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辽宁省盘锦市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
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这是一份辽宁省盘锦市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共51页。试卷主要包含了先化简，再求值，，反比例函数的图象经过点C，之间满足如图所示的一次函数关系等内容，欢迎下载使用。
辽宁省盘锦市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•盘锦）先化简，再求值：，其中．
2．（2021•盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
3．（2020•盘锦）先化简，再求值：，其中a＝+1．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
4．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
5．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
四．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
8．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
x
每台车床获利/万元
10
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
9．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
11．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
12．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
六．三角形综合题（共1小题）
13．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
七．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
15．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FD＝BE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
17．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
九．圆的综合题（共1小题）
18．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
20．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）
一十一．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•盘锦）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了m名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个组别，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/（小时）
频数/人数
A
0≤t＜0.5
2n
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
n+10
D
t≥1.5
5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求m与n的值，并补全扇形统计图；
（2）直接写出所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；
（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
24．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
25．（2020•盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为 ．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•盘锦）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵＝，
∴原式＝＝＝
2．（2021•盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝．
把x＝+4代入，原式＝＝2．
3．（2020•盘锦）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【解答】解：
＝
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
4．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
5．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵CD⊥OB，
∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝3﹣2＝1，
∴C点的坐标为（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）设P（，m），
∵CD⊥y轴，CD＝3，
由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，
∴×3|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝±2，
∴m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）当y＝4时，即4＝x﹣，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB＝＝3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
四．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
8．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
14﹣x
x
每台车床获利/万元
10
21﹣x
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
9．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 y＝﹣x+110 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣．
11．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 （4，2） ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
12．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴B（4，0），A（0，﹣4），
把B（4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，
由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），
∴DM＝﹣t2+8，
在Rt△MEF中，tan∠EMF＝＝＝，
∴MF＝3，
∵DF＝EF＝4，
∴DM＝7，
∴﹣t2+8＝7，
∴t＝或﹣（舍弃）．
当点F在点M上方时，可得DM＝1，即﹣t2+8＝1，
∴t＝或﹣（舍弃），
综上所述，t的值为或．
（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），N（t，﹣t2+t+4），T（t，﹣t2+t+2），F（t，t）
∵NT∥FM，
∴∠PNT＝∠PFM，
∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，
∴△NPT≌△FPM（ASA），
∴NT＝MF，
∴﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4﹣t，
解得t＝或﹣（舍弃），
∴t的值为．
六．三角形综合题（共1小题）
13．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： EF＝AC ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
七．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 DG⊥DN，DG＝DN ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵EN＝NF，
∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠NCD＝45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN．
故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG＝NF，
∴∠DAG＝∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J＝∠CKE，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，
∴∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN＝∠CKE，
∴∠GAD＝∠DCN，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
解法二：连接CN并延长与直线AG 交于点M，与AD交于点P，
∵△AMP与△CDP都是直角三角形，
∴∠AMP＝∠DCP＝90°，
∵∠APM＝∠DPC，
