第二章　一元二次函数、方程和不等式-单元测试卷-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册

这是一份第二章　一元二次函数、方程和不等式-单元测试卷-2022学年-数学人教版（2019）-必修第一册，共16页。
第二章　一元二次函数、方程和不等式(满分150分,考试用时120分钟)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.不等式x2≥2x的解集是(　　)A.{x|x≥2}　　　　　　　B.{x|x≤2}C.{x|0≤x≤2}　　　　　　　D.{x|x≤0或x≥2}2.“a-c>b-d”是“a>b且c<d”的(　　)A.充分不必要条件　　　　　　　B.必要不充分条件C.充分必要条件　　　　　　　D.既不充分也不必要条件3.已知集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|x-a>0},若B⊆A,则实数a的取值范围为(　　)A.a≥2　　　　　　　B.a>2C.a≥4　　　　　　　D.a>44.若命题“∃x∈R,使得不等式mx2+(m2-3)x+m<0”是真命题,则实数m的取值集合是(　　)A.{m|-3<m<-1}　　　　　　　B.{m|m<1或m>3}C.{m|m≤0}　　　　　　　D.{m|-3<m<-1或1<m<3}5.已知x>1,则4x+的最小值是(　　)A.4 B.8 C.12 D.206.一元二次不等式kx2-2x+6k≥0的解集是空集,则实数k的取值范围是(　　)A.k<-或k>　　　　　　　B.-<k<C.-≤k≤　　　　　　　D.k<-7.若关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},则关于x的不等式>0的解集为(　　)A.{x|x<-2或x>1}　　　　　　　B.{x|1<x<2}C.{x|x<-1或x>2}　　　　　　　D.{x|-1<x<2}8.已知实数a>0,b>0,且满足ab-a-2b-2=0,则(a+1)(b+2)的最小值为(　　)A.24 B.3+13 C.9+13 D.25二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知a<b<0,则(　　)A.a2<b2　　　　　　　B.ab<b2C.ab<a2　　　　　　　D.>10.给出下列四个条件:①xt2>yt2;②xt>yt;③x2>y2;④0<<.其中能成为x>y的充分条件的是(　　)A.① B.② C.③ D.④11.下列选项中正确的是(　　)A.若a≠0,则a+的最小值为4B.若x∈R,则+的最小值为2C.若ab<0,则+的最大值为-2D.若正实数x,y满足x+2y=1,则+的最小值为812.下列命题为真命题的是(　　)A.若一个直角三角形的斜边长为2,则它周长的最大值为2+2B.若一个直角三角形的斜边长为2,则它面积的最大值为1C.若ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<2},则ax2-bx+c>0的解集是{x|-2<x<-1}D.若ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<2},则cx2-bx+a>0的解集是三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知关于x的不等式x2-mx+>0对任意x∈R恒成立,则m的取值范围是　　　　. 14.设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-a)≥0},B={x|x≥a-1},若A∪B=R,则a的取值范围为　　　　. 15.若非负实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为　　　　. 16.已知a>b,不等式ax2+2x+b≥0对一切实数x恒成立.若存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,则的最小值为　　　　. 四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1)设x<y<0,试比较(x2+y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小;(2)已知a,b,x,y∈(0,+∞)且>,x>y,求证:>.   18.(12分)已知关于x的不等式ax2+5x-2>0的解集是M.(1)若a=3,求解集M;(2)若M=,解关于x的不等式:>1.   19.(12分)已知a>0,b>0,且(a+b)=1.(1)求+的最小值;(2)是否存在a,b,使得+的值为?并说明理由.     20.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.    21.(12分)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0.(1)当a=-1,b=2,c=1时,求该不等式的解集;(2)从下面两个条件中任选一个,并求出此时该不等式的解集.①a=1,b=-2-m,c=2m;②a=m,b=m-2,c=-2.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.     
