湖南省长沙市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖南省长沙市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共40页。试卷主要包含了﹣1，，其中x＝﹣，先化简再求值，2+20350，0+×，解不等式组等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．实数的运算（共1小题）
1．（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2021•长沙）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•长沙）先化简再求值：•﹣，其中x＝4．
四．负整数指数幂（共1小题）
4．（2022•长沙）计算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2021•长沙）计算：|﹣|﹣2sin45°+（1﹣）0+×．
六．二元一次方程的应用（共1小题）
6．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　 　
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　 　
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　 　
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
七．一元一次不等式的应用（共2小题）
7．（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
8．（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
八．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2022•长沙）解不等式组：．
九．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
11．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　 　，s＝　 　，t＝　 　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
12．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（　 　）；
②y＝（m≠0）（　 　）；
③y＝3x﹣1（　 　）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．

一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
14．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

一十二．平行四边形的性质（共1小题）
15．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．

一十三．矩形的判定与性质（共1小题）
16．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．

一十四．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．

一十五．圆的综合题（共3小题）
18．（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当＝，∠DFE＝2∠CDB时，则﹣＝　 　；+＝　 　；+﹣＝　 　．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足＝+，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．

19．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

20．（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

一十六．作图—应用与设计作图（共2小题）
21．（2021•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　 　．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　 　．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
22．（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 　 　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

一十七．相似形综合题（共1小题）
23．（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．

一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


一十九．条形统计图（共1小题）
25．（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

（1）这次调查活动共抽取　 　人；
（2）m＝　 　，n＝　 　；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
二十．列表法与树状图法（共1小题）
26．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

二十一．利用频率估计概率（共1小题）
27．（2021•长沙）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？

参考答案与试题解析
一．实数的运算（共1小题）
1．（2020•长沙）计算：|﹣3|﹣（﹣1）0+cos45°+（）﹣1．
【解答】解：原式＝3﹣1+4
＝2+1+4
＝7．
二．整式的混合运算—化简求值（共1小题）
2．（2021•长沙）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+3）（x﹣3）+2x（2﹣x），其中x＝﹣．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣9+4x﹣2x2
＝﹣2x，
当x＝﹣时，
原式＝﹣2×（﹣）
＝1．
三．分式的化简求值（共1小题）
3．（2020•长沙）先化简再求值：•﹣，其中x＝4．
【解答】解：•﹣
＝
＝
＝，
当x＝4时，原式＝＝3．
四．负整数指数幂（共1小题）
4．（2022•长沙）计算：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350．
【解答】解：|﹣4|+（）﹣1﹣（）2+20350
＝4+3﹣2+1
＝6．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
5．（2021•长沙）计算：|﹣|﹣2sin45°+（1﹣）0+×．
【解答】解：原式＝﹣2×+1+
＝﹣+1+4
＝5．
六．二元一次方程的应用（共1小题）
6．（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：
（1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．
①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案． 　√　
②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案． 　×　
③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． 　×　
（2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．
【解答】解：（1）设“三多“的每群狗有x条，则“一少“的狗有（300﹣3x）条，
根据题意得：，
解得75＜x＜100，
∵x为奇数，
∴x可取77，79，81......99，共12个，
∴①正确，②③错误，
故答案为：√，×，×；
（2）设“三多“的每群狗有m条，“一少“的狗有n条，
根据题意得：，
解得，
答：“三多“的每群狗有85条，“一少“的狗有45条．
七．一元一次不等式的应用（共2小题）
7．（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，
依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，
解得：x＝22．
答：该参赛同学一共答对了22道题．
（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，
依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90，
解得：y≥23．
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
8．（2020•长沙）今年6月以来，我国多地遭遇强降雨，引发洪涝灾害，人民的生活受到了极大的影响．“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的生活物资，用A，B两种型号的货车，分两批运往受灾严重的地区．具体运输情况如下：

