第二章　一元二次函数、方程和不等式-易错点习题-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

本章复习提升

易混易错练

易错点1　不能正确使用不等式的性质导致错误

1.(多选)(2022江苏张家港期中)下列四个选项中,p是q的充分不必要条件的是(　　)

A.p:x>y,q:x3>y3

B.p:x>3,q:x>2

C.p:2<a<3,-2<b<-1,q:2<2a+b<5

D.p:a>b>0,m>0,q:<

2.(2022豫西名校联考)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,令M=2x+3y,则M的取值范围是　　　　. 

易错点2　忽略基本不等式的应用条件而致错

3.(2021安徽蚌埠第三中学检测)当x>0时,下列函数的最小值为2的是(　　)

A.y=x(2-x)　　　　　　B.y=

C.y=x2+-1　　　　　　D.y=+

4.(2022辽宁沈阳郊联体期中)已知x,y均为正实数,且4x+5y=1,则+的最小值是　　　　. 

易错点3　忽略二次项系数的符号而致错

5.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是(　　)

A.{x|x<-n或x>m}　　　　　　B.{x|-n<x<m}

C.{x|x<-m或x>n}　　　　　　D.{x|-m<x<n}

6.(2022北京四中适应性考试)设集合P={m|-1<m≤0},Q={m|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则P与Q的关系为(　　)

A.P⫋Q　　　　　　B.Q⫋P        C.P=Q　　　 　D.P∩Q=⌀

7.若ax2+(a-2)x-2≥0的解集为{x|x≤-1或x≥2},则a的值为　　　　. 

易错点4　忽略分式不等式中的分母不等于0而致错

8.(多选)(2022湖北武汉部分学校期中)已知集合A={-2,-1,0,1},B=,则(　　)

A.A∩B={-2,-1,0,1}

B.A∪B={x|-2<x≤1}

C.A∩B={-1,0,1}

D.A∪B={x|-2≤x≤1}

9.(2022北师大实验中学期中)“≥1”是“x(x-1)≤0”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

10.解关于x的不等式:≤0.

思想方法练

一、函数与方程思想在解不等式中的应用

1.(2021山西太原师院附中、师苑中学月考)若不等式ax2+bx+c>0的解集是,则不等式ax2-bx+c<0的解集是　　　　. 

2.(2021浙江台州实验中学月考)关于x的不等式x2-mx+m+2>0对-2≤x≤4恒成立,则m的取值范围为　　　　　　　　. 

二、分类讨论思想在解不等式中的应用

3.(2022河北石家庄二中期中)已知函数y=mx2-mx-1.

(1)若m=,解不等式:y<0;

(2)解关于x的不等式:y<(m-1)x2+2x-2m-1.

4.(2021吉林长春东北师范大学附属中学段考)已知a∈R,求关于x的不等式ax2-(a2+1)x+a>0的解集.

三、数形结合思想在“三个二次”问题中的应用

5.当x∈{x|1≤x≤5}时,不等式x2+ax-2>0有解,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.已知关于x的方程x2-2x+a=0.当a为何值时,

(1)方程的一个根大于1,另一个根小于1?

(2)方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3?

(3)方程的两个根都大于0?

7.已知不等式mx2-mx-1<0.

(1)若对任意x∈R,不等式恒成立,求实数m的取值范围;

(2)当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,求实数m的取值范围.

四、转化与化归思想在解不等式中的应用

8.(2022河北石家庄二中期中)若关于x的不等式x2+mx+1≤0在0<x≤2时有解,则实数m的取值范围是　　　　. 

9.(2022山西太原期中)已知a>0,b>0,且a+b+6=ab,则ab的取值范围是　　　　. 

答案全解全析

易混易错练

1.BCD　对于A,由x>y可得到x3>y3;由x3>y3可得到x>y,故p是q的充要条件,故A不符合题意.

对于B,由x>3可得到x>2;当x=2.5时,x>2,但不满足x>3,故p是q的充分不必要条件,故B符合题意.

对于C,2<a<3,-2<b<-1,由不等式的性质得2<2a+b<5;当a=0,b=4时,满足2<2a+b<5,但不满足2<a<3,-2<b<-1,∴p是q的充分不必要条件,故C符合题意.

对于D,-=,当a>b>0,m>0时,可得<0,即<;

当<,即<0时,可以有a=3,b=5,m=-2,得不出a>b>0,m>0,∴p是q的充分不必要条件,故D符合题意.

故选BCD.

2.答案　-4<M<9

解析　设2x+3y=m(x+y)+n(x-y),

则所以

即2x+3y=(x+y)-(x-y).

因为-1<x+y<4,2<x-y<3,

所以-<(x+y)<10,-<-(x-y)<-1,

所以-4<(x+y)-(x-y)<9,即-4<M<9.

易错警示　利用几个代数式的范围求某一个代数式的范围时,不可多次运用不等式的性质,否则易扩大范围.

