2022池州一中高一下学期5月月考数学试题含答案

     2021～2022学年度第二学期年级5月考

高一数学

考试时间：120分钟  分值：150分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知点D是所在平面上一点，且满足，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

2. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.已知点是斜边的中点，且，则的边边上的高为（    ）

A. 1 B. 2 C.  D.

【答案】D

3. 在中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c．若，，，则（    ）

A. 30 B. 60 C. 60或120 D. 120

【答案】C

4. 下列选项中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

5. 2022年，池州市第一中学（原安徽省贵池中学）为庆祝建校120周年，成立了校庆筹备小组负责校庆方面的事务．小组成员遴选方法：学校把教师按年龄分为35岁以下，35—45岁，45岁及其以上三个大组．用分层抽样的方法从三个大组中抽取一个容量为12的样本．已知35—45岁组中每位教师被抽到的概率为，则该学校共有教师（    ）人

A. 294 B. 196 C. 176 D. 128

【答案】B

6. 在劳动技术课上，某同学欲将一个底面半径为4，高为6的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

7. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵中，，且.下列说法错误的是（    ）

A. 四棱锥为“阳马”

B. 四面体为“鳖臑”

C. 四棱锥体积最大为

D. 过A点分别作于点E，于点F，则

【答案】C

8. 如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列命题正确的是（    ）

A. 复数z1，z2模相等，则z1，z2是共轭复数

B. z1，z2都是复数，若z1＋z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数

C. 复数z是实数的充要条件是z＝(是z的共轭复数)

D. 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i(i是虚数单位)，它们对应的点分别为A，B，C，O为坐标原点，若(x，y∈R)，则x＋y＝1

【答案】BC

10. 已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（    ）

A. 若，且，则

B. 若相交，且都在外，，则

C. 若，且，则

D. 若，则

【答案】BD

11. 在中，角的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是（    ）

A.  B. 的面积为

C.  D. 为锐角三角形

【答案】AB

12. 如图，在直三棱柱中，，，M，N分别是，的中点，则下列说法正确的是（    ）

A. 直线∥平面 B. 的面积为

C. 四棱锥体积为 D. 四棱锥的表面积为

【答案】ACD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 在中，已知，则________________．

【答案】

14. 设复数，其中为虚数单位，若满足，则____________．

【答案】

15. 如图，在中，已知，，，，，线段AM，BN相交于点P，则的余弦值为___________.

【答案】

16. 如图，是边长为2的正方形，其对角线与交于点，将正方形沿对角线折叠，使点所对应点为，.设三棱锥的外接球的体积为，三棱锥的体积为，则__________．

【答案】

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 如图，已知在中，，，，点M，N分别在边AB，边AC上，且，点O为BN与CM的交点．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，，，，．

设，，，，．

因为N，O，B三点共线，所以，

则解得

故．

【小问2详解】

因为，

所以．

18. 设是虚数，是实数，且．

（1）求的值；

（2）求的实部的取值范围．

【答案】（1）；（2）．

【详解】(1)设，

则

∵z2是实数，且，

∴，得，∴.

(2)由(1)知，则，即，

∴z1的实部取值范围为.

19. 已知，，分别为锐角三个内角，，的对边，且满足．

（1）求；

（2）若，求锐角的周长l的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【小问1详解】

由

可得：

所以

【小问2详解】

因为

利用正弦定理得：

所以

所以

所以

因为是锐角三角形，所以，

所以

所以

所以

所以三角形周长l的范围为．

20. 已知正方形ABCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.

(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.

(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A-BC-D的正切值.

【答案】(1)见解析 (2)

【详解】(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,

所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.

又AO⊥BD,BD∩CO=O,

所以AO⊥平面BCD.

(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.

如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,

因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.

又CO⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面角.

在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.

在Rt△CHK中,HK==,

在Rt△AHK中,tan∠AKH===.

所以二面角A-BC-D的正切值为.

21. 如图，在中，，，AD与BC交于点M，设，．

（1）若，求x及y；

（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求的最小值．

【答案】（1），；   

（2）.

【小问1详解】

设，又，，

所以，，

因为M，B，C三点共线，M，D，A三点共线，

所以，解得，则，

所以，.

【小问2详解】

由，得：，，

因为，所以，

因为M，E，F三点共线，所以，即，

所以，当且仅当时取等号，

此时最小值为．

22. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.

（I）求异面直线与所成角的余弦值；

（II）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）.

【详解】解：（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.

因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.

在Rt△PDA中，由已知，得，

故

所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.

（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.

又因为BC//AD，所以PD⊥BC，

又PD⊥PB，

所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，

则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.

因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，

所以为直线DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，

由已知，得CF=BC–BF=2.

又AD⊥DC，故BC⊥DC，

在Rt△DCF中，可得,

在Rt△DPF中，可得.

所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.

考点：两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角