2021-2022学年广东省深圳市龙岗区七校七年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年广东省深圳市龙岗区七校七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 在下列“绿色食品、回收、节能、节水”四个标志中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某一超市在“五一”期间开展有奖促销活动，每买元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张(    )

A. 能中奖一次 B. 能中奖两次
C. 至少能中奖一次 D. 中奖次数不能确定

5. 若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 如图所示的游泳池内蓄满了水，现打开深水区底部的出水口匀速放水，在这个过程中，可以近似地刻画出泳池水面高度与放水时间之间的变化情况的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在中，，以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接，若，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，中，，垂直的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为(    )

1.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 长方形的周长为，其中一边为其中，另一边为，则关于的关系式为______．
12. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．

13. 某汽车生产厂对其生产的型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行使过程中，油箱的余油量升与行驶时间小时之间的关系如下表：

由表格中与的关系可知，当汽车行驶______小时，油箱的余油量为升．

14. 已知，如图，等腰中，，是高上任一点，是腰上任一点，腰，，，那么线段的最小值是______．

15. 如图，已知，点是边上一点，在射线上取一点，当是等腰三角形时，的度数为______．

三、解答题（本大题共7小题，共55分）

16. 计算：
    ；
    ．
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 如图，在的正方形网格中，点，，均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．
    在图中，以点为顶点作，使；
    在图中，在上找一点，使．
     

19. 小深和小圳在一条直线跑道上匀速跑步，小圳先跑．小深出发时，小圳已经距起点米了，他们距起点的距离米与小深出发的时间秒之间的关系如图不完整根据图中信息，解答下列问题．
    在上述变化过程中，自变量是______，因变量是______．
    小深的跑步速度为______米秒，小圳的跑步速度为______米秒．
    当小深第次追上小圳时，求小深距起点的距离．

20. 以点为顶点作两个等腰直角三角形，如图所示放置，使得一直角边重合，连接，．
    说明；
    延长，交于点，求的度数；
    若如图放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
21. 阅读下面的材料，解决有关问题：
    在下列数据中，我们可以发现其中某些数之间满足一定的规律，如图所选择的两组七个数，分别将每组数中相对的两数相乘，再相减．
    
    计算：______，______，不难发现，结果相同；
    图是从图中截出的一部分，在选中的七个数中，若设中心数为，则、、、所对应的数分别为______，______，______，______用含的代数式表示，请你利用整式的运算，对中的规律进行证明；
    若把图中“工”拉长，如图，这组数中相对的数分别设为、与、，则______．
22. 如图：在中，，，射线、的夹角为，过点作于点，直线交于点，连接．
    
    如图，若射线、都在的内部，且点与点关于对称，求证：；
    如图，若射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，求证：；
    如图，若射线、都在的外部，其他条件不变，若，，，求的长．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定．故选D．
由于中奖概率为，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．
解答此题要明确概率和事件的关系：
，为不可能事件；
为必然事件；
为随机事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
即，
．
故选：．
利用多项式乘多项式计算，然后利用一次项系数相等得到的值．
本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
在浅水区，随的增大而减小，下降的速度比较慢，
在深水区，随的增大而减小，下降的速度比较快，
故选：．
根据题意和图形，可以得到浅水区和深水区随的变化情况，从而可以解答本题．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，
，
A、在和中

≌，正确，故本选项错误；
B、根据，，不能推出≌，错误，故本选项正确；
C、在和中

≌，正确，故本选项错误；
D、，
，
在和中

≌，正确，故本选项错误；
故选：．
求出，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，，
．
故选：．
延长两三角板重合的边与直尺相交，根据两直线平行，内错角相等求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：延长交于点设交于点．

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
故选：．
首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

