黑龙江省大庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份黑龙江省大庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共49页。试卷主要包含了﹣1，2，其中x＝，先因式分解，再计算求值，0+，解方程等内容，欢迎下载使用。
黑龙江省大庆市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•大庆）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．
2．（2020•大庆）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
3．（2020•大庆）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．
三．因式分解的应用（共1小题）
4．（2021•大庆）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．
四．分式的化简求值（共1小题）
5．（2022•大庆）先化简，再求值：（﹣a）÷．其中a＝2b，b≠0．
五．零指数幂（共1小题）
6．（2022•大庆）计算：|﹣2|×（3﹣π）0+．
六．解分式方程（共2小题）
7．（2021•大庆）解方程：+＝4．
8．（2020•大庆）解方程：﹣1＝．
七．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
八．一元一次不等式的应用（共1小题）
10．（2020•大庆）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
九．一次函数的应用（共1小题）
11．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线EDC表示 　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 　 　槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 　 　cm．
（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
12．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

13．（2020•大庆）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．

一十一．反比例函数综合题（共1小题）
14．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．

一十二．二次函数的应用（共1小题）
15．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　 　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　 　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

一十三．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


17．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

18．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）

一十四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．

一十五．矩形的性质（共1小题）
20．（2020•大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．

一十六．圆的综合题（共3小题）
21．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．

22．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

23．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．

一十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
24．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．
（1）证明：四边形AECF为矩形；
（2）求四边形AECG的面积．

一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．

26．（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

一十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）

二十．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2020•大庆）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．
（1）求问题中的总体和样本容量；
（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

二十一．扇形统计图（共1小题）
29．（2022•大庆）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：
抽取的200名学生成绩统计表
组别
海选成绩
人数
A组
50≤x＜60
10
B组
60≤x＜70
30
C组
70≤x＜80
40
D组
80≤x＜90
a
E组
90≤x≤100
70
请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：①a＝　 　，②b＝　 　，③θ＝　 　度；
（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为55分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；
（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有多少人？

二十二．算术平均数（共1小题）
30．（2021•大庆）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9■，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共2小题）
1．（2021•大庆）计算|﹣2|+2sin45°﹣（﹣1）2．
【解答】解：原式＝2﹣+2×﹣1
＝2﹣+﹣1
＝1．
2．（2020•大庆）计算：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1．
【解答】解：|﹣5|﹣（1﹣π）0+（）﹣1
＝5﹣1+3
＝7．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
3．（2020•大庆）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x＝．
【解答】解：原式＝x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
＝2x2﹣1，
当x＝时，原式＝2（）2﹣1＝5．
三．因式分解的应用（共1小题）
4．（2021•大庆）先因式分解，再计算求值：2x3﹣8x，其中x＝3．
【解答】解：原式＝2x（x2﹣4）
＝2x（x+2）（x﹣2）
当x＝3时，
原式＝2×3×（3+2）×（3﹣2）
＝2×3×5×1＝30．
四．分式的化简求值（共1小题）
5．（2022•大庆）先化简，再求值：（﹣a）÷．其中a＝2b，b≠0．
【解答】解：（﹣a）÷
＝•
＝•
＝，
当a＝2b时，原式＝＝＝．
五．零指数幂（共1小题）
6．（2022•大庆）计算：|﹣2|×（3﹣π）0+．
【解答】解：|﹣2|×（3﹣π）0+
＝（2﹣）×1+（﹣2）
＝2﹣﹣2
＝﹣．
六．解分式方程（共2小题）
7．（2021•大庆）解方程：+＝4．
【解答】解：给分式方程两边同时乘以2x﹣3，
得x﹣5＝4（2x﹣3），
解得x＝1，
检验：把x＝1代入2x﹣3≠0，
所以x＝1是原分式方程的解．
8．（2020•大庆）解方程：﹣1＝．
【解答】解：方程的两边同乘x﹣1，得：2x﹣x+1＝4，
解这个方程，得：x＝3，
经检验，x＝3是原方程的解，
∴原方程的解是x＝3．
七．分式方程的应用（共1小题）
9．（2022•大庆）某工厂生产某种零件，由于技术上的改进，现在平均每天比原计划多生产20个零件，现在生产800个零件所需时间与原计划生产600个零件所需时间相同．求现在平均每天生产多少个零件？
【解答】解：设现在平均每天生产x个零件，
根据题意得：＝，
解得x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
∴x＝80，
答：现在平均每天生产80个零件．
八．一元一次不等式的应用（共1小题）
10．（2020•大庆）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．
（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，
依题意，得：，
解得：．
答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．
（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，
依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，
解得：m≤21，
又∵m为正整数，
∴m可取的最大值为21．
设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，
∵k＝4＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．
答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．
九．一次函数的应用（共1小题）
11．（2021•大庆）如图①是甲，乙两个圆柱形水槽的横截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁块的下底面完全落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度y（cm）与注水时间x（min）之间的关系如图②所示，根据图象解答下列问题：
（1）图②中折线EDC表示 　乙　槽中水的深度与注水时间之间的关系；线段AB表示 　甲　槽中水的深度与注水时间之间的关系；铁块的高度为 　16　cm．
（2）注水多长时间，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程）

