14.3因式分解 人教版初中数学八年级上册同步练习（含答案解析）

14.3因式分解人教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 已知三个实数、、满足，，则．(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2. 如图，大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长则；；；，中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列多项式因式分解正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

4. 多项式因式分解后的结果是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 若，，是直角三角形的三边长，且，则三条角平分线的交点到一条边的距离为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不确定

7. 已知，，为三边，且满足，则是(    )

A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 不能确定

8. 已知、不同的两个实数，且满足、，当为整数时，的值为(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

9. 、、是正整数，，且，则等于(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

10. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 若，，则的值为          ．
12. 分解因式：______．
13. 分解因式：______．
14. 已知两个不相等的实数，满足：，，则的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 利用因式分解回答问题：已知，，求的值．
16. 一个三位正整数，其各位数字均不为零且互不相等．若将的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为的“友好数”，如：的“友好数”为“”；若从的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为的“和睦数”，如：的“和睦数”为．
    求证：与其“友好数”的差能被整除；
    若一个三位正整数，其百位数字为，十位数字为、个位数字为，且各位数字互不相等，若的“和睦数”与之差为，求的值．
17. 对任意一个四位正整数，如果的百位数字等于个位数字与十位数字之和，的千位数字等于十位数字的倍与个位数字之和，那么称这个数为“和谐数”例如：，满足，所以是“和谐数”例如：，满足，但所以不是“和谐数”．
    判断和是不是“和谐数”，并说明理由；
    若是“和谐数”，且与的和能被整除，求满足条件的所有“和谐数”．
18. 一个四位自然数，若各个数位上的数字均不为，且满足百位上的数字与十位上的数字之和是千位上的数字与个位上的数字之和的倍，则称这个四位数为“三三数”例如：
    ，，是“三三数”；
    ，，不是“三三数”．
    判断和是否为“三三数”？并说明理由．
    如果一个“三三数”的各数位上的数字之和为，并且规定：将这个“三三数”的十位与百位交换得到，记；记的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为若为正整数，求出所有符合条件的的值．
19. 对于一个三位数，若其十位上的数字是、各个数位上的数字互不相等且都不为，则称这样的三位数为“可爱数”；如就是一个“可爱数”将“可爱数”任意两个数位上的数字取出组成两位数，则一共可以得到个两位数，将这个两位数的和记为
    例如：
    求的值；
    规定：与的商记为，即例如：若“可爱数”满足，且，均为整数，即的百位上的数字是、十位上的数字是、个位上的数字是，且，请求出所有满足条件的“可爱数”．
20. 阅读材料：如果一个三位数的十位数字比百位数字与个位数字之和大，我们称这个三位数为“新年数”比如，百位数字与个位数字之和为，十位数字是，，所以是“新年数”．
    请判断，是否是“新年数”，并写出判断过程；
    若一个“新年数”是的倍数，将各位数字之和记为，求的值．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
由，得，
整理，得．
，
，即．
由得到：．
则：．
当，即时，．
由得到，与相矛盾，
故，．
故选：．
联立方程组，通过解方程组求得、、间的数量关系．
本题主要考查了因式分解与完全平方公式．解题的关键是根据已知条件推知．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项．
【解答】
解：等于小正方形的边长，即，正确；
为小长方形的面积，
，
故本项正确；
，故本项正确；
，
故本项错误．
所以正确的有．
故选A．  

3.【答案】 

【解析】略
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法和公式法，十字相乘法分解因式，考核学生的计算能力，熟悉公式是解题的关键．先提公因式，再用完全公式分解，再提取公因式，括号内利用十字相乘法分解因式即可．

【解答】
解：



．
故选A．  

5.【答案】 

【解析】解：．
．
．
，，．
，，．
三角形内角平分线，交点是三角形内心，三角形内心到三角形三边的距离相等．
由直角三角形性质知，直角三角形的内心到一条边的距离为：．
故选：．
先配方求，，，再求距离．
本题考查配方法的应用及三角形的内心性质，正确配方求出，，的值是求解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，，
，，，都是正数，
，
则，
  ，
，
而，
，
．
故选A．
首先设辅助字母简化计算过程，然后利用多项式乘法法则计算即可解决问题．
本题主要考查了多项式的乘法计算，计算有点麻烦，解题要有耐心．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
或，
是等腰三角形，
故选：．
将已知式子因式分解为，则有或，即可判断三角形的形状．
本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子因式分解，再由整式的性质进行求解是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
．
为整数，且．
为非负整数．
或．
或．
故选：．
先将变形为，然后把用含的式子表示出来，再根据为整数进行讨论后得出的值．
本题考查了完全平方式的应用，灵活运用完全平方和公式与完全平方差公式的互换是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据已知，
即，
，
，
，
，
、、是正整数，
，
故选：．
本题考查了因式分解的应用，将等式左边分组后用提公因式法分解因式得到：，再根据、、是正整数，即可得到答案．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值．
【解答】
解：能用完全平方公式因式分解，
，
，
解得：或．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了代数式求值，整体代入法及因式分解的应用，掌握平方差公式是解题关键．
先将原式进行因式分解，再整体代入计算即可．
【解答】
解：，，




