2021学年2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系练习

2.1.2一元二次方程的解集及根与系数的关系人教  B版（2019）高中数学必修第一册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 若，是函数的零点，且，则的值为(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

2. 已知关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，且正根不大于，负根大于，则的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

3. 已知，若关于的方程为常数在内有两个不同的解，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知函数的值域为，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D. 或

7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 若存在两条过点的直线与曲线相切，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点，处的切线交于点，则称为“阿基米德三角形”已知抛物线的焦点为，过抛物线上两点，的直线的方程为，弦的中点为，则关于“阿基米德三角形”，下列结论正确的是

A. 点 B. 轴 C.  D.

10. 下列说法正确的是(    )

A. 若恒成立，则；
B. ，；
C. 时，方程有一正根，一负根；
D. ，不等式成立，则．

11. 已知关于的不等式的解集为，则 (    )

A. 的解集为
B. 的最小值为
C. 的最大值为
D. 的最小值为

12. 已知关于的不等式的解集为，则(    )

A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若不等式的解集为，则__________．
14. 已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是            ．
15. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是             ．
16. 若，是方程的两根，且满足，记实数的可能取值集合为，则中所有元素之积为___________．

四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

17. 已知关于的方程，探究为何值时，

方程有一正一负两根

方程的两根都大于

方程的一根大于，一根小于．

18. 已知关于的方程．

若方程有两个实根，且一个比大，一个比小，求实数的取值范围

若方程有两个实根，，且满足，求实数的取值范围

若方程至少有一个正根，求实数的取值范围．

19. 已知方程．

若方程的两根、满足，求实数的取值范围

若两根都小于，求实数的取值范围．

20. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

设点的极坐标为，直线与曲线交于，两点，求．

21. 已知为的内角，且、为方程的两根．

求的值；

已知函数，求的值．

22. 已知函数．

Ⅰ当，且时，求的值；

Ⅱ若存在实数，，使得函数的定义域为时，其值域为，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】因为，是函数的零点，则，是方程的两个根，

所以，，

，

即．

因为，

所以，

解得或，

又，所以．

2.【答案】 

【解析】将一元二次方程整理得，设，，则原一元二次方程的解为二次函数 的图象与直线的交点的横坐标，

易知直线恒过点，二次函数的图象必经过原点，如图，
 

原一元二次方程的负根大于，正根不大于，

得

故选A．

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角函数诱导公式，同角三角函数基本关系，考查韦达定理，属于一般题由题得，化为，在内有两个不同的解，，运用韦达定理求解．
【解答】
解：由，
则，
化为，在内有两个不同的解，，
得，
，
所以
，  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查函数的定义域与值域的问题，属于中档题．
由条件可得，，进而可知方程有两个不相等的非负实数根结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解．
【解答】
解：函数的定义域为，且在定义域中为减函数．
因此，由条件可得：，即有
两式相减得：，，
因为，所以，即有，
整理得：．
同理可得：．
所以方程有两个不相等的非负实数根．
因此，解得：．
所以实数的取值范围为．
故选C．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的计算以及二次函数的应用，是中档题．
根据题目给出的定义得到，即方程在区间有两个解，，利用二次函数的性质能求出的取值范围．
 

【解答】

解：函数，，
函数是区间上的双中值函数，
区间上存在，，
满足，
即方程在区间有两个解，，
令，
对称轴，
则
解得．
实数的取值范围是

 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．

用一元二次方程根与系数的关系得出方程，然后解方程可得．

【解答】

解：方程有实根，则，
解得或，

设方程的两根为，，则，，

，
解得舍去．

故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查韦达定理，用穿根法解高次不等式，属于中档题．

由题意利用韦达定理求出和的值，再利用穿根法解高次不等式，即可求得要解不等式的解集．

【解答】

解：关于的不等式的解集为，
和是方程的个实数根，
，，
即，，
则关于的不等式，即，
即，

用穿根法求得它的解集为，或，或．
故选D．

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，要求学生了解导数的几何意义．
通过求导得到，然后求出经过切点的切线方程，化简得到，根据，求出的取值范围．
【解答】
解：，设切点，
则曲线在点处的切线方程为，
切线过点，即，
化简得，
根据题意，方程有两个不同的实根，，
解答或．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查抛物线的标准方程及性质，考查韦达定理，考查直线方程，考查直线的斜率，属于中档题．
联立方程组消可得，令，，可得，，求出直线，的方程，解出交点即可逐一判断选项．

解：联立方程组消可得，
令，，，，
因为，所以，则，
所以直线的方程为：，
直线的方程为：，
联立方程组，解得，则，错；
因为弦的中点为，所以，轴，对．
因为抛物线的焦点为，，所以，
因为直线的方程为，则，
因为，所以，对．
因为，所以，对，选BCD．  