22.(12分)某企业为积极响应国家垃圾分类号召,在科研部门的支持下进行技术创新,新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量x(单位:吨)最少为70吨,最多为100吨.日加工处理总成本y(单位:元)与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为y=x2+40x+3 200,且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为100元.(1)该企业日加工处理量为多少吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低?此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态?(2)为了使该企业可持续发展,政府决定对该企业进行财政补贴,补贴方案共有两种:①每日进行定额财政补贴,金额为2 300元;②根据日加工处理量进行财政补贴,金额为30x元.如果你是企业的决策者,为了获得最大利润,你会选择哪种补贴方案?为什么?       答案全解全析1.D　由x2≥2x得x(x-2)≥0,解得x≤0或x≥2,故选D.2.B　由“a>b且c<d”能推出“a-c>b-d”,故是必要条件,由“a-c>b-d”推不出“a>b且c<d”,比如a=5,c=4,b=6,d=6,故不是充分条件,故选B.3.A　易得A={x|x>2或x<-4},B={x|x>a},若B⊆A,则a≥2.故选A.4.B　当m=0时,不等式为-3x<0,显然有解,满足题意;当m<0时,不等式对应的二次函数的图象开口向下,必然存在x∈R,使得不等式mx2+(m2-3)x+m<0成立;当m>0时,有Δ>0,即-4m2>0,解得m2>9或m2<1,所以0<m<1或m>3.综上可得,m<1或m>3.故选B.5.B　由x>1,可得x-1>0,则4x+=4(x-1)++4≥2+4=8,当且仅当4(x-1)=,即x=时,等号成立,所以4x+的最小值是8.故选B.6.D　由题意可知,一元二次不等式kx2-2x+6k<0对任意的x∈R恒成立,所以解得k<-.故选D.7.D　因为关于x的不等式ax-b>0的解集为{x|x<1},所以关于x的方程ax-b=0的根为x=1,且a<0,∴a-b=0,即b=a.故不等式>0即>0,等价于<0,解得-1<x<2.因此,不等式>0的解集为{x|-1<x<2}.故选D.8.D　因为ab-a-2b-2=0,所以b=,又a>0,b>0,所以>0,解得a>2,又b==1+,所以(a+1)(b+2)=ab+2a+b+2=a+2b+2+2a+b+2=3a+3b+4=3a++7=3(a-2)++13≥2+13=25,当且仅当3(a-2)=,即a=4时,等号成立,故(a+1)(b+2)的最小值为25.故选D.9.CD　当a=-2,b=-1时,a2>b2,ab>b2,∴A、B错误;∵a<b<0,∴a2>ab,-=>0,即>,∴C、D正确.故选CD.10.AD　①由xt2>yt2可知,t2>0,所以x>y,因此xt2>yt2是x>y的充分条件.②由xt>yt不能确定t的符号,因此不能确定x与y的大小关系,故xt>yt不是x>y的充分条件.③令x=-2,y=1,则x2>y2,但x<y,因此x2>y2不是x>y的充分条件.④由0<<可得,x>0,y>0,-<0,即<0,所以y-x<0,所以x>y,因此0<<是x>y的充分条件.故选AD.11.CD　对于A,若a<0,则a+无最小值,A错误;对于B,因为>0,所以+≥2=2,当且仅当=,即x2=-1时取“=”,显然不成立,B错误;对于C,因为ab<0,所以-ab>0,则+=-≤-2×=-2,当且仅当-=-,且ab<0,即a=-b时取“=”,C正确;对于D,因为x,y均为正数,且x+2y=1,所以+=(x+2y)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即x=,y=时取“=”,D正确.故选CD.12.ABC　对于A,B,设直角三角形的两直角边的长分别为a,b,则a2+b2=4,由于(a+b)2≤2(a2+b2)=8,所以a+b≤2,当且仅当a=b=时,等号成立,则此直角三角形周长的最大值为2+2,故A正确;因为ab≤=2,当且仅当a=b=时,等号成立,所以此直角三角形的面积S=ab≤1,故B正确;对于C,若ax2+bx+c>0的解集是{x|1<x<2},则1和2是方程ax2+bx+c=0的两根,且a<0,则有可得b=-3a,c=2a,所以不等式ax2-bx+c>0即ax2+3ax+2a>0,所以x2+3x+2<0,即(x+1)(x+2)<0,解得-2<x<-1,故ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<-1},故C正确;对于D,由C的分析可得不等式cx2-bx+a>0即2ax2+3ax+a>0,又a<0,所以2x2+3x+1<0,即(2x+1)(x+1)<0,解得-1<x<-,故cx2-bx+a>0的解集是,故D错误.故选ABC.13.答案　{m|-<m<}解析　由题意得Δ=m2-2<0,解得-<m<.故答案为{m|-<m<}.14.答案　{a|a≤2}解析　当a>1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤1或x≥a},∵B={x|x≥a-1},A∪B=R,∴a-1≤1,解得a≤2,∴1<a≤2;当a=1时,A={x|(x-1)2≥0}=R,B={x|x≥0},A∪B=R,符合题意;当a<1时,A={x|(x-1)(x-a)≥0}={x|x≤a或x≥1},由B={x|x≥a-1},且A∪B=R,得a-1≤a,恒成立,∴a<1.综上,a的取值范围为{a|a≤2}.15.答案　4解析　因为x2+4y2+4xy+4x2y2=32,所以(x+2y)2+(2xy)2=32,又(x+2y)2+(2xy)2≤(x+2y)2+(x+2y)4,当且仅当x=2y时取等号,所以(x+2y)4+16(x+2y)2-32×16≥0,所以(x+2y)2≥16或(x+2y)2≤-32(舍去),故x+2y≥4或x+2y≤-4(舍去),故x+2y的最小值为4.16.