3.B　对于选项A,当x>2时,2-x<0,此时y<0,不符合题意;

对于选项B,当x>0时,可得y==x+≥2×=2,当且仅当x=,

即x=1时,等号成立,

∴y=的最小值为2,符合题意;

对于选项C,y=x2+-1=x2+2+-3≥2×-3=1,

当且仅当x2+2=,即x=0时等号成立,不符合题意;

对于选项D,y=+≥2×=2,

当且仅当=,即x2+2=1时取等号,又x2+2=1无解,∴等号不成立,∴y的最小值不是2,不符合题意.

故选B.

4.答案　4

解析　因为x,y均为正实数,且4x+5y=1,

所以+=[(x+3y)+(3x+2y)]=2++

≥2+2=4,

当且仅当=且4x+5y=1,

即x=,y=时取等号,

故+的最小值是4.

易错警示　利用基本不等式求最值时,在保证各项均为正数的情况下,必须考虑两项和或两项积为定值,解决本题的关键是利用条件与待求式的关系,凑出定值,解题时易忽视两项和为定值的条件导致解题错误.

5.B　原不等式可化为(x-m)(x+n)<0.

由m+n>0知m>-n,

所以原不等式的解集为{x|-n<x<m}.

故选B.

易错警示　解一元二次不等式时要注意二次项系数是不是正数,若不是,则先化为正数再求解.

6.C　对于不等式mx2+4mx-4<0,

①当m=0时,不等式为-4<0,恒成立;

②当m<0时,若不等式对任意实数x恒成立,则需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得-1<m<0;

③当m>0时,易知不等式无法恒成立.

所以Q={m|-1<m≤0}.

因为P={m|-1<m≤0},所以P=Q.故选C.

易错警示　含参数的“一元二次不等式”对任意实数x恒成立,分两种情况:①二次项系数为0时,判断结论是否成立;②二次项系数不为0时,结合此不等式对应二次函数的图象列出不等式,进而求得参数的范围.本题中容易忽略对m=0的讨论,导致解题错误.

7.答案　1

解析　因为ax2+(a-2)x-2≥0的解集为{x|x≤-1或x≥2},

所以a>0,且方程ax2+(a-2)x-2=0的两个根为2和-1,

所以解得a=1.

易错警示　已知一元二次不等式的解集求参数时,注意由解集的形式确定二次项系数的符号,解含参数的“一元二次不等式”时,也要注意二次项系数的符号.

8.CD　易得B=={x|-2<x≤1},又A={-2,-1,0,1},∴A∩B={-1,0,1},A∪B={x|-2≤x≤1}.故选CD.

易错警示　把含等号的分式不等式化为整式不等式求解时,切记不要忽略原分母不等于零这一条件.

9.A　由≥1可得0<x≤1,所以x(x-1)≤0成立,

由x(x-1)≤0可得0≤x≤1,易知当x=0时,无意义,

所以“≥1”是“x(x-1)≤0”的充分不必要条件,故选A.

10.解析　≤0⇔ax(x+1)≤0且x+1≠0.

当a>0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇒x(x+1)≤0且x+1≠0⇒-1<x≤0,

此时原不等式的解集为{x|-1<x≤0};

当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};

当a<0时,ax(x+1)≤0且x+1≠0⇒x(x+1)≥0且x+1≠0⇒x<-1或x≥0,

此时原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-1<x≤0};当a=0时,原不等式的解集为{x|x≠-1};当a<0时,原不等式的解集为{x|x<-1或x≥0}.

思想方法练

1.答案　

解析　由题意,可得-2和-是方程ax2+bx+c=0的两个实数根,且a>0,

由不等式的解集得到相应方程的根,体现了函数与方程思想.

所以解得

则不等式ax2-bx+c<0可化为ax2-ax+a<0,即2ax2-5ax+2a<0,

因为a>0,所以不等式等价于2x2-5x+2<0,

即(x-2)(2x-1)<0,解得<x<2,

即不等式ax2-bx+c<0的解集为.

2.答案　{m|2-2<m<2+2}

解析　设函数y=x2-mx+m+2,易知其图象开口向上,对称轴为直线x=,

设出不等式对应的函数,根据函数图象的特点,列出满足条件的关系式求解.

①当≤-2,即m≤-4时,则有(-2)2-m×(-2)+m+2>0,解得m>-2,

又∵m≤-4,∴无解;

②当-2<<4,即-4<m<8时,则有-m×+m+2>0,解得2-2<m<2+2,

∴2-2<m<2+2;

③当≥4,即m≥8时,则有42-m×4+m+2>0,

解得m<6,

又∵m≥8,∴无解.

综上所述,m的取值范围为{m|2-2<m<2+2}.

思想方法　函数与方程思想在本章中的体现

(1)利用函数图象讨论方程根的个数及分布情况,讨论不等式的解集情况;

(2)利用函数解决代数中有关取值范围的问题,以及函数在实际问题中的应用;

(3)利用方程解决与函数有关的问题.

函数、方程、不等式三者密不可分,很多不等式问题都可以从函数的角度进行求解,如y>a(y是关于x的函数,a为参数)恒成立等价于ymin>a.

3.解析　(1)当m=时,y=x2-x-1,不等式y<0即x2-x-1<0,即(x-2)(x+1)<0,解得-1<x<2,所以不等式的解集为{x|-1<x<2}.

