2021学年第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算随堂练习题

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第1.3练 空间向量及其运算的坐标表示培优第一阶——基础过关练一、单选题1．已知，，，则下列结论正确的是（       ）．A．， B．，C．， D．以上都不对【答案】C【详解】因为，所以；因为，所以，故选：C.2．已知，，，则下列结论正确的是（       ）A．， B．，C．， D．以上都不对【答案】C【详解】由题意知：，，故，.故选：C.3．已知直线的方向向量分别为，若，则等于（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】由于，所以.故选：B4．平行六面体中，，则点的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】设，∵，又，∴，解得，即.故选：B.5．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【详解】若，则，从而即,解之得：故选：D6．已知向量，，若，则（       ）A．1 B． C． D．2【答案】D【详解】由，则，即，有，所以，所以，则故选：D7．已知，，则向量与的夹角为（       ）A．90° B．60° C．30° D．0°【答案】A【详解】因为，，所以，，设向量与的夹角为，则，因为，所以，故向量与的夹角为，故选：A.8．设、，向量，，且，，则（          ）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，则，解得，则，因为，则，解得，即，所以，，因此，.故选：D.二、多选题9．已知空间向量，，则下列结论正确的是（　　）A．B．C．D．与夹角的余弦值为【答案】BCD【详解】对于A选项：，不存在，使得，故A错误；对于B选项：，，故B正确；对于C选项：，，则，故C正确；对于D选项：，，所以，故D正确；故选：BCD.10．已知空间中三点，，，则正确的有（       ）A．与是共线向量 B．的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】CD【详解】，，，显然与不共线，A错误；的单位向量，即，B错误；，，C正确；设平面的法向量，则，令，得，D正确.故选：CD.三、解答题11．设，，且.记.(1)求与y轴正方向的夹角的余弦值；(2)若，，，向量与、都垂直，且，求的坐标.【答案】(1)(2)或【解析】(1)y轴正方向的单位向量，，.(2)若，，，，，即，设.由已知得解得或即或.12．已知.(1)求；(2)求与夹角的余弦值；(3)当时，求实数的值.【答案】(1)-10(2)(3)或【解析】(1)；(2)；(3)当时，，得，，或.  培优第二阶——拓展培优练一、单选题1．向量，若，则的值为（       ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】由题意可得知，则，因此，所以，故选：C.2．已知空间向量，，，则下列结论正确的是（       ）A．且 B．且C．且 D．以上都不对【答案】C【详解】由题，因为，故，又，故故选：C3．已知向量，，，且向量与互相垂直，则的值是（       ）A．1 B． C． D．0【答案】B【详解】，因为向量与互相垂直，故，故，故选：B4．已知，则在上的投影向量为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，所以，所以，所以在上的投影向量为故选：B5．已知，，且，则向量与的夹角为（       ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由，解得，所以，，所以，因为，所以.故选：C6．边长为的正方形沿对角线折成直二面角，、分别为、的中点，是正方形的中心，则的大小为（       ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意可得平面，，则两两垂直以O为原点，分别以OB、OA、OC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系则，，，，又，则故选：B二、多选题7．已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（       ）A．点的坐标为（2，0，2） B．C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误；由空间直角坐标系可知： ,故B正确；由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确；点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确，故选：BCD8．下列说法正确的是（       ）A．若G是四面体OABC的底面三角形ABC的重心，则B．在四面体OABC中，若，则A，B，C，G四点共面C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为D．若向量，则称（m，n，k）为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为【答案】ACD【详解】A：令，，，，又G是底面三角形ABC的重心，∴，，，，，∴成立，正确；B：由，而，故A，B，C，G四点不共面，错误；C：如下图，，∴，又且棱长为1，∴，则，正确；D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为（1，2，3），正确.故选：ACD.三、解答题9．已知，．(1)求的值；(2)当时，求实数k的值．【答案】(1)25(2)或【解析】(1)因为，，故，，故(2)，，，因为，故，即，故，即，故或10．已知点，，，设，．(1)求，夹角的余弦值．(2)若向量，垂直，求的值．(3)若向量，平行，求的值．【答案】(1)(2)或.(3)【解析】(1)，，故.(2)由（1）可得，，因为向量，垂直，故，整理得到：，故或.(3)由（1）可得不共线，故，均不为零向量，若向量，平行，则存在非零常数，使得，整理得到：，因为不共线，故，故或，故.