2021-2022学年江苏省无锡市江阴市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列冬奥会会徽图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 下列调查中，适合采用抽样调查的是(    )

A. 某本书中的印刷错误
B. 某封控区全体人员的核酸检测情况
C. “神舟十四号”载人飞船所有零件的质量
D. 长江水域的水质状况

3. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列语句所描述的事件中，是不可能事件的是(    )

A. 黄河入海流 B. 大漠孤烟直 C. 手可摘星辰 D. 红豆生南国

5. 如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是(    )

A. 互相平分 B. 相等 C. 互相垂直 D. 互相垂直平分

6. 把分式的分子分母中的，都扩大倍，则分式的值(    )

A. 不变 B. 缩小倍 C. 扩大倍 D. 扩大倍

7. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了其中两块碎玻璃，其编号应该是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 已知点是反比例函数的图象上的一个动点，连接，若将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点所在图象的函数表达式是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 当作用于一个物体的压力一定时，这个物体所受的压强与它的受力面积的函数表达式为，则下列描述不正确的是(    )

A. 当压力，受力面积为时，物体所受压强为
B. 图像位于第一、三象限
C. 压强随受力面积的增大而减小
D. 图像不可能与坐标轴相交

10. 如图，在矩形中，，点为矩形的对称中心，点为边上的动点，连接并延长交于点将四边形沿着翻折，得到四边形，边交边于点，连接、，则的面积的最小值为(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

11. 若分式的值为，则的值为______．
12. 已知双曲线经过点，那么的值等于______．
13. 写出一个二次根式，使它与的积是有理数．这个二次根式是______．
14. 如图，▱的对角线交于点，，，，则的周长为______．

15. 若关于的方程有增根，则的值为______．
16. 一只不透明的袋子中装有个球颜色分别为红色、黄色、蓝色，它们除颜色外都相同．将球摇匀，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率大于摸到黄球的概率，且摸到黄球、蓝球的概率相等，则红球的个数为______个．
17. 如图，在平面直角坐标系中，，已知反比例函数的图象与线段有公共点，则的取值范围是______．

18. 如图，在菱形中，对角线，，动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，顺次连接、、、设运动的时间为，若四边形是矩形，则的值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19. 计算或化简：
    ；
    ．
20. 解方程：
    ；
    ．
21. 已知，求的值．
22. 某市举行“传承好家风征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记分，组委会从篇征文中随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了不完整的两幅统计图表．
    征文比赛成绩频数分布表

请根据以上信息，解决下列问题：
征文比赛成绩频数分布表中的值是______；的值是______；
补全征文比赛成绩频数分布直方图；
若分以上含分的征文将被评为一等奖，试估计全市获得一等奖征文的篇数．

23. 如图，正方形的边长为，菱形的三个顶点、、分别在正方形的边、、上，．
    如图，当时，求证：菱形是正方形．
    如图，连接，当的面积等于时，求线段的长度．
     

24. 今年月，新冠病毒突袭江阴，“病毒无情、人间有爱”，某超市为封控区居民搭配了，两种蔬菜生鲜套餐以供选择套餐不可拆零售卖已知、两种套餐的售价之比为：，顾客花元购进套餐的数量比花元购进套餐的数量多份．
    求、套餐每份的售价各为多少元？
    已知、两种套餐的成本分别为元和元，根据实际情况，超市一次可以搭配两种套餐共份．为了更好地服务居民，预计销售完这份套餐后获利不高于元，则超市如何搭配，套餐，才能使顾客购买这份套餐的总金额最低？
25. 如图，将一个长为，宽为的大矩形分割成如图所示的九个完全相同的小矩形、点、为的三等分点，点为线段上的动点．
    请在图、图中完成下列画图，要求：仅用无刻度的直尺；保留必要的画图痕迹．
    在图中，当点与点重合时，过点画两条直线将矩形分成面积相等的三部分．
    在图中，当点不与点、重合时，过点画两条直线、将矩形分成面积相等的三部分，且、在边上；在点运动的过程中，的周长的最小值为______．
     

26. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，顶点、在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴．
    
    若，，菱形的面积为______．
    当点、在坐标轴上时，求的值；
    如图，当点、、三点在同一直线上时，试判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用轴对称图形的性质、中心对称图形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了中心对称图形、轴对称对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：某本书中的印刷错误，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
B.某封控区全体人员的核酸检测情况，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
C.“神舟十四号”载人飞船所有零件的质量，适合采用全面调查，故本选项不合题意；
D.长江水域的水质状况，适合抽样调查，故本选项符合题意；
故选：．
根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
此题考查全面调查与抽样调查，关键是根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：“黄河入海流”是必然事件，因此选项A 不符合题意；
B.“大漠孤烟直”是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.“手可摘星辰”是不可能事件，因此选项C 符合题意；
D.“红豆生南国”是必然事件，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义结合具体问题情境进行判断即可．
本题考查必然事件、随机事件、不可能事件，理解必然事件、随机事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
 

5.【答案】 

【解析】解：由于、、、分别是、、、的中点，

根据三角形中位线定理得：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，即，
，
故选：．
由于顺次连接四边各边中点得到的四边形是平行四边形，有对应边与原对角线平行，由矩形的性质可知，应为对角线互相垂直的四边形．
此题主要考查了矩形的判定定理有一个角为直角的平行四边形为矩形，难度不大．
 

6.【答案】 

【解析】解：、都扩大倍，
，
分式的值扩大倍．
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题主要考查的是分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，两块角的两边互相平行，且只有，两块玻璃中间部分相连，
角的两边延长线的交点就是平行四边形的顶点，从而可以确定平行四边形的大小，
故选：．
根据图形再结合平行四边形的判定，即可解答．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的应用，结合图形分析是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点是反比例函数的图像上的一个动点，
设，
过作轴于，过作轴于，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
点所在图象的函数表达式为，
故选：．
设，过作轴于，过作轴于，得到，，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论．
本题考查了坐标与图形变化旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当压力，受力面积为时，，故本选项不符合题；
B.结合实际意义可知，即函数图像位于第一象限，故本选项符合题；
C.压强随受力面积的增大而减小，故本选项不符合题；
D.根据题意可知，，又，由此可得，故图像不可能与坐标轴相交，故本选项不符合题．
故选：．
根据反比例函数的性质依次判断各个选项即可得出结论．
本题考查反比例函数的应用，涉及待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，关键是掌握相关性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：在上截取，连接，

由折叠得：，
又，
≌，
，
最短时，也就最短，
而当时，最短，
此时，点为矩形的对称中心，
，
即的最小值是，
在中，点为矩形的对称中心，
长度是矩形对角线长度的一半，即是，定值，度数也不变，是定值，
当最小值时，面积最小．
过点作，
点为矩形的对称中心，
，
中，，
中，，
，
面积的最小值是．
故选：．
在上截取，连接，证明≌，所以，即可得最短时，也就最短，而当时，最短，且，再过点作，得，又因为，就可以根据勾股定理计算、的长，从而计算出最小面积．
本题考查中心对称、轴对称、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，解题关键是找到的最小值．
 

11.【答案】 

【解析】解：且，
．
故答案为：．
根据分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件：分子等于且分母不等于是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：把点代入得，，
故答案为：．
把点代入可求出的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，图象过某点，则该点的坐标满足关系式．
 

13.【答案】 

【解析】解：；
故答案为：．
根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号，即可判断．
考查了正确选择二次根式，使它们的积是有理数是解答问题的关键．
 

14.【答案】． 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长，
故答案为：．
利用平行四边形的性质可得，，，然后进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

16.【答案】 

【解析】解：一只不透明的袋子中装有个球，摸到红球的概率大于摸到黄球的概率，且摸到黄球、蓝球的概率相等，
红球有个，黄球有个，蓝球有个，
故答案为：．
根据概率公式计算即可．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】 