(2)由y=mx2-mx-1得不等式为mx2-mx-1<(m-1)·x2+2x-2m-1,即x2-(m+2)x+2m<0,即(x-m)(x-2)<0.

对m与2的大小关系进行分类讨论,得到不等式的解集.

当m<2时,原不等式的解集为{x|m<x<2};当m=2时,原不等式的解集为⌀;当m>2时,原不等式的解集为{x|2<x<m}.

4.解析　对不等式的二次项系数是不是0进行讨论.

(1)当a=0时,原不等式可化为-x>0,解得x<0.

(2)当a>0时,原不等式可化为(x-a)>0,

要得到原不等式的解集,需对对应方程的两根和

a的大小进行分类讨论.

①当0<a<1时,>a,原不等式的解集为;

②当a=1时,原不等式可化为(x-1)2>0,其解集为{x|x≠1};

③当a>1时,<a,原不等式的解集为xx>a或x<.

(3)当a<0时,原不等式可化为(x-a)<0,

要得到原不等式的解集,需对对应方程的两根和

a的大小进行分类讨论.

①当-1<a<0时,<a,原不等式的解集为;

②当a=-1时,原不等式可化为(x+1)2<0,其解集为⌀;

③当a<-1时,>a,原不等式的解集为.

综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x<0};

当0<a<1时,不等式的解集为;

当a=1时,不等式的解集为{x|x≠1};

当a>1时,不等式的解集为;

当-1<a<0时,不等式的解集为;

当a=-1时,不等式的解集为⌀;

当a<-1时,不等式的解集为.

思想方法　在本章中,分类讨论思想主要应用于解含参数的不等式,有以下几种情况:

(1)二次项系数为参数且没有给出具体范围时,要分大于0,等于0,小于0三种情况讨论;

(2)对应方程的根无法判断大小时,要分类讨论;

(3)若判别式含参数,则在确定解的情况时需分Δ>0,Δ=0,Δ<0三种情况进行讨论.

5.答案　

解析　由题知Δ=a2+8>0,且当x=0时,x2+ax-2=-2<0,所以方程x2+ax-2=0恒有一正一负两个根.设y=x2+ax-2,作出函数的大致图象如图所示.

作出二次函数的图象,结合已知条件得出参数满足的条件.

由图象知,不等式x2+ax-2>0在1≤x≤5时有解的充要条件是当x=5时,y>0,即25+5a-2>0,解得a>-.

6.解析　(1)由方程的一个根大于1,另一个根小于1,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,当x=1时,函数值小于0,即12-2+a<0,所以a<1.

因此a的取值范围是{a|a<1}.

(2)由方程的一个根大于-1且小于1,另一个根大于2且小于3,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,x取-1,3时函数值为正,x取1,2时函数值为负,

即解得-3<a<0.

因此a的取值范围是{a|-3<a<0}.

(3)由方程的两个根都大于零,结合二次函数y=x2-2x+a的图象知,判别式不小于0,图象的对称轴在y轴右侧,且当x=0时,函数值为正,

即解得0<a≤1.

因此a的取值范围是{a|0<a≤1}.

作出二次函数的图象,结合根的分布情况得出参数满足的条件.

思想方法　数形结合思想在本章中的应用主要体现在与“三个二次”有关的问题中,在解题时要充分利用二次函数的图象形象直观地研究一元二次不等式的解集与一元二次方程的根.

7.解析　(1)①若m=0,则原不等式可化为-1<0,显然恒成立;

②若m≠0,则不等式mx2-mx-1<0恒成立等价于解得-4<m<0.

综上可知,实数m的取值范围是{m|-4<m≤0}.

(2)①当m=0时,mx2-mx-1=-1<0,显然恒成立;

②当m>0时,若对于x∈{x|1≤x≤3},不等式恒成立,则由函数y=mx2-mx-1的图象开口向上知,

只需在x=1,x=3处的函数值均为负即可,

即

解得m<,此时0<m<;

③当m<0时,函数y=mx2-mx-1的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=,若当x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立,则结合函数图象知,只需在x=1时的函数值为负即可,所以m-m-1<0,恒成立,所以m<0.

结合二次函数的图象分类讨论不等式恒成立的条件.

综上所述,实数m的取值范围是.

8.答案　m≤-2

解析　当0<x≤2时,由x2+mx+1≤0得m≤-,

分离参数,转化不等式.

若不等式在0<x≤2时有解,

则只需m≤,0<x≤2,

进一步转化为求最值.

又-=-≤-2=-2,当且仅当x=1时,等号成立,

所以m≤-2.

9.答案　ab≥36

解析　∵a>0,b>0,∴ab=a+b+6≥2+6,当且仅当a=b时等号成立,

∴ab≥4+12,

∴-4-12≥0,

即(-6)(+2)≥0,

∴≥6,∴ab≥36.

利用基本不等式将原等式转化为关于的一元二次不等式,解不等式即可.

思想方法　转化与化归思想在本章中的应用主要体现在不等式恒(能)成立问题与最值之间的转化,一元二次不等式与二次方程、二次函数之间的转化.