项判断即可求解．
【解答】
解：由题得，则，A正确；
容易得的值域为，B正确；
因为，所以，为偶函数，不正确；
因为，所以，D正确．
故选ABD．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了同一函数的概念，属于基础题．
根据函数的定义域、对应关系都相同是同一函数即可判断．

【解答】

解：，
两函数的定义域与对应关系都相同，是同一函数，对；
函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，错；
函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数，C错误；
对于，两函数的定义域、对应关系相同，只是所用字母不同，是同一函数，D正确．
故选AD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的基本概念，关键是理解函数的三要素，即定义域、值域和对应关系，基础题．
对各选项求出函数的定义域和解析式，只要有一项不满足就不是同一函数．
【解答】
解：对于 项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，
故 与 不是同一函数；

对于 项， 的定义域为 ，且 
的定义域为 ，且对应关系和 一致，
故 与 是同一函数；
对于 项， 和 对应关系不一致，
故 与 不是同一函数；
对于 项， ，解得 ，所以 的定义域为 
，解得 或，所以 的定义域为 ，
故 与 不是同一函数；  

14.【答案】或 

【解析】

【分析】

本题考查分段函数，分类讨论是解决问题的关键．
根据分段函数的解析式，分类讨论即可．

【解答】

解：由题意可知函数

若，则，

当，即时，，解得，满足；

当，即时，，解得，不满足；

若，则，故，满足；

综上可得实数的值为或．

故答案为：或．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抽象函数的解析式，函数定义域与值域，以及不等式的恒成立问题，属于较难题．
根据，得到，再由时，，得到时，，以此类推解答即可．
【解答】
解：，
，
时，，
时，
时，
时，
时，
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则，
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考察函数定义域与值域、复合函数，属于中档题．
给出了函数的定义域为，求解的定义域，只要让，求解即可．
【解答】
解：函数定义域为，
，
则，
即函数的定义域为，
由，
得：，
要使函数有意义还需，
 由可得函数的定义域为．
故答案为．  

17.【答案】解：中的的范围与中的的取值范围相同，

，

，

即的定义域为．

由题意知中的，

，

又中的取值范围与中的的取值范围相同，

的定义域为．

函数的定义域为，

由，得，

的定义域为．

又，即，

函数的定义域为．

【解析】本题考查抽象函数的定义域的求法，解题时要认真审题，仔细解答，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．

由得：，进而即可求得结果；

根据题意可得，得，即可求得结果；

根据题意先求，且分母不为，进而即可求得结果．

18.【答案】解：函数，
，
，
．
，
当时，，解得，不成立；
当时，，解得；
当时，，无解．
综上，实数的值为． 

【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
先求出，再求出，由此得到，从而能求出结果
由，得到当时，，当时，，当时，，由此能求出实数的值．
 

19.【答案】解：由题意其图象过点得：解得；
解析式为

，即，解得；

，函数图象如图，
可知在为单调递减，因此值域为．

【解析】本题考查函数求值问题，以及考查利用数形结合求函数值域问题，属于基础题．
直接代入点，求解即可；

根据的解，得出的解析式，然后，解出该分式方程即可；

化简，然后，画图，利用数形结合即可求解在上的值域．

20.【答案】解：在，令可得：，

，，

解之得： ．

令，则，，

，

当时，，
当时，，

或，

， 

当或时，，

当时，，

当时，，

在上递增，在递减，

在时，取得最大值，

的最大值为    

【解析】本题主要考查函数的解析式，考查函数的定义域，考查分段函数的最值，考查函数的单调性，属于中档题．
令可得：，由，即可求出；
令，则，分情况讨论和，即可求出函数的解析式；
分情况讨论或，和，写出分段函数，由函数的单调性即可的最大值．
 

21.【答案】解：由题意，当时，，
当时，，
则，
因为是定义在上的奇函数，
所以，且，
综上所述，；
假设存在这样的符合题意，
由题意知，，
由知，当时，，当时，，
所以当时，，
故，即，，
故在上单调递减，
从而有，即
解得
故假设成立，即存在符合题意． 

【解析】本题考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，二次函数的性质，函数的值域，考查运算求解能力，属于中档题．
根据时，，结合奇函数的定义，求出当时，的表达式，再由，即可写出结果．
假设存在这样的符合题意，根据二次函数的性质，结合函数的值域可推出，进而判断在上单调递减，从而可列出方程组求解．
 

22.【答案】解：分别将和点代入函数，
得，解得，
故．
由得
当时，，则
当时，．
故的值域为 

【解析】本题考查了函数解析式以及函数值域，属于中档题．
将点和点代入函数解析式，即可求解；
根据指数函数性质分段求解函数值域即可求解．