【解析】解：，，
直线为，
令，整理得，
当双曲线与线段相切时，，
，
当双曲线经过点时，，
当双曲线经过点时，．
若双曲线与线段有公共点，则的取值范围是．
故答案为：．
求得和分别在双曲线上时对应的的值，根据双曲线与线段有公共点，即可得出的范围．
本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，确定出双曲线的两个特殊位置时的值是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，，
，
动点、分别从点、同时出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动；同时，动点、也分别从点、出发，均以的速度沿、向终点、匀速运动，
，，
在和中，
，
≌，
，
同理可证：，
四边形是平行四边形，
如图，连接，，过点作于，于，

当时，四边形是矩形，
即当时，四边形是矩形，
，
，
，
，
同理可求：，，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：．
先证四边形是平行四边形，则当时，四边形是矩形，由“”可证≌，可得，即可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】先算二次根式的乘法，再算减法即可；
先算乘方，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为；
去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

21.【答案】解：，
，
则原式． 

【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，
，
故答案为：，；
，，
补全征文比赛成绩频数分布直方图如下：

篇，
答：全市获得一等奖征文的篇数为篇．
先求出样本总量，再根据频率频数总数求解可得；
先求出、的值，据此可补全图形；
利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查了频数率分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

23.【答案】证明：在和中，
四边形是正方形，
，
四边形是菱形，
，
在和中，
，
≌，
，

，
菱形为正方形；

解：过作，交的延长线于点，连接，
，
，
，
，
；
在和中，
，
≌，
，
设，
，
，
，
即．
故线段的长度为． 

【解析】由于四边形为正方形，四边形为菱形，那么，，而，易证≌，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形；
过作，垂足为，连接，由与平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，再由为菱形的对角线，利用菱形的性质得到一对内错角相等，通过证明≌可得．
本题考查了正方形的性质和判定、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过作，交延长线于，连接，构造全等三角形和内错角．
 

24.【答案】解：设套餐每份的售价为元，则套餐每份的售价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
则，，
答：套餐每份的售价为元，则套餐每份的售价为元；
设套餐有份，则套餐有份，
由题意得：，
解得：，且为整数，
的最小值为，
设顾客购买这份套餐的总金额为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，的值最小，
此时，，
答：超市搭配套餐份，套餐份，才能使顾客购买这份套餐的总金额最低． 

【解析】设套餐每份的售价为元，则套餐每份的售价为元，由题意：顾客花元购进套餐的数量比花元购进套餐的数量多份．列出分式方程，解方程即可；
设套餐有份，则套餐有份，顾客购买这份套餐的总金额为元，由题意：预计销售完这份套餐后获利不高于元，列出一元一次不等式，解得，则的最小值为，再由题意得，然后由一次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】 

【解析】解：如图，直线，直线即为所求；
如图中，直线，直线即为所求．

当点是的中点时，的周长最小，最小值，
故答案为：，
根据要求作出直线即可；
利用网格特征，作出直线即可．当点是的中点时，的周长最小．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

26.【答案】 

【解析】解：设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，
，，
，，
．
故答案为：．
由题意可知，点在轴上，点在轴上，
设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，
点是的中点，
，，即，
点在轴上，点在轴上，
且，
；
是，理由如下：
设点的横坐标为，则，
轴，，
轴，
，
，，即，
设直线所在的直线为，
，即．
直线的解析式为：
点，，三点共线，
，整理得或舍．
综上，的值为．
设点的横坐标为，则，由题意可知，轴，则，所以，，由菱形的性质可知，，，所以．
由题意可知，点在轴上，点在轴上，设点的横坐标为，则，同上可知轴，所以，因为点是的中点，，由点，在坐标轴上，建立方程即可得出结论；
设点的横坐标为，则，同上可知，，，设直线所在的直线为，利用待定系数法可求出所以直线的解析式为：因为点，，三点共线，所以将点的坐标代入可得，整理该等式可得出结论．
本题属于反比例函数与几何综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式等知识，关键是设出关键点的坐标，利用菱形的性质去表达，，，的坐标．