数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示课文ppt课件

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二、知识讲解
3.1.1　函数的概念
　　问题1　某“复兴号”高速列车加速到 350 km/h 后保持匀速运行半小时．这段时间内，列车行进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为S＝350t．　　这里，t 和 S 是两个变量，而且对于 t 的每一个确定的值，S 都有唯一确定的值与之对应，所以 S 是t 的函数．
　　根据问题 1 的条件，我们不能判断列车以 350 km/h 运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到 t 的变化范围．　　下面用更精确的语言表示问题 1 中 S 与 t 的对应关系．
　　列车行进的路程 S 与运行时间 t 的对应关系是S＝350t． ①其中，t 的变化范围是数集 A1＝{t | 0≤t≤0.5}，S 的变化范围是数集 B1＝{S | 0≤S≤175}．对于数集 A1 中的任一时刻 t，按照对应关系①，在数集 B1 中都有唯一确定的路程 S 和它对应．
　　问题2　某电气维修公司要求工人每周工作至少 1 天，至多不超过 6天．如果公司确定的工资标准是每人每天 350 元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资 w（单位：元）是他工作天数 d 的函数吗？
　　显然，工资 w 是一周工作天数 d 的函数，其对应关系是w＝350d． ②其中，d 的变化范围是数集 A2＝{1，2，3，4，5，6}，w 的变化范围是数集 B2＝{350，700，1 050，1 400，1 750，2 100}．对于数集 A2 中的任一个工作天数 d，按照对应关系②，在数集 B2 中都有唯一确定的工资 w 与它对应．
　　问题3　图 3.1-1 是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数（Air Quality Index，简称 AQI）变化图．如何根据该图确定这一天内任一时刻 t h的空气质量指数（AQI）的值 I？你认为这里的 I 是 t 的函数吗？
　　从图 3.1-1 中的曲线可知，t 的变化范围是数集 A3＝{t | 0≤t≤24}，AQI 的值 I 都在数集 B3＝{I | 0　　你认为按表 3.1-1 给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？　　这里，y 的取值范围是数集 A4＝{2006，2007，2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}；根据恩格尔系数的定义可知，r 的取值范围是数集 B4＝{r | 0　　上述问题的共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用 A，B 来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集 A 中的任意一个数 x，按照对应关系，在数集 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应．
例1　函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律．例如，正比例函数 y＝kx (k≠0) 可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等．　　试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 y＝x(10－x) 来描述．
解：把 y＝x(10－x) 看成二次函数，那么它的定义域是 R，值域是 B＝{y | y≤ 25}．对应关系 f 把 R 中的任意一个数 x，对应到 B 中唯一确定的数 x(10－x)．　　如果对 x 的取值范围作出限制，例如 x∈{x | 0　　研究函数时常会用到区间的概念．　　设 a，b 是两个实数，而且 a　　实数集 R 可以用区间表示为 (－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．
　　如表 3.1-3，我们可以把满足 x≥a，x>a，x≤b，x　　由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．　　两个函数如果仅有对应关系相同，但定义域不相同，那么它们不是同一个函数．例如，前面的问题 1 和问题 2 中，尽管两个函数的对应关系都是 y＝350x，但它们的定义域不相同，因此它们不是同一个函数；同时，它们的定义域都不是 R，而是 R 的真子集，因此它们与正比例函数 y＝350x (x∈R)也不是同一个函数．
3.1.2　函数的表示法
　　我们在初中已经接触过函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．　　解析法，就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 1、2．　　列表法，就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 4．　　图象法，就是用图象表示两个变量之间的对应关系，如 3.1.1 的问题 3．　　这三种方法是常用的函数表示法．
例4　某种笔记本的单价是 5 元，买 x (x∈{1，2，3，4，5}) 个笔记本需要 y元．试用函数的三种表示法表示函数 y＝f (x)．解：这个函数的定义域是数集 {1，2，3，4，5}．用解析法可将函数 y＝f (x) 表示为y＝5x，x∈{1，2，3，4，5}．用列表法可将函数 y＝f (x) 表示为
用图象法可将函数 y＝f (x) 表示为图 3.1-2．
解：（1）在同一直角坐标系中画出函数 f (x)，g (x) 的图象（图 3.1-4）．
（2）由图 3.1-4 中函数取值的情况，结合函数 M(x) 的定义，可得函数 M(x) 的图象（图 3.1-5）．
　　对于一个具体的问题，如果涉及函数，那么应当学会选择恰当的方法表示问题中的函数关系．
例7　表 3.1-4 是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．
　　请你对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析．解：从表 3.1-4 中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但不太容易分析每位同学的成绩变化情况．如果将每位同学的“成绩”与“测试序号”之间的函数关系分别用图象（均为 6 个离散的点）表示出来，如图 3.1-6，那么就能直观地看到每位同学成绩变化的情况，这对我们的分析很有帮助．　　从图 3.1-6 可以看到，王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学学习成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但表示他成绩变化的图象呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
例8　依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）．2019 年 1 月 1 日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为 个税税额＝应纳税所得额×税率－速算扣除数． ①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额＝综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除 －专项附加扣除－依法确定的其他扣除． ②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年 60 000 元．税率与速算扣除数见表 3.1-5．
（1）设全年应纳税所得额为 t，应缴纳个税税额为 y，求 y＝f (t)，并画出图象；（2）小王全年综合所得收入额为 189 600 元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是 8％，2％，1％，9％，专项附加扣除是 52 800 元，依法确定其他扣除是 4 560 元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？分析：根据个税产生办法，可按下列步骤计算应缴纳个税税额：第一步，根据②计算出应纳税所得额 t；第二步，由 t 的值并根据表 3.1-5 得出相应的税率与速算扣除数；第三步，根据①计算出个税税额 y 的值．由于不同应纳税所得额 t 对应不同的税率与速算扣除数，所以 y 是 t 的分段函数．
2．已知函数 f (x)＝3x3＋2x，（1）求 f (2)，f (－2)，f (2)＋f (－2) 的值； （2）求 f (a)，f (－a)，f (a)＋f (－a) 的值．答案：（1）f (2)＝28，f (－2)＝－28，f (2)＋f (－2)＝0．（2）f (a)＝3a3＋2a，f (－a)＝－(3a3＋2a)，f (a)＋f (－a)＝0．
3．判断下列各组中的函数是否为同一个函数，并说明理由：（1）表示炮弹飞行高度 h 与时间 t 关系的函数 h＝130t－5t2 和二次函数 y＝130x－5x2；（2）f (x)＝1 和 g (x)＝x0．答案:（1）不相同．因为前者的定义域为 [0，26]，而后者的定义域为 R．（2）不相同．因为前者的定义域为 R，而后者的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋∞)．