∴∠GAD＝∠DCP，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
（3）如图3﹣1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC＝5，
∴EN＝CN＝NF＝5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG＝NF＝5，
∵AD＝CD＝12，
∴DG＝DN＝7，
∴GN＝7．
如图3﹣2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN＝5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG＝CN＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝7，BN＝BC+CN＝17，
∴GN＝＝＝13．
综上所述，满足条件的GN的值为7或13．
15．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FD＝BE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．
②证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．
∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DT＝DG．
解法二：提示，连接AC，证明△ACF∽△DCG，推出AF＝DG，可得结论．
（2）解：当点F在线段AD上时，如图1中，
∵，
∴可以假设S2＝13k，S1＝25k，
∴BC＝CD＝5，CE＝CG＝，
∴CF＝，
在Rt△CDF中，DF＝＝，
∴DF＝CT＝，DT＝4
∴DG＝GT＝2，
∴S3＝S△GFC+S△DFG＝××+××2＝k，
∴＝＝．
当点F在AD的延长线上时，同法可得，S3＝S△DCF+S△FGC＝×5×+××＝9k，
∴＝，
综上所述，的值为或．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
17．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，
∵DG∥BC，
∴∠CBH＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠CBH，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：解法一：如图2，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴，
∴OF⊥AB，
∵BD⊥AB，
∴OF∥BD，
∴△EFO∽△EDB，
∴，
∵AE＝OE，
∴，
∴＝，
∴OF＝4，
∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，
∴DE＝＝＝6．
解法二：如图2，连接OF，
∵AE＝OE，
∴OA＝OF＝2OE，
Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，
Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，
∴BE＝6，
由勾股定理得：DE＝＝＝6．
九．圆的综合题（共1小题）
18．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴＝＝，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴＝，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝2，
∴AH＝AE＝2，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
20．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．
21．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）
【解答】解：选择CD＝1.6m，BD＝4m，∠ACE＝67°，
过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，CE＝BD＝4m，
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝67°，
∴tan∠ACE＝，
∴≈2.36，
∴AE≈9.4m，
∴AB＝AE+BE＝9.4+1.6＝11.0（m），
答：建筑物AB的高度约为11.0m．
一十一．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•盘锦）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了m名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个组别，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/（小时）
频数/人数
A
0≤t＜0.5
2n
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
n+10
D
t≥1.5
5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求m与n的值，并补全扇形统计图；
（2）直接写出所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；
（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【解答】解：（1）m＝20÷40%＝50，
2n+（n+10）＝50﹣20﹣5，
解得，n＝5，
A组所占的百分比为：2×5÷50×100%＝20%，
C组所占的百分比为：（5+10）÷50×100%＝30%，
补全的扇形统计图如右图所示；
（2）∵A组有2×5＝10（人），B组有20人，抽查的学生一共有50人，
∴所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在B组；
（3）1500×＝600（名），
答：估计该校有600名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 300 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：30÷10%＝300（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为：300﹣40﹣100﹣30﹣50＝80（人）；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）；
（5）列表如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
24．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
25．（2020•盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为 ．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为＝；
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3个，
∴两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率＝．
辽宁省盘锦市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•盘锦）先化简，再求值：，其中．
2．（2021•盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
3．（2020•盘锦）先化简，再求值：，其中a＝+1．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
4．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
5．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
四．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
8．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
x
每台车床获利/万元
10
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
9．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
11．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
12．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
六．三角形综合题（共1小题）
13．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
七．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
15．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FD＝BE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
17．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
九．圆的综合题（共1小题）
18．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
20．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）
一十一．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•盘锦）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了m名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个组别，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/（小时）