【解答】解：（1）由题意可知，乙槽在注入水的过程中，由于有圆柱铁块在内，所以水的高度出现变化，
∴EDC表示的是乙槽的水深与注水时间的关系；
∵甲槽的水是匀速外倒，
∴线段AB表示甲槽水深与注水时间的关系；
折线EDC中，在D点表示乙槽水深16cm，也就是铁块的高度16cm；
故答案为：乙，甲，16；
（2）由图象可知，两个水槽深度相同时，线段ED与线段AB相交，
设AB的解析式为y＝kx+b，
将点（0，14），（7，0）代入，
得解得，，
∴y＝﹣2x+14；
设ED的解析式为y＝mx+n，
将点（0，4），（4，16）代入，
得，解得，
∴y＝3x+4；
联立方程组，
∴，
∴注水2分钟，甲、乙两个水槽的水深度相同．
一十．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
12．（2022•大庆）已知反比例函数y＝和一次函数y＝x﹣1，其中一次函数图象过（3a，b），（3a+1，b+）两点．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）如图，函数y＝x，y＝3x的图象分别与函数y＝（x＞0）图象交于A，B两点，在y轴上是否存在点P，使得△ABP周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）把（3a，b），（3a+1，b+）代入y＝x﹣1中可得：
，
解得：k＝3，
∴反比例函数的关系式为：y＝；
（2）存在，
作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于点P，连接BP，此时AP+BP的最小，即△ABP周长最小，

由题意得：，
解得：或，
∴A（1，3），
由题意的：，
解得：或，
∴B（3，1），
∴AB＝2，
∵点B与点B′关于y轴对称，
∴B′（﹣1，3），BP＝B′P，
∴AB′＝2，
∴AP+BP＝AP+B′P＝AB′＝2，
∴AP+BP的最小值为2，
∴△ABP周长最小值＝2+2，
∴△ABP周长的最小值为2+2．

13．（2020•大庆）如图，反比例函数y＝与一次函数y＝﹣x﹣（k+1）的图象在第二象限的交点为A，在第四象限的交点为C，直线AO（O为坐标原点）与函数y＝的图象交于另一点B．过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两直线相交于点E，△AEB的面积为6．
（1）求反比例函数y＝的表达式；
（2）求点A，C的坐标和△AOC的面积．

【解答】解：（1）设AE交x轴于M．
由题意得，点A与点B关于原点对称，即OA＝OB，
∵OM∥EB，
∴△AMO∽△AEB，
∴＝（）2＝，
又△AEB的面积为6，
∴S△AOM＝S△ABE＝×6＝＝|k|，
∴k＝﹣3，k＝3（舍去），
∴反比例函数的关系式为y＝﹣；
（2）由k＝﹣3可得一次函数y＝﹣x+2，由题意得，
，解得，，，
又A在第二象限，点C在第四象限，
∴点A（﹣1，3），点C（3，﹣1），
一次函数y＝﹣x+2与y轴的交点N的坐标为（0，2），
∴S△AOC＝S△CON+S△AON＝×2×（1+3）＝4．

一十一．反比例函数综合题（共1小题）
14．（2021•大庆）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数y＝的图象交于P，D两点．以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）求点P的坐标及△CPD外接圆半径的长．

