数学必修 第一册3.2 函数的基本性质达标测试

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3.2.2  函数的奇偶性 培优第一阶——基础过关练一、单选题1.已知是定义在上的偶函数，那么的值是(　　) ． ． ．答案 解析 依题意得：，，又 ，，．故选：．2.下列说法正确的是(　　)A．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数B．若一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称C．若一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数D．若函数f(x)的定义域为，且，则是奇函数答案 解析 奇偶函数的定义域一定关于原点对称，但定义域关于原点对称的函数不一定具有奇偶性，如．由此可判断项错误，项正确．奇函数若在原点处有定义，则，反之不一定成立，如，因此项错误．故选．3.函数的图象关于(　　)．原点对称       ．轴对称       ．轴对称        ．直线对称答案 解析 根据题意，，有，则有，其图象关于原点对称，故选：．4.如果奇函数在区间上是减函数，且最小值为，那么在区间上是(　　)减函数且最大值为 增函数且最大值为6 减函数且最小值为 增函数且最小值为6答案 解析 当时，，即．从而，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故在是减函数．故选：．5.若偶函数在上是减函数，则    (　　)． ． ． ．答案 解析 根据题意，为偶函数，则，又由函数在上是减函数，则，即，故选：.二、多选题 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x，则（　　）A. 的最小值为                   B. 在上单调递减C. 的解集为             D. 存在实数满足答案 解析 函数是定义在上的偶函数，当时，，
可得，可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故正确；
在递减，在递增，故错误；
由或，
解得：，或，故正确；
由，即存在实数满足，故正确．
故选：．三、填空题 7.已知函数，，则       . 答案   解析 是奇函数      ．8. 若函数的图象关于轴对称，则常数      .答案 解析 可知函数为偶函数，则，即，解得，将代入解析式验证，符合题意．9.设是奇函数，且当时，，则当时，等于      .答案  解析 当时，，代入函数在上的解析式，即得，是奇函数，.四、解答题10.已知，分别是上的奇函数和偶函数，且，试求和的表达式．答案 ，解析 以代替条件等式中的，则有，又，分别是上的奇函数和偶函数，故．又，联立可得，．11.已知函数是定义域为上的奇函数，且．(1)用定义证明：函数在上是增函数；(2)若实数满足，求实数的范围．答案 (1)略   (2) 解析 (1)函数是定义域为上的奇函数，，， 任取，且，，，，，，，，函数在上是增函数． (2)，，函数是定义域为上的奇函数，且．，函数在上是增函数，，解得．故实数的范围是．   培优第二阶——拓展培优练 一、单选题1.若函数是奇函数，则   (    )A．函数是奇函数            B．函数是奇函数C．函数是奇函数         D．函数是奇函数答案 2.已知奇函数在减函数，且，则不等式的解集为(　　)   答案 解析 由题意画出的草图如下，因为，所以与同号，由图象可得或，解得或，故选：． 3. 已知函数满足：①；②在上为增函数，若，且，则的大小关系是(     )A. B．  C．   D．无法确定答案 解析 是偶函数，所以即由得，在上为增函数，所以.4.已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是(　　)   答案  解析  为奇函数，且在上是增函数，，，在内是增函数则 或 根据在和内是都是增函数，解得故选：．5.若函数的图象关于直线对称，则的最大值是(　　)  或 a．不存在答案 解析 由函数的图象关于直线对称，知是偶函数，，即，整理得总成立，得，，令，则，当时，有最大值，即的最大值是．故选：．二、多选题 6. 若函数是奇函数，是奇函数，则下列选项一定正确的是（　　）A. 函数图象关于点对称         B. 函数的周期为1C.                         D. 答案  解析 因为是奇函数，
所以，即，
所以，是偶函数，
因为是奇函数，所以函数图像关于点对称，所以函数图像关于点对称，因此选项正确，
，
所以是周期函数，最小正周期为，故选项错误
因此，故选项正确，不一定为，故选项错误，
故选：．三、填空题 7.函数的图象关于         对称．答案 原点解析 要使函数有意义，则，即，解得或，则定义域关于原点对称．此时，则函数， ， 函数是奇函数，图象关于原点对称.8.已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则       .答案 解析 函数为偶函数，．又为奇函数，图象关于点对称，函数的图象关于点对称，，，函数的周期，.9.已知函数，则不等式的解集为         . 答案 解析 函数为奇函数，且函数为增函数，则不等式等价为，则，得，得，即不等式的解集为.四、解答题10.若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性．答案  奇函数解析 在中，令，得，.再令，则，即，，故为奇函数．11.已知定义在奇函数．(1)求的值；   (2)判断并证明在上的单调性；  (3)求该函数的值域．答案 (1)  (2) 在上是增函数   (3) 解析 (1)因为是上的奇函数，所以，即，解得；(2)由(1)知，设，且，则 因为是上的增函数，且，所以，又，所以，即，所以在上是增函数；(3) ，由，得，所以，所以，即，所以函数的值域为．  培优第三阶——高考沙场点兵1.(2021•乙卷)设函数，则下列函数中为奇函数的是(     )A． B． C． D．答案  解析 因为，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移一个单位，向上平移一个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数．故选：．2.(2021•甲卷)设是定义域为的奇函数，且．若，则　　(     )A． B． C． D．答案  解析 由题意得，又，所以，又，则．故选：．3.(2022•雨花区校级模拟)函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，则(     )A．是奇函数 B．是偶函数 C． D．答案  解析 由奇函数条件得，由偶函数条件得，，则，即周期为；另一方面，即是偶函数．故选：．4.(2018•新课标Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足，若，则　(     )A． B． C． D．答案  解析 是奇函数，且，，，则，则，即函数是周期为的周期函数，，，，，则，则，故选：．5.(2022•海口模拟)已知函数是定义在上的奇函数，函数的图象关于直线对称，若，则　(     )A． B． C． D．答案  解析 因为的图象关于对称，则是偶函数，，且，所以，对任意的恒成立，所以，因为且为奇函数，所以，因此，．故选：．6.(2021•新高考Ⅰ)已知函数是偶函数，则　　．答案  解析 函数是偶函数，为上的奇函数，故也为上的奇函数，所以，所以．法二：因为函数是偶函数，所以，即，即，即，所以．故答案为：．