频数/人数
A
0≤t＜0.5
2n
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
n+10
D
t≥1.5
5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求m与n的值，并补全扇形统计图；
（2）直接写出所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；
（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
24．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
25．（2020•盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为 ．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•盘锦）先化简，再求值：，其中．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵＝，
∴原式＝＝＝
2．（2021•盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝．
把x＝+4代入，原式＝＝2．
3．（2020•盘锦）先化简，再求值：，其中a＝+1．
【解答】解：
＝
＝，
当a＝+1时，原式＝＝．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共2小题）
4．（2022•盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【解答】解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
5．（2020•盘锦）如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵CD⊥OB，
∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝3﹣2＝1，
∴C点的坐标为（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）设P（，m），
∵CD⊥y轴，CD＝3，
由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，
∴×3|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝±2，
∴m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
6．（2021•盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）当y＝4时，即4＝x﹣，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB＝＝3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
四．二次函数的应用（共3小题）
7．（2022•盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
8．（2021•盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型
B型
车床数量/台
14﹣x
x
每台车床获利/万元
10
21﹣x
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
9．（2020•盘锦）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为 y＝﹣x+110 ．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【解答】解：（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+110，
故答案为：y＝﹣x+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（﹣x+110﹣71）x＝﹣+39x＝﹣（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：﹣（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190或200时，w最大，最大值是3800元．
五．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ•BC＝PN•HB+OC•HB，
∵，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣．
11．（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 （4，2） ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
12．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF＝时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴B（4，0），A（0，﹣4），
把B（4，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图1中，当点M在线段DF的上方时，
由题意得，D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），
∴DM＝﹣t2+8，
在Rt△MEF中，tan∠EMF＝＝＝，
∴MF＝3，
∵DF＝EF＝4，
∴DM＝7，
∴﹣t2+8＝7，
∴t＝或﹣（舍弃）．
当点F在点M上方时，可得DM＝1，即﹣t2+8＝1，
∴t＝或﹣（舍弃），
综上所述，t的值为或．
（3）如图2中，过点N作NT∥y轴于T．由题意得D（t，t﹣4），则M（t，﹣t2+t+4），N（t，﹣t2+t+4），T（t，﹣t2+t+2），F（t，t）
∵NT∥FM，
∴∠PNT＝∠PFM，
∵∠NPT＝∠MPF，PN＝PF，
∴△NPT≌△FPM（ASA），
∴NT＝MF，
∴﹣t2+t+4﹣（﹣t2+t+2）＝﹣t2+t+4﹣t，
解得t＝或﹣（舍弃），
∴t的值为．
六．三角形综合题（共1小题）
13．（2022•盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： EF＝AC ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
七．四边形综合题（共2小题）
14．（2021•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作▱ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 DG⊥DN，DG＝DN ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当▱ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵EN＝NF，
∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠NCD＝45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN．
故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG＝NF，
∴∠DAG＝∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J＝∠CKE，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，
∴∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN＝∠CKE，
∴∠GAD＝∠DCN，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
解法二：连接CN并延长与直线AG 交于点M，与AD交于点P，
∵△AMP与△CDP都是直角三角形，
∴∠AMP＝∠DCP＝90°，
∵∠APM＝∠DPC，
∴∠GAD＝∠DCP，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
（3）如图3﹣1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC＝5，
∴EN＝CN＝NF＝5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG＝NF＝5，
∵AD＝CD＝12，
∴DG＝DN＝7，
∴GN＝7．
如图3﹣2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN＝5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG＝CN＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝7，BN＝BC+CN＝17，
∴GN＝＝＝13．
综上所述，满足条件的GN的值为7或13．
15．（2020•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点F是射线AD上的动点，连接CF，以CF为对角线作正方形CGFE（C，G，F，E按逆时针排列），连接BE，DG．
（1）当点F在线段AD上时．
①求证：BE＝DG；
②求证：CD﹣FD＝BE；
（2）设正方形ABCD的面积为S1，正方形CGFE的面积为S2，以C，G，D，F为顶点的四边形的面积为S3，当时，请直接写出的值．
【解答】（1）①证明：如图1中，
∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，
∴∠BCD＝∠ECG＝90°，CB＝CD，CE＝CG，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE＝DG．