【解答】解：（1）过点D作DH⊥OA于点H，
∴∠DAH+∠HDA＝90°，
∵∠DAH+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠DAH，
又∵AB＝AD，∠AOB＝∠DHA＝90°，
∴△ABO≌△DAH，
∴DH＝AO，BO＝AH，
对直线y＝kx+b，当x＝0时，y＝b，
∴A（0，b），OA＝b，
设D（a，），则：DH＝a，OH＝，
∵△BOD的面积与△AOB的面积之比为1：4．
∴OA＝4OH，
∴b＝4×，化简得：ab＝16，
又∵DH＝AO，即：a＝b，
∴a2＝16，
解得：a1＝4，a2＝﹣4，
∴b＝4，
∴A（0，4），D（4，1），
把点A（0，4），D（4，1）代入y＝kx+b，得：
，解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝．
（2）由，得：，
∴P（，3），
∵正方形ABCD的顶点A（0，4），D（4，1），B（﹣3，0），
∴C（1，﹣3），
∴PC＝，
∵△PCD为直角三角形，且∠PDC＝90°，
∴线段PC是△PCD的外接圆直径，
∴△PCD外接圆半径为：．

一十二．二次函数的应用（共1小题）
15．（2022•大庆）某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75kg．在确保每棵果树平均产量不低于40kg的前提下，设增种果树x（x＞0且x为整数）棵，该果园每棵果树平均产量为ykg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．
（1）图中点P所表示的实际意义是 　增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg　，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少 　　kg；
（2）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（kg）最大？最大产量是多少？

【解答】解：（1）根据题意可知：点P所表示的实际意义是增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，
（75﹣66）÷（28﹣10）＝，
∴每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少kg，
故答案为：增种果树28棵，每棵果树平均产量为66kg，kg；
（2）
设在10棵的基础上增种m棵，
根据题意可得m＝75﹣40，
解得m＝70，
∴A（80，40），
设y与x之间的函数关系式：y＝kx+b，
把P（28，66），A（80，40），
，
解得k＝﹣，b＝80，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+80；
自变量x的取值范围：0≤x≤80；
（3）设增种果树a棵，
W＝（60+a）（﹣0.5a+80）
＝﹣0.5a2+50a+4800，
∵﹣0.5＜0，
∴a＝﹣＝50，
W最大＝6050，
∴当增种果树50棵时，果园的总产量w（kg）最大，最大产量是6050kg．
一十三．二次函数综合题（共3小题）
16．（2022•大庆）已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，将二次函数y＝x2+bx+m图象中y轴左侧部分沿x轴翻折，保留其他部分得到新的图象C．
（1）求b的值；
（2）①当m＜0时，图C与x轴交于点M，N（M在N的左侧），与y轴交于点P．当△MNP为直角三角形时，求m的值；
②在①的条件下，当图象C中﹣4≤y＜0时，结合图象求x的取值范围；
（3）已知两点A（﹣1，﹣1），B（5，﹣1），当线段AB与图象C恰有两个公共点时，直接写出m的取值范围．


【解答】解：（1）∵已知二次函数y＝x2+bx+m图象的对称轴为直线x＝2，
∴b＝﹣4；
（2）如图1：①令x2+bx+m＝0，
解得x＝2﹣或x＝2+，
∵M在N的左侧，
∴M（2﹣，0），N（2+，0），
∴MN＝2，MN的中点坐标为（2，0），
∵△MNP为直角三角形，
∴＝，
解得m＝0（舍）或m＝﹣1；
②∵m＝﹣1，
∴y＝x2﹣4x﹣1（x≥0），
令x2﹣4x﹣1＝﹣4，
解得x＝1或x＝3，
∴抛物线y＝x2﹣4x﹣1（x≥0）与直线y＝﹣4的交点为（1，﹣4），（3，﹣4），
∵y＝x2﹣4x﹣1关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x+1（x＜0），
当﹣x2+4x+1＝﹣4时，解得x＝5（舍）或x＝﹣1，
∴抛物线y＝﹣x2+4x+1（x＜0）与直线y＝﹣4的交点为（﹣1，﹣4），
∴﹣1≤x＜2﹣或0≤x≤1或3≤x＜2+时，﹣4≤y＜0；
（3）y＝x2﹣4x+m关于x轴对称的抛物线解析式为y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0），
如图2，当＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点A时，﹣1﹣4﹣m＝﹣1，
解得m＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0），当x＝5时，y＝1，
∴y＝x2﹣4x﹣4（x≥0）与线段AB有一个交点，
∴m＝﹣4时，当线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图3，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）经过点（0，﹣1）时，m＝﹣1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
∴﹣4≤m＜﹣1时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
如图4，当y＝﹣x2+4x﹣m（x＜0）经过点（0，﹣1）时，m＝1，
此时图象C与线段AB有三个公共点，
如图5，当y＝x2﹣4x+m（x≥0）的顶点在线段AB上时，m﹣4＝﹣1，
解得m＝3，
此时图象C与线段AB有一个公共点，
∴1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点；
综上所述：﹣4≤m＜﹣1或1≤m＜3时，线段AB与图象C恰有两个公共点．


