．  

12.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分组分解法因式分解，正确分组得出是解题关键．
首先将前三项分组进而利用完全平方公式，再用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】
解：

．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
首先提取公因式，再利用完全平方进行二次分解即可．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查因式分解的运用，熟练掌握公式法是解题的关键．
由题意可得，再进行因式分解得出，即可解答．
【解答】
解：，，，不相等

舍去或
  

15.【答案】 

，
当，时，
原式． 

【解析】略
 

16.【答案】解：设百位上的数字为，十位上的数字为，个位数字为，其“友好数”为．
则，
．
．
能被整除．
与其“友好数”的差能被整除．
设的“和睦数”为，
由题意得，，

．
．
．
整理得，
，且，均取整数．
，．
的值为． 

【解析】把各位上的数字表示出来，根据题意把的“友好数”也表示出来，作差进行判断即可；
把的“和睦数”表示出来，与作差后，得到关于，的方程，然后根据，的取值进行讨论．
本题考查了新定义的问题，解答这类题目的关键是正确理解新定义的含义，并根据新定义意义进行解答．
 

17.【答案】解：是“和谐数”，不是“和谐数”．
理由：中，满足，，
是“和谐数”．
中，，且，
不是“和谐数”．
设的千位数字、百位数字、十位数字、个位数字分别为、、、，则，
是“和谐数”，
，，
把，代入得，
，
与的和能被整除，
能被整除，
能被整除，
由此得出，当时，，则，，，则；
当时，，则，，，则；
当时，，则，，不符合题意，舍去．
综上所得，满足条件的所有“和谐数”为，． 

【解析】根据“和谐数”的定义进行判断．同时满足个位数字十位数字百位数字，且十位数字个位数字千位数字的四位数是“和谐数”，只要有一个不成立就不是“和谐数”．
用方程思想，设出四位数的各个数位上的数字并表示出，根据与的和能被整除，找到四位数数位上的数字满足的条件，进而列举出符合条件的所有．
本题数与式的新定义问题，考查能根据“和谐数”的定义判定一个四位数是不是“和谐数”，同时能用方程思想根据题中“和谐数”的定义列代数式，找到符合条件的值．
 

18.【答案】解：是“三三数”，不是“三三数”理由如下：
，
是“三三数”；
，
不是“三三数”；
设，则，
“三三数”的各数位上的数字之和为，
且，
，，
，，，，
，或，或，，，或，或，或，或或，或，，
将这个“三三数”的十位与百位交换得到，记，
，
记的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，
，
为正整数，
为正整数，
，，，或，，，或，，，或，，，．
或或或． 

【解析】根据新定义进行解答便可；
设，则，根据“三三数”的各数位上的数字之和为，得，，再根据，，，，得，或，或，，，或，或，或，或或，或，，再根据将这个“三三数”的十位与百位交换得到，记，记的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，得为正整数，进而得，，，或，，，或，，，或，，，便可求得的所有值．
本题主要考查了新定义，不定方程的应用的，关键是正确理解新定义，解不定方程．
 

19.【答案】解：；
，且，均为整数，
，
，
，
，
，即，
，，且，均为整数，，，，
，或，或，或，，
或或或． 

【解析】根据运算的定义进行计算便可；
根据，且，均为整数，求得，再根据，求得，再根据，列出、的二元一次方程，进而求得符合题意的、的整数解便可得出答案．
本题主要考查了新定义，不定方程的应用，关键是正确理解新定义和求解不定方程．
 

20.【答案】解：，，
是“新年数”；
，，
不是“新年数”；
设“新年数”的个位数为，百位数为，则十位数为：，
“新年数”能被整除，



，
，
即，
，
，
当时，，不符合题意；
当时，，十位数是，不符合题意；
当时，，十位数是，；
当时，，十位数是，；
当时，不符合题意．
综上所述，的值是或． 

【解析】根据“新年数”的定义进行求解即可；
根据能被整除的数的特征，结合“新年数”的定义进行求解即可．
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解清楚能被整除的数的特征：一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的倍，如果和是的倍数，则原数能被整除．