11.【答案】． 

【解析】解：由长方形的周长公式可得，，
即，
故答案为：．
根据长方形的周长公式可得答案．
本题考查函数关系式，掌握长方形的周长计算方法是得出正确答案的前提．
 

12.【答案】 

【解析】解：由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
黑色方砖在整个地板中所占的比值，
小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
先求出黑色方砖在整个地板中所占的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：每小时的耗油量为，
则，
当时，
解得：．
故答案为：．
表格可知，开始油箱中的油为，每行驶小时，油量减少，据此可得与的关系式．
本题考查了函数关系式．注意贮满汽油的汽车，汽车行驶的时间就是油箱中剩余油量为升时的的值．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作点关于的对称点，连接作于．

，，，
，
，
点在上，
，
根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
作点关于的对称点，连接作于根据垂线段最短可知，当，，共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长．
本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
 

15.【答案】或或 

【解析】解：当时，
；
当时，
；
当时，
，
．
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
分三种情况讨论：当，当，当，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，进行分类讨论是解题的关键．
 

16.【答案】解：

；


 

【解析】先计算负整数指数幂，零指数幂；然后计算加减法；
将除法转化为乘法，通过约分解答．
本题主要考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，零指数幂以及负整数指数幂，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
 

17.【答案】解：原式

．
当，时，原式． 

【解析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，结合整式的除法运算法则计算，最后把已知数据代入得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式化简是解题关键．
 

18.【答案】解：如图，为所求的角；
图，点为所求的点． 

【解析】根据两直线平行，内错角相等，作，则；
根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，借助表格作的垂直平分线，交于，即为所求．
本题主要考查了平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握这两个性质是解决问题的关键．
 

19.【答案】小深出发的时间  他们距起点的距离    

【解析】解：在上述变化过程中，自变量是小深出发的时间，因变量是他们距起点的距离，
故答案为：小深出发的时间，他们距起点的距离；
小深的速度米秒，
小圳的跑步速度米秒，
故答案为：，；
当小深第次追上小圳时，，
解得：，
米，
答：当小深第次追上小圳时，求小深距起点的距离为米．
根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案；
根据小深秒跑了米，小圳秒跑了米计算速度即可；
当小深第次追上小圳时，根据所跑路程相等列出方程求出，进而得到小深距起点的距离．
本题考查了函数的图象，常量与变量，体现了方程思想，当小深第次追上小圳时，根据所跑路程相等列出方程求出是解题的关键．
 

20.【答案】解：、是等腰直角三角形，
，，，
在和中，
，
≌，
；

≌，
，
而在中，
又
；

成立，且两线段所在直线互相垂直，即理由如下：
、是等腰直角三角形
，，，

，
在和中，
，
≌
，，
． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，，，利用“”可证明≌，则；
由≌得到，利用三角形内角和定理可得到；
与一样可证明≌，得到，，利用三角形内角和定理得到．
本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“”、“”、“”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形的性质．
 

21.【答案】             

【解析】解：




．





．
故答案为：，．
设中心数为，观察表格知，、、、所对应的数分别为，，，．
由发现的规律为．
证明：




．
．
故答案为：，，，．
设中间数为，则，，，，





．
故答案为：．
通过观察，，，与的关系，发现，，，；通过观察，，，与的关系，发现，，，然后利用平方差公式进行计算，发现计算结果都是．
观察表格中数据的大小关系，发现、、、所对应的数与中间数之间的关系，从而得到、、、所对应的数分别为，，，由发现的规律为，把、、、所对应的数代入利用平方差公式计算，结果，证明了发现的规律．
观察表格中数据的大小关系，发现、、、所对应的数与中间数之间的关系，先设中间数为，得到、、、所所对应的数用含有的式子表示出来，然后代入利用平方差公式计算出结果．
本题考查根据数字规律列代数式、有理数的混合运算，其中在计算时可以借助平方差公式进行计算，本题中观察数字规律并用含有字母的式子列代数式是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：如图，连接，
，关于对称，
被垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
；
证明：如图，在上截取，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
；
解：如图，延长至点，使，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
设，，
，，
，
，，
，
，
，
． 

【解析】先判断出，再用等式的性质判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，再判断出，进而得出≌，即，即可得出结论；
同的方法判断出，最后用面积建立方程求出的值，即可得出结论．
本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，垂直平分线的性质，判断出是解本题的关键．