，





17．（2021•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于原点O和点A，且其顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等．
①证明上述结论并求出点F的坐标；
②过点F的直线l与抛物线y＝ax2+bx+c交于M，N两点．
证明：当直线l绕点F旋转时，+是定值，并求出该定值；
（3）点C（3，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P，Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P，Q的坐标．

【解答】解：（1）∵顶点B关于x轴的对称点坐标为（2，1），
∴B（2，﹣1），
∴A（4，0），
将点O、点A、点B代入抛物线y＝ax2+bx+c，
得到，解得，
∴y＝x2﹣x；
（2）①设F（2，m），G（x，y），
∴G点到直线y＝﹣2的距离为|y+2|，
∴（y+2）2＝y2+4y+4，
∵y＝x2﹣x，
∴（y+2）2＝y2+4y+4＝y2+x2﹣4x+4＝y2+（x﹣2）2，
∴G到直线y＝﹣2的距离与点（2，0）和G点的距离相等，
∴抛物线上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离总相等；
∵G到定点F的距离与点G到直线y＝﹣2的距离相等，
∴（x﹣2）2+＝，
整理得，m（m﹣x2+2x）＝0，
∵距离总相等，
∴m＝0，
∴F（2，0）；
②设过点F的直线解析式为y＝kx﹣2k，M（xM，yM），N（xN，yN），
联立，整理得x2﹣（4+4k）x+8k＝0，
∴xM+xN＝4+4k，xM•xN＝8k，
∴yM+yN＝4k2，yM•yN＝﹣4k2，
∵M到F点与M点到y＝﹣2的距离相等，N到F点与N点到y＝﹣2的距离相等，
∴+＝+＝＝＝1，
∴+＝1是定值；
（3）作B点关于y轴的对称点B'，作C点关于x轴的对称点C'，连接C'B'交x轴、y轴分别于点P、Q，
∵BQ＝B'Q，CP＝C'P，
∴四边形PQBC周长＝BQ+PQ+PC+BC＝B'Q+PQ+C'P+CB＝C'B'+CB，
∵点C（3，m）是该抛物线上的一点
∴C（3，﹣），
∵B（2，﹣1），
∴B'（﹣2，﹣1），C'（3，），
∴直线B'C'的解析为y＝x﹣，
∴Q（0，﹣），P（，0）．

18．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）

【解答】解：（1）把C（﹣1，7），D（5，7）代入y＝ax2+bx+12，
可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+12．

（2）如图1中，过点E作EM⊥AB于M，过点D作DN⊥AB于N．

对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，令y＝0，得到，x﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
∵D（5，7），
∴OA＝2，DN＝7，ON＝5，AN＝7
∵△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，
∴DE：AD＝1：7，
∴AE：AD＝6：7，
∵EM∥DN，
∵＝＝＝，
∴＝＝，
∴AM＝EM＝6，
∴E（4，6），
∴直线BE的解析式为y＝﹣3x+18，
由，解得或，
∴F（1，15），
过点P作PQ∥y轴交BF于Q，设P（t，﹣t2+4t+12）则Q（t，﹣3t+18），
∴PQ＝﹣t2+4t+12﹣（﹣3t+18）＝﹣t2+7t﹣6，
∵S△PBF＝•（﹣t2+7t﹣6）•5＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝时，△BFP的面积最大，最大值为．

（3）对于抛物线y＝﹣x2+4x+12，当y＝16时，﹣x2+4x+12＝16，
解得x1＝x2＝2，
当y＝12时，﹣x2+4x+12＝12，解得x＝0或4，
观察图2可知：当0≤x≤4时，12≤y≤16，