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，一元二次方程的根与系数的关系，全称量词、存在量词，属于基础题．
根据不等式恒成立问题可判断根据一元二次方程的根与系数的关系可判断根据不等式存在性问题可判断．
【解答】
解：对于，当时，显然不等式恒成立，故A错误；
对于，恒成立，故B正确；
对于，因为， 所以， 方程有两个相异根为，
根据韦达定理可得，则两个根异号，故C正确；
对于，不等式转化为，
根据二次函数的性质可得：在时，，
因为使不等式恒成立，所以，故D错误．
故选BC．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了利用基本不等式求最值和一元二次不等式的解法，考查一元二次方程根与系数的关系，属于一般题．
先由根与系数的关系，可得，，代入化简后可判定、真假；由，由基本不等式可判定、的真假．
【解答】
解：不等式的解集为，
则方程的两个根为、，

根据根与系数的关系，可得，，

可化为，解得，A正确；

，B正确；

，
，，

即，当且仅当时取等号，

故的最大值为，且易知没有最小值，
C正确，D错误．
故选ABC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用二次不等式的解求参数，考查二次不等式的求解，考查计算能力，属于中档题．
根据已知条件判断出的符号，以及、与的等量关系，可判断出、；通过解不等式可判断、．

【解答】

解：关于的不等式的解集为，，选项正确；
且和是关于的方程的两根，
由韦达定理得，则，，则，选项错误；
不等式即为，即，解得，选项正确；
不等式即为，即，解得或，选项正确．
故选：．

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，关键是求出、的值，属于基础题．
根据题意，分析可得方程的两个根为和，由根与系数的关系分析可得，解可得、的值，进而计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，关于的不等式的解集为，
则方程的两个根为和，
则有，解可得，，
则；
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程根与系数关系的应用，以及根与判别式之间关系的应用，考查了化简计算能力．
利用方程有两个不相等的实数根，得到，求出的范围，再利用韦达定理得到，，结合配方法列出关于的方程，求解即可．

【解答】

解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
．
，，
又，，
解得或，
，
．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查一元二次不等式与对应方程根的关系，一元二次方程根与系数的关系及利用基本不等式求最值，属于中档题．
根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求出的最小值．

【解答】
解：由是不等式的解集，
所以，是方程的两个实数根，
所以，，且；
所以，且，；
即；
所以
，
当且仅当时“”成立；
所以的最小值为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．
由题意得，，结合，可得，，，对分类讨论：，及时，分别得到关于的一元二次方程，利用根与系数即可求解．
【解答】
解：由，是方程的两根，
则，，，
由，可得，
则，解得，，，
当时，，，即，
设两解，，则，
当时，，，即，
设两解，，则，
当时，，，即，无实数解，
综上，中所有的元素之积为．
故答案为．  

17.【答案】解析由，解得，故当时，该方程有一正一负两根．

由题意可得二次函数图象的对称轴方程为，，故二次函数的图象开口向上，则解得 ，不存在实数使方程的两根都大与．

令二次函数，由，且，解得由，且，求得无解综上，当时，方程的一根大于，一根小于．

【解析】略
 

18.【答案】解设，

的大致图象如图所示，

，

即，

得，

实数的取值范围为．
 

的大致图象如图所示，

解得 ，

实数的取值范围为

方程至少有一个正根，则有三种可能的情况，

有两个正根，此时如图，

可得

即

．

有一个正根，一个负根，此时如图，

可得，得．

有一个正根，另一根为，此时如图，

可得．

综上所述，当方程至少有一个正根时，实数的取值范围为．

【解析】略
 

19.【答案】解析令．

，，

，解得，

即实数的取值范围是．

易知函数的图象与轴的交点均在点的左侧，

所以．

即实数的取值范围是．

【解析】略
 

20.【答案】解：由，为参数，可得；
，
曲线的普通方程为，直线的直角坐标方程；
设，则的参数方程为，
代入得，
根据韦达定理可得：，，
，
于是． 

【解析】本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程的应用，涉及了韦达定理和直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
将曲线的参数方程和直线的极坐标方程分别消去参数转化为普通方程和直角坐标方程即可；
设，则的参数方程为，代入得，结合韦达定理，可得出的值．
 

21.【答案】解：关于的方程有两根，则，可得．
由韦达定理可得，，
，得；

，
，则，
因为，则，故为钝角，
，
． 

【解析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同角三角函数的基本关系和诱导公式，属于中档题．
根据韦达定理以及同角三角函数的平方关系可求得实数的值；
化简得出，分析可知为钝角，进而利用同角函数的平方关系可求得的值．
 

22.【答案】解：
Ⅰ
在上为减函数，在上是增函数，
由，且，
可得，且，
所以；
Ⅱ因为在上为增函数，
由题意得
即、是方程的两个根，
即关于的方程在上有两个不等的实数根．
设，则
解得，即的取值范围为． 

【解析】本题主要考查分段函数的单调性、二次方程根的分布，属于中档题．
Ⅰ利用的单调性及题意可得，从而分别求得，，根据其关系得到结论；
Ⅱ利用的单调性可得，进而转化为关于的方程在上有两个不等的实数根，可得关于的不等式，进而可求解．