2022天津卷高考数学试卷（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（天津卷）

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集，集合，则（    ）

【答案】

2．“为整数”是“为整数”的 (     )条件

A. 充分不必要   B. 必要而不充分  C.分要    D.既不充分也不必要

【答案】A

3．函数的图像为（    ）

4.  (   )

5. ,比较的大小.(   )

【答案】

6．化简的值为(    )【答案】

7．抛物线，双曲线，抛物线的准线过双由线的左焦点，准线与

渐近线交于点，求双曲线的标准方程(    )

A.     B.      C.      D.

【答案】 C

8.如图是两个直三棱柱重叠后的景象，已知，重叠后的底面

 为正方形，该几何体的体积为（   ）

【答案】

【解析】作

重叠后的上底面与求交点为

重叠后的几何体的体积为

9．已知，关于该函数有下面四个说法：

①的最小正周期为； ②在上单调递增；

③当时，的取值范围为；

④的图象可由向左平移个单位长度得到.

以上四个说法中，正确的个数有（    ）

A.        B.         C.          D.

【答案】A. ②正确，其它的都是错误的

二 、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．

10．已知是虚数单位，化简的结果为____________

【答案】

11.展开式中的常数项为____________

【答案】

【解析】

12．直线与圆相交所得的弦长为，

则 _____ 

【答案】

【解析】

13. 张扑克牌，没有大小王；无放回地抽取两次，则两次都抽到的概率为____________；已知第一次抽到的是，则第二次抽到的概率为____________

【答案】

【解析】

14.中，是的中点；；试用表示；

若，求的最小值为____________

【答案】

【解析】方法一：

方法二：如图所示，建立坐标系

的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，当且仅当与圆相切时，最大，此时

15．定义函数代表与中较小的数，若至少有个零点，求的取值范围____________

【答案】

【解析】

设在上的零点才会成为的零点，

只有在时才会成为的零点，至少有个零点有以下三种情况：

①且在上有两个零点，

转化为与的交点

②

且在上有两个零点

③且在上至少有一个零点，

   综上所述：的取值范围是

三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16．中，

（1）求的大小；（2）求的值；（3）求的值

【答案】（1）；（2）；（3）求

17．直三棱柱 中，为中点，为中点，为中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面夹角的正弦值；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)；（2）；（3）

18．设是等差数列；是等比数列，．

（1）求与的通项公式；

（2）设的前项和为，求证：；

（3）求.

【答案】（1）；

（2）见解析；（3）

【解析】（1）设公差为，公比为，

由可得

（2）证明：（分析法）

(3)

19．已知椭圆方程为右焦点，为右顶点，为上顶点，

（1）求椭圆的离心率；

（2）已知直线与椭圆有唯一交点，直线交轴于点，，的面积为，求椭圆的标准方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）

离心

（2）由（1）可知椭图方程为，设

联立得

由..........①

由且的面积为

得...................②

且......................................③

由②得代入③得，

再由①得．

故椭圆方程为．

20.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）若和有公共点，

(i) 当时，求的取值范围；  (ii) 求证：．

【答案】（1）切线方程；

（2）(i) 的取值范围；(ii)见解析

【解析】

（1） 切线方程；

（2）(i) 由题意得有解，

且在上有解，设 ，

则，当时，单调递增；当时，

单调递减，要使得有零点，必须满足

即；

另一方面，当时，在上存在实数解，符合题意；

实数的取值范围是：

(ii)【解法1】柯西不等式：令交点横坐标为，则，

由柯西不等式：

即证：

因为：

.原命题得证.

【解法2】基本不等式令交点横坐标为，则，

则由基本不等式，

因此有：原命题得证.

【解法3】线性规划法，

假设，下证明：

令，欲证上述不等式，即证明：

令，先研究的单调性和凹凸性：

当时取最小值，且在递减，

在递增，

；

是定义域内的凹函数.，注意到且，

综合以上信息可知和为曲线的两条切线.

又根据的凹凸性可知欲证明成立，

只需证明：直线在两条切线和轴围成的区域（包含函数图像）下方，，

只需两条切线的交点以及在直钱之上，

分别代得到不等式：

成立，

原命题得证.