∵m≤x≤n，
而m﹣n＜0，
故﹣4≤m﹣n≤﹣2．
一十四．平行四边形的判定与性质（共1小题）
19．（2022•大庆）如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD．
（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（2）若AE＝AC，求证：AB＝DB．

【解答】证明：（1）∵EB＝CF，
∴EB+EC＝CF+EC，
∴BC＝EF，
∵AB＝DF，AC＝DE，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ABC＝∠DFE，
∴AB∥DF，
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）连接AD交BF于点O，

∵四边形ABDF是平行四边形，
∴OB＝OF，
∵BE＝CF，
∴OB﹣BE＝OF﹣CF，
∴OE＝OC，
∵AE＝AC，
∴AO⊥EC，
∴四边形ABDF是菱形，
∴AB＝BD．

一十五．矩形的性质（共1小题）
20．（2020•大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．

【解答】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM＝．
一十六．圆的综合题（共3小题）
21．（2022•大庆）如图，已知BC是△ABC外接圆⊙O的直径，BC＝16．点D为⊙O外的一点，∠ACD＝∠B．点E为AC中点，弦FG过点E，EF＝2EG，连接OE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）当FG∥BC时，求弦FG的长．

【解答】（1）证明：∵BC是△ABC外接圆⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠ACD+∠ACB＝90°，即∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AF，CG，如图：

∵＝，
∴∠AFE＝∠GCE，
∵∠AEF＝∠GEC，
∴△AEF∽△GEC，
∴＝，
∴AE•CE＝EG•EF，
∵E为AC的中点，
∴AE＝CE，OE⊥AC，
∴CE2＝OC2﹣OE2，AE•CE＝CE•CE＝CE2＝EG•EF，
∴OC2﹣OE2＝EG•EF，
∴（OC+OE）（OC﹣OE）＝EG•EF；
（3）解：过O作ON⊥FG于N，延长EG交CD于M，如图：

∵∠OCD＝∠ONM＝90°，FG∥BC，
∴四边形MNOC是矩形，
∴MN＝OC＝BC＝8，
∵ON⊥FG，
∴FN＝GN，
∵EF＝2EG，
∴FG＝3EG，
∴NG＝EG，
∴NE＝EG，
∴EM＝MN﹣NE＝8﹣EG，
由（2）知CE2＝EG•EF＝2EG2，
∴CM2＝CE2﹣EM2＝2EG2﹣（8﹣EG）2＝ON2，
而ON2＝OE2﹣NE2＝（OC2﹣CE2）﹣NE2，
∴2EG2﹣（8﹣EG）2＝（82﹣2EG2）﹣（EG）2，
解得EG＝﹣1（负值已舍去），
∴FG＝3EG＝3﹣3．
22．（2021•大庆）如图，已知AB是⊙O的直径．BC是⊙O的弦，弦ED垂直AB于点F，交BC于点G．过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点P
（1）求证：PC＝PG；
（2）判断PG2＝PD•PE是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若G为BC中点，OG＝，sinB＝，求DE的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵CP是⊙O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∵弦ED垂直AB于点F，AB是⊙O的直径，
∴∠GFB＝90°，
∵∠FGB+∠FBG＝90°，∠OCB+∠BCP＝90°，
∴∠FGB＝∠PCG，
∵∠FGB＝∠PGC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG；
（2）如图1，连接EC、CD，
∵ED⊥AB，AB是圆O的直径，
∴＝，
∴∠ECB＝∠BCD，
∵PG＝PC，
∴∠PCG＝∠PGC，
∵∠CGP＝∠E+∠ECB，∠GCP＝∠PCD+∠BCD，
∴∠PCD＝∠E，
∴△PCD∽△PEC，
∴＝，
∴PC2＝PE•PD，
∵PC＝PG，
∴PG2＝PD•PE；
（3）如图2，连接OG，EO，
∵G为BC中点，
∴OG⊥BC，
在Rt△BOG中，OG＝，sinB＝，
∴OB＝5，BG＝2，
∵GF⊥OB，
∴∠B+∠FGB＝90°，∠B+∠BOG＝90°，
∴∠GOF＝∠FGB，
∴△FGB∽△GOB，
∴，
∴＝，
∴FB＝4，
∴OF＝1，
在Rt△EOF中，OF＝1，EO＝5，
∴EF＝2，
∴ED＝4．