②证明：如图1中，设CD交FG于点O，过点G作GT⊥DG交CD于T．
∵∠FDC＝∠FGC＝90°，
∴C，F，D，G四点共圆，
∴∠CDG＝∠CFG＝45°，
∵GT⊥DG，
∴∠DGT＝90°，
∴∠GDT＝∠DTG＝45°，
∴GD＝GT，
∵∠DGT＝∠FGC＝90°，
∴∠DGF＝∠TGC，
∵GF＝GC，
∴△GDF≌△GTC（SAS），
∴DF＝CT，
∴CD﹣DF＝CD﹣CT＝DT＝DG．
解法二：提示，连接AC，证明△ACF∽△DCG，推出AF＝DG，可得结论．
（2）解：当点F在线段AD上时，如图1中，
∵，
∴可以假设S2＝13k，S1＝25k，
∴BC＝CD＝5，CE＝CG＝，
∴CF＝，
在Rt△CDF中，DF＝＝，
∴DF＝CT＝，DT＝4
∴DG＝GT＝2，
∴S3＝S△GFC+S△DFG＝××+××2＝k，
∴＝＝．
当点F在AD的延长线上时，同法可得，S3＝S△DCF+S△FGC＝×5×+××＝9k，
∴＝，
综上所述，的值为或．
八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【解答】解：（1）连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
17．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，
∵DG∥BC，
∴∠CBH＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠CBH，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：解法一：如图2，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴，
∴OF⊥AB，
∵BD⊥AB，
∴OF∥BD，
∴△EFO∽△EDB，
∴，
∵AE＝OE，
∴，
∴＝，
∴OF＝4，
∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，
∴DE＝＝＝6．
解法二：如图2，连接OF，
∵AE＝OE，
∴OA＝OF＝2OE，
Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，
Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，
∴BE＝6，
由勾股定理得：DE＝＝＝6．
九．圆的综合题（共1小题）
18．（2020•盘锦）如图，BC是⊙O的直径，AD是⊙O的弦，AD交BC于点E，连接AB，CD，过点E作EF⊥AB，垂足为F，∠AEF＝∠D．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）点G在BC的延长线上，连接AG，∠DAG＝2∠D．
①求证：AG与⊙O相切；
②当，CE＝4时，直接写出CG的长．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AEF+∠EAF＝90°，
∵∠AEF＝∠D，∠ABE＝∠D，
∴∠ABE+∠EAF＝90°，
∴∠AEB＝90°，
∴AD⊥BC．
（2）①证明：连接OA，AC．
∵AD⊥BC，
∴AE＝ED，
∴CA＝CD，
∴∠D＝∠CAD，
∵∠GAE＝2∠D，
∴∠CAG＝∠CAD＝∠D，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠CEA＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAG+∠OAC＝90°，
∴OA⊥AG，
∴AG是⊙O的切线．
②解：过点C作CH⊥AG于H．设CG＝x，GH＝y．
∵CA平分∠GAE，CH⊥AG，CE⊥AE，
∴CH＝CE，
∵∠AEC＝∠AHC＝90°，AC＝AC，EC＝CH，
∴Rt△ACE≌Rt△ACH（HL），
∴AE＝AH，
∵EF⊥AB，BC是直径，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC，
∴＝＝，
∵CE＝4，
∴BE＝10，
∵BC⊥AD，
∴＝，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵∠AEC＝∠AEB＝90°，
∴△AEB∽△CEA，
∴＝，
∴AE2＝4×10，
∵AE＞0，
∴AE＝2，
∴AH＝AE＝2，
∵∠G＝∠G，∠CHG＝∠AEG＝90°，
∴△GHC∽△GEA，
∴＝＝，
∴＝＝，
解得x＝．
一十．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共3小题）
19．（2022•盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α
α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β
β＝31°
测角仪到地面的距离
AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离
BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF•tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
20．（2021•盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．
21．（2020•盘锦）如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．
测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离
CD＝1.6m
点D到建筑物的距离
BD＝4m
从C处观测建筑物顶部A的仰角
∠ACE＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角
∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36．sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）（选择一种方法解答即可）
【解答】解：选择CD＝1.6m，BD＝4m，∠ACE＝67°，
过C作CE⊥AB于E，则四边形BDCE是矩形，
∴BE＝CD＝1.6m，CE＝BD＝4m，
在Rt△ACE中，∵∠ACE＝67°，
∴tan∠ACE＝，
∴≈2.36，
∴AE≈9.4m，
∴AB＝AE+BE＝9.4+1.6＝11.0（m），
答：建筑物AB的高度约为11.0m．
一十一．扇形统计图（共1小题）
22．（2020•盘锦）某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了m名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为A，B，C，D四个组别，并绘制了如图不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/（小时）
频数/人数
A
0≤t＜0.5
2n
B
0.5≤t＜1
20
C
1≤t＜1.5
n+10
D
t≥1.5
5
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求m与n的值，并补全扇形统计图；
（2）直接写出所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；
（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【解答】解：（1）m＝20÷40%＝50，
2n+（n+10）＝50﹣20﹣5，
解得，n＝5，
A组所占的百分比为：2×5÷50×100%＝20%，
C组所占的百分比为：（5+10）÷50×100%＝30%，
补全的扇形统计图如右图所示；
（2）∵A组有2×5＝10（人），B组有20人，抽查的学生一共有50人，
∴所抽取的m名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在B组；
（3）1500×＝600（名），
答：估计该校有600名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
一十二．列表法与树状图法（共3小题）
23．（2022•盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 300 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：30÷10%＝300（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为：300﹣40﹣100﹣30﹣50＝80（人）；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数为：（人）；
（5）列表如下：
A
B
C
A
A，A
B，A
C，A
B
A，B
B，B
C，B
C
A，C
B，C
C，C
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
24．（2021•盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
8
8
众数
a
7
中位数
8
b
优秀率
80%
60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
25．（2020•盘锦）有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外无其他差别，现将它们背面朝上洗匀．
（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为 ．
（2）随机抽取一张卡片，然后放回洗匀，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率．
【解答】解：（1）随机抽取一张卡片，卡片上的数字是奇数的概率为＝；
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有16个等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字和等于6的结果有3个，
∴两次抽取的卡片上的数字和等于6的概率＝．
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