答案　2解析　当a=0时,不等式ax2+2x+b≥0即2x+b≥0,此不等式不恒成立,不符合题意;当a≠0时,依题意知⇒∵存在x0∈R,使a+2x0+b=0成立,∴4-4ab≥0⇒ab≤1,因此ab=1,且a>0,从而b>0.∵a>b,∴a-b>0,∴==(a-b)+≥2,当且仅当a-b=,即a=,b=时,等号成立.17.解析　(1)(x2+y2)(x-y)-(x2-y2)(x+y)=(x-y)[(x2+y2)-(x+y)2]=-2xy(x-y),(2分)因为x<y<0,所以xy>0,x-y<0,所以-2xy(x-y)>0,(4分)因此(x2+y2)(x-y)>(x2-y2)(x+y).(5分)(2)证明:-=,(7分)因为>,且a,b∈(0,+∞),所以b>a>0.(8分)又因为x>y>0,所以bx>ay,x+a>0,y+b>0,所以>0,即>.(10分)18.解析　(1)当a=3时,不等式为3x2+5x-2>0,即(3x-1)(x+2)>0,(2分)所以x<-2或x>,故解集M=.(5分)(2)因为M=,所以和2是方程ax2+5x-2=0的两根,且a<0,(6分)所以解得a=-2,(8分)故不等式>1即>1,移项并整理,得>0,即(4x-1)(2x-1)<0,(10分)所以<x<,故不等式>1的解集为.(12分)19.解析　∵a>0,b>0,且(a+b)=1,∴a+b=,(1分)又a+b≥2,(2分)∴≥2,∴ab≤.(3分)(1)+≥2=≥4,当且仅当a=b=时取等号.(6分)(2)∵a>0,b>0,∴+≥2=,当且仅当2a=3b时,等号成立,又ab≤,当且仅当a=b=时,等号成立,∴+>,(10分)∵<,∴不存在a,b,使得+的值为.(12分)20.解析　(1)设DN的长为x(x>0)米,则AN的长为(x+2)米.易得=,∴AM=,∴=AN·AM=.(4分)由S矩形AMPN>32,得>32,又x>0,∴3x2-20x+12>0,解得0<x<或x>6,(7分)即DN的长(单位:米)的取值范围是x0<x<或x>6.(8分)(2)设矩形花坛AMPN的面积为y平方米,则y===3x++12≥2+12=24,(10分)当且仅当3x=,即x=2时,等号成立,此时y取得最小值24.(11分)故DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,最小为24平方米.(12分)21.解析　(1)当a=-1,b=2,c=1时,不等式ax2+bx+c≥0即-x2+2x+1≥0,即x2-2x-1≤0,(1分)解得1-≤x≤1+,故当a=-1,b=2,c=1时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|1-≤x≤1+}.(4分)(2)选择条件①a=1,b=-2-m,c=2m,则不等式ax2+bx+c≥0即x2-(2+m)x+2m≥0,即(x-2)(x-m)≥0,(5分)当m=2时,不等式(x-2)(x-m)≥0即(x-2)2≥0,解集为R; (7分)当m>2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤2或x≥m};(9分)当m<2时,不等式(x-2)(x-m)≥0的解集为{x|x≤m或x≥2}.(11分)故若选择条件①a=1,b=-2-m,c=2m,则当m=2时,原不等式的解集为R;当m>2时,原不等式的解集为{x|x≤2或x≥m};当m<2时,原不等式的解集为{x|x≤m或x≥2}. (12分)选择条件②a=m,b=m-2,c=-2,则不等式ax2+bx+c≥0即mx2+(m-2)x-2≥0,(5分)当m=0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即-2x-2≥0,解得x≤-1;(6分)当m>0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即(mx-2)(x+1)≥0,即(x+1)≥0,解得x≤-1或x≥; (8分)当m<0时,不等式mx2+(m-2)x-2≥0即(mx-2)(x+1)≥0,即(x+1)≤0,(i)当=-1,即m=-2时,(x+1)≤0即(x+1)2≤0,解得x=-1;(9分)(ii)当>-1,即m<-2时,解(x+1)≤0,得-1≤x≤;(10分)(iii)当<-1,即-2<m<0时,解(x+1)≤0,得≤x≤-1.(11分)综上所述,若选择条件②a=m,b=m-2,c=-2,则当m<-2时,原不等式的解集为;当m=-2时,原不等式的解集为{-1};当-2<m<0时,原不等式的解集为;当m=0时,原不等式的解集为{x|x≤-1};当m>0时,原不等式的解集为.(12分)22.解析　(1)由题意可知,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为=++40,x∈[70,100].(2分)又++40≥2+40=2×40+40=120,当且仅当=,即x=80时,等号成立,(3分)所以该企业日加工处理量为80吨时,日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.(4分)因为100<120,所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态.(5分)(2)若该企业采用第一种补贴方案,设该企业每日获利为y1元,由题可得y1=100x-+2 300=-x2+60x-900=-(x-60)2+900.(7分)因为x∈[70,100],所以当x=70时,企业获利最大,最大利润为850元.(8分)若该企业采用第二种补贴方案,设该企业每日获利为y2元,由题可得y2=130x-=-x2+90x-3 200=-(x-90)2+850.(10分) 因为x∈[70,100],所以当x=90时, 企业获利最大,最大利润为850元.(11分)答案示例1:因为两种方案所获最大利润相同,所以选择两种方案均可.(12分)答案示例2:因为两种方案所获最大利润相同,但第一种补贴方案只需要企业日加工处理量为70吨即可获得最大利润,所以选择第一种补贴方案.(12分)答案示例3:因为两种方案所获最大利润相同,但第二种补贴方案能够为社会做出更大的贡献,所以选择第二种补贴方案.(12分)