23．（2020•大庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；
（3）若BC＝6，cosC＝，求DN的长．

【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
又∵AB＝AC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，
∵AO＝BO，BD＝CD，
∴OD∥AC，
∵DM⊥AC，
∴OD⊥MN，
又∵OD是半径，
∴MN是⊙O的切线；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，
∴∠BAD＝∠CDM，
∵∠BDN＝∠CDM，
∴∠BAD＝∠BDN，
又∵∠N＝∠N，
∴△BDN∽△DAN，
∴，
∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；
（3）∵BC＝6，BD＝CD，
∴BD＝CD＝3，
∵cosC＝＝，
∴AC＝5，
∴AB＝5，
∴AD＝＝＝4，
∵△BDN∽△DAN，
∴＝＝，
∴BN＝DN，DN＝AN，
∴BN＝（AN）＝AN，
∵BN+AB＝AN，
∴AN+5＝AN
∴AN＝，
∴DN＝AN＝．
一十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
24．（2021•大庆）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，点E为线段AB的三等分点（靠近点A），点F为线段CD的三等分点（靠近点C），且CE⊥AB．将△BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DC＝DG．
（1）证明：四边形AECF为矩形；
（2）求四边形AECG的面积．

【解答】（1）证明：∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点E为线段AB的三等分点（靠近点A），
∴AE＝AB，
∵点F为线段CD的三等分点（靠近点C），
∴CF＝CD，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵CE⊥AB，
∴四边形AECF为矩形；
（2）∵AB＝3，
∴AE＝CF＝1，BE＝2，
∵将△BCE沿CE对折得到△ECB'，
∴B'E＝BE＝2，
∴AB'＝1，
∵DC＝DG＝3，
∴∠DGC＝∠DCG，
∵BB'∥CD，
∴∠DCG＝∠B'，
∴∠B'＝∠B'GA，
∴AB'＝AG＝1，
∴DA＝BC＝B'C＝4，
∵AB'∥CD，
∴＝，
∴＝，
∴B'G＝1，
∴△AGB'是等边三角形，
在Rt△BCE中，BC＝4，BE＝2，
∴EC＝2，
∴S四边形AECG＝S△EB'C﹣S△AB'G＝﹣＝．
一十八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
25．（2022•大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度AB．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CD为1000m，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度AB（结果精确到1m，参考数据：≈1.4142，≈1.7321）．

【解答】解：由题意得：
∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，
在Rt△ACD中，CD＝1000m，
∴AD＝＝1000（m），
在Rt△BCD中，BD＝＝＝1000（m），
∴AB＝BD﹣AD＝100﹣1000≈732（m），
∴这条江的宽度AB约为732m．
26．（2020•大庆）如图，AB，CD为两个建筑物，两建筑物底部之间的水平地面上有一点M，从建筑物AB的顶点A测得M点的俯角为45°，从建筑物CD的顶点C测得M点的俯角为75°，测得建筑物AB的顶点A的俯角为30°．若已知建筑物AB的高度为20米，求两建筑物顶点A、C之间的距离（结果精确到1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

【解答】解：∵AB⊥BD，∠HAM＝45°，
∴∠BAM＝∠AMB＝45°，
∴∠AMB＝∠BAM，
∴AB＝BM＝20（米），
∴AM＝20（米），
作AE⊥MC于E，
∵∠KCM＝75°，∠ACK＝30°，
∴∠ACM＝45°，∠ACK＝∠CAH＝30°，
∵∠HAM＝45°，
∴∠CAM＝75°，
∴∠AMC＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
在Rt△AME中，AM＝20（米），
∵sin∠AME＝，
∴AE＝sin60°•20＝×20＝10（米），
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，AE＝10（米），
∴sin∠ACE＝，
∴AC＝＝＝20≈35（米），
答：两建筑物顶点A、C之间的距离约为35米．

一十九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
27．（2021•大庆）小明在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，并由A点向南偏西45°方向行走到达B点测得C点在B点的北偏西45°方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5°方向，求A，C两点之间的距离．（结果保留0.1km．参数数据≈1.732）

