2021-2022学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年安徽省合肥市高新区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40分）

1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 以下列数据为长度的线段中，可以构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 用配方法解方程，配方正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 一个正多边形的每一个外角都是，则它是(    )

A. 正六边形 B. 正八边形 C. 正九边形 D. 正十边形

6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 某中学八班个同学在课间进行一分钟跳绳比赛，成绩单位：个如下：，，，，，，，这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8. 电影我和我的祖国一上映，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达亿元，若增长率记作，方程可以列为(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，将图的正方形剪成四块，恰能拼成图的矩形，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在菱形中，，，点、、分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

11. 如果最简二次根式与是同类二次根式，那么______．
12. 若是方程的解，则代数式的值为______．
13. 如图，网格中的小正方形的边长均为，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则边上的高为___          ___ ．

14. 如图，矩形中，，，点是边上的一动点，以为边，在的右侧作正方形请完成下列探究：
    若平分，则的长等于______；
    连接，若，则的面积等于______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

15. 计算：．

四、解答题（本大题共8小题，共82分）

16. 解方程：．
17. 已知关于的方程．
    求证：不论为何值，方程都有两个不相等的实数根；
    若方程一根为，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长．
18. 早在我国西汉时期算书周髀算经就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表其中，为正整数，且：

探究，，与，之间的关系并用含，的代数式表示：______，______，______．
以，，为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．

19. 如图，在中，，是的角平分线，点为的中点，延长交的外角平分线于点．
    求证：；
    连接，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

20. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
    ，是的面积；
    ，是的面积；
    ，是的面积；
    
    请用含有为正整数的式子填空：______，______；
    求的值；
    在线段、、、、中，长度为正整数的线段共有______条．

21. 为了了解某小区居民用水情况，从该小区的、两幢楼中各随机抽取户的五月份用水量，并将所得用水量数据分成五组，如下表所示：

将收集的数据进行整理、分析后，得到如下信息：
楼户居民用水量的频数分布直方图如下图．
楼第三组数据单位：立方米是：，，，，，，，；
已知、两幢楼的样本数据的平均数和中位数如下表．

根据以上信息，解答下列问题：
表格中的______；
若楼的样本数据中高于其平均数的有个，楼的样本数据中高于其平均数的有个，请比较、的大小；并说明理由；
若楼共有户居民、若楼共有户居民，则这两幢楼平均每户的用水量约是多少立方米？

22. 某商店“五一”期间举行了促销活动，经过市场调查发现，某种商品的日销售量件是售价元件的一次函数，下表列出了该商品的售价、日销售量、日销售利润元的部分对应值：

求关于的函数解析式；
商店在活动期间为了促销，求表中、的值．

23. 如图，已知，，是的中线，且交于点是的重心，为中点，为的中点．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，，求的面积．
    若四边形为菱形，求证；．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式进行计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故此选项符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式的除法运算，二次根式的性质，二次根式的加法运算分别计算，从而作出判断．
本题考查二次根式的性质，二次根式的运算，理解二次根式的性质，掌握二次根式的运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：这个正多边形的边数：，
故选：．
根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟记正多边形的边数与外角的关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，，
所以．
故选：．
先根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法求的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

7.【答案】 

【解析】解：将这组数据重新排列为，，，，，，，，
所以这组数据的众数为，中位数为，
故选：．
先将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．
 

8.【答案】 

【解析】解：设平均每天票房的增长率为，
根据题意得：．
故选：．
设平均每天票房的增长率为，根据三天后累计票房收入达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
负值已经舍去，
故选：．
根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．
此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
 

10.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称点，过作交于，交于点，连接，
四边形是菱形，
在上，
由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为边上的高，
，
，
过点作交于，
，
，
的最小值为，
故选：．
作点关于的对称点，过作交于，交于点，连接，当、、三点共线时，的值最小，最小值为边上的高．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义建立关于的方程，求出的值．
本题考查了同类二次根式，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
【解答】
解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：是方程的一个解，
，
则；
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程，即可求得，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
本题考查的是一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于点，

由勾股定理可知：，
，
，

故答案为．
过点作于点，由勾股定理可知：，根据三角形等面积法，即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理，本题属于中等题型．
 

14.【答案】  

【解析】解：四边形是矩形，
，，，
四边形是正方形，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为；
过点作于点，如图，

四边形是正方形，
，，
，
，，
，
≌，
，，
设，则，
，
，
，
在中，由勾股定理可知，，
即，
解得舍去或．
，．
．
故答案为：．
利用正方形的性质，得到是等腰直角三角形求解；
证明和全等，得到，，再结合勾股定理求解．
本题主要考查正方形的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等，第二问的解题关键是证明≌，从而将线段转化，再借助勾股定理求解答案．
 

15.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的加减运算以及除法运算即可直接求解．
本题主要考查二次根式混合运算，解题关键是熟练掌握运用二次根式加减法及乘除法运算，属于基础题型．
 

16.【答案】解：，
，
，，，
，
，
，． 

【解析】根据公式法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
 

17.【答案】解：由题意可知：


，
，
，
不论为何值，方程都有两个不相等的实数根．
当代入，
，
原方程化为：，
或
该三角形的周长为 

【解析】根据判别式即可求出答案．
将代入原方程可求出的值，求出的值后代入原方程即可求出的值．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
 

18.【答案】     

【解析】解：观察得，，，．
故答案为：，，；
以，，为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：
，
，
，
以，，为边长的三角形一定为直角三角形．
根据给出的数据总结即可；
分别计算出、、，根据勾股定理的逆定理进行判断．
本题考查的是勾股数，勾股定理的逆定理，掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，是的角平分线，
，，
点是的中点，
是的中位线，，
，
，
平分，
，
，
，
；
解：四边形是矩形，理由如下：
如图，

，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形． 

【解析】由等腰三角形的性质可得，，由三角形的中位线定理可得，由直角三角形的性质和平行线的性质可证；
由矩形的判定可得结论．
本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

20.【答案】    

【解析】解：由已知条件可知，；
故答案为：；；
原式，




．
线段、、、、的长分别是、、、、、．
长度为正整数的数字分别是、、、、、、，
，，
，
线段、、、、中，长度为正整数的线段共有条．
故答案为：．
认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可．
化简整理后代入求值．
通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析最接近哪个正整数的平方．
考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．
 

21.【答案】 

【解析】解：楼户居民用水量从小到大排列，排在第位的数是立方米，故中位数，
故答案为：；
楼的样本数据中高于其平均数的有户，故；
因为楼的平均数为，中位数为，所以楼的样本数据中高于其平均数不少于户，即，
故；
立方米，
答：这两幢楼平均每户的用水量约是立方米．
利用中位数的定义解答即可；
根据平均数和中位数的意义解答即可；
利用样本估计总体以及加权平均数求解即可．
本题考查用样本估计总体、频数分布直方图、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】解：设与的函数关系式为，
点，点在该函数图象上，
，
解得，
即与的函数关系式为；
设进价为每件元，
由表格可得：，
解得，
，
解得或，
答：、的值是，或，． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以求出关于的函数解析式；
根据中的结果和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，列出相应的二元一次方程组．
 

23.【答案】证明：、为中线，
，，
，，
，分别是，的中点，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形；
解：为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
证明：四边形为菱形，
，
，
，，，
，
即，
，
． 

【解析】利用三角形中位线定理得出，，进而得出四边形是平行四边形；
证明，由三角形面积公式求出，则可求出答案；
由菱形的性质得出，则，由勾股定理可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，正确利用三角形中位线定理及平行四边形的性质是解题关键．