【解答】解：过点A作AM∥BD，过B点作BM⊥BD，AM与BM交于点M，
∵在A点测得C点在A点的北偏西75°方向，
∴∠NAC＝75°，
∴∠CAM＝15°，
∵由A点向南偏西45°方向行走到达B点，
∴∠MAB＝45°，
∴∠MBA＝45°，
∵C点在B点的北偏西45°方向，
∴∠CBM＝45°，
∴∠CBA＝90°，∠CBD＝45°，
∵C点在D点的北偏东22.5°方向，
∴∠PDC＝22.5°，
∴∠BDC＝67.5°，
∴∠DCB＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，
∴BD＝BC，
由题可得DB＝2km，
∴BC＝2km，
在Rt△ABC中，∠CAB＝15°+45°＝60°，BC＝2，
∴AC＝≈2.3km．


二十．频数（率）分布直方图（共1小题）
28．（2020•大庆）为了了解某校某年级1000名学生一分钟的跳绳次数，从中随机抽取了40名学生的一分钟跳绳次数（次数为整数，且最高次数不超过150次），整理后绘制成如图的频数分布直方图，图中的a，b满足关系式2a＝3b．后由于保存不当，部分原始数据模糊不清，但已知缺失数据都大于120．请结合所给条件，回答下列问题．
（1）求问题中的总体和样本容量；
（2）求a，b的值（请写出必要的计算过程）；
（3）如果一分钟跳绳次数在125次以上（不含125次）为跳绳成绩优秀，那么估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是多少人？（注：该年级共1000名学生）

【解答】解：（1）1000名学生一分钟的跳绳次数是总体，
样本容量是：40；
（2）由题意所给数据可知：
50.5～75.5的有4人，
75.5～100.5的有16人，
∴a+b＝40﹣4﹣16＝20，
∵2a＝3b，
∴解得a＝12，b＝8，
（3）1000×＝200（人），
答：估计该校该年级学生跳绳成绩优秀的人数大约是200人．
二十一．扇形统计图（共1小题）
29．（2022•大庆）中华文化源远流长，中华诗词寓意深广，为了传承优秀传统文化，我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的“中国诗词大会”海选比赛，赛后发现所有参赛学生的成绩不低于50分．为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况．随机选取其中200名学生的海选比赛成绩（总分100分）作为样本进行整理，得到海选成绩统计表与扇形统计图如下：
抽取的200名学生成绩统计表
组别
海选成绩
人数
A组
50≤x＜60
10
B组
60≤x＜70
30
C组
70≤x＜80
40
D组
80≤x＜90
a
E组
90≤x≤100
70
请根据所给信息解答下列问题：
（1）填空：①a＝　50　，②b＝　15　，③θ＝　72　度；
（2）若把统计表每组中各个成绩用这组数据的中间值代替（例如：A组数据中间值为55分），请估计被选取的200名学生成绩的平均数；
（3）规定海选成绩不低于90分记为“优秀”，请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有多少人？

【解答】解：（1）a＝200﹣10﹣30﹣40﹣70＝50，
b%＝×100%＝15%，
θ＝360°×＝72°，
故答案为：50，15，72；
（2）＝82（分），
即估计被选取的200名学生成绩的平均数是82分；
（3）2000×＝700（人），
即估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩“优秀”的有700人．
二十二．算术平均数（共1小题）
30．（2021•大庆）某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均为整数，单位：分）如下：
甲：92，95，96，88，92，98，99，100
乙：100，87，92，93，9■，95，97，98
由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清，
（1）求甲成绩的平均数和中位数；
（2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛．
【解答】解：（1）甲成绩的平均数为：（88+92+92+95+96+98+99+100）÷8＝95，
将甲成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝95.5，因此中位数是95.5，
答：甲成绩的平均数为95，中位数是95.5；
（2）设模糊不清的数的个位数字为a，则a为0至9的整数，也就是模糊不清的数共10种可能的结果，
当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，有95＞，
即95＞，
解得a＜8，共有8种不同的结果，
所以“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率为＝；
（3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，
即＝95，
解得a＝8，
所以甲的方差为：＝[（88﹣95）2+（92﹣95）2×2+（96﹣95）2+（98﹣95）2+（99﹣95）2+（100﹣95）2]＝14.75，
乙的方差为：＝[（87﹣95）2+（92﹣95）2+（93﹣95）2+（97﹣95）2+（98﹣95）2×2+（100﹣95）2]＝15.5，
∵＜，
∴甲的成绩更稳定，
所以应选择甲同学参加数学竞赛．