第一批
第二批
A型货车的辆数（单位：辆）
1
2
B型货车的辆数（单位：辆）
3
5
累计运输物资的吨数（单位：吨）
28
50
备注：第一批、第二批每辆货车均满载
（1）求A、B两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
（2）该市后续又筹集了62.4吨生活物资，现已联系了3辆A种型号货车．试问至少还需联系多少辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地？
【解答】解：（1）设A种型号货车每辆满载能运x吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运y吨生活物资，
依题意，得：，
解得：．
答：A种型号货车每辆满载能运10吨生活物资，B种型号货车每辆满载能运6吨生活物资．
（2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，
依题意，得：10×3+6m≥62.4，
解得：m≥5.4，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为6．
答：至少还需联系6辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地．
八．解一元一次不等式组（共1小题）
9．（2022•长沙）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤4，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤4．
九．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•长沙）若关于x的函数y，当t﹣≤x≤t+时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数h＝，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．
（1）①若函数y＝4044x，当t＝1时，求函数y的“共同体函数”h的值；
②若函数y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；
（2）若函数y＝（x≥1），求函数y的“共同体函数”h的最大值；
（3）若函数y＝﹣x2+4x+k，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）①∵t＝1，
∴≤x≤，
∵函数y＝4044x，
∴函数的最大值M＝6066，函数的最小值N＝2022，
∴h＝2022；
②当k＞0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt+k+b，有最小值N＝kt﹣k+b，
∴h＝k；
当k＜0时，函数y＝kx+b在t﹣≤x≤t+有最大值M＝kt﹣k+b，有最小值N＝kt+k+b，
∴h＝﹣k；
综上所述：h＝|k|；
（2）t﹣≥1，即t≥，
函数y＝（x≥1）最大值M＝，最小值N＝，
∴h＝，
当t＝时，h有最大值；
（3）存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数“h的最小值，理由如下：
∵y＝﹣x2+4x+k＝﹣（x﹣2）2+4+k，
∴函数的对称轴为直线x＝2，y的最大值为4+k，
①当2≤t﹣时，即t≥，
此时M＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝t﹣2，
此时h的最小值为；
②当t+≤2时，即t≤，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝﹣（t+﹣2）2+4+k，
∴h＝2﹣t，
此时h的最小值为；
③当t﹣≤2≤t，即2≤t≤，
此时N＝﹣（t+﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
④当t＜2≤t+，即≤t＜2，
此时N＝﹣（t﹣﹣2）2+4+k，M＝4+k，
∴h＝（t﹣）2，
h的函数图象如图所示：h的最小值为，
由题意可得＝4+k，
解得k＝﹣；
综上所述：k的值为﹣．

11．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，则r＝　4　，s＝　﹣1　，t＝　4　（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数y＝kx+p（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足（1﹣x1）﹣1+x2＝1时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A，B关于y轴对称，
∴s＝﹣1，r＝4，
∴A的坐标为（1，4），
把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4，
故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4；
（2）当k＝0时，有y＝p，
此时存在关于y轴对称的点，
∴y＝kx+p是“T函数”，且有无数对“T”点，
当k≠0时，不存在关于y轴对称的点，
若存在，设其中一点（x0，kx0+p），则对称点（﹣x0，﹣kx0+p），
∴kx0+p＝﹣kx0+p，
∴k＝0，与k≠0矛盾，
∴不存在，
∴y＝kx+p不是“T函数”；
（3）∵y＝ax2+bx+c过原点，
∴c＝0，
∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，
∴b＝0，
∴y＝ax2，
联立直线l和抛物线得：
，
即：ax2﹣mx﹣n＝0，
，，
又∵，
化简得：x1+x2＝x1x2，
∴，即m＝﹣n，
∴y＝mx+n＝mx﹣m，
当x＝1时，y＝0，
∴直线l必过定点（1，0）．
12．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（　√　）；
②y＝（m≠0）（　√　）；
③y＝3x﹣1（　×　）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．
故答案为：√，√，×．
（2）∵A，B是“H点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴﹣＞2，
∴﹣＞2，
∴﹣1＜a＜0，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，
综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．

（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，
∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），
代入得到，
解得ap2+3c＝0，2bp＝q，
∵p2＞0，
∴a，c异号，
∴ac＜0，
∵a+b+c＝0，
∴b＝﹣a﹣c，
∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，
∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，
∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，
∴c2＜4a2，
∴＜4，
∴﹣2＜＜2，
设t＝，则﹣2＜t＜0，
设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），
∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，
∴|x1﹣x2|＝
＝
＝
＝
＝2
＝2，
∵﹣2＜t＜0，
∴2＜|x1﹣x2|＜2．
一十．全等三角形的判定与性质（共1小题）
13．（2022•长沙）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B＝90°＝∠D，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）；
（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，
∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，
∴S△ADC＝6，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，
答：四边形ABCD的面积是12．
一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
14．（2021•长沙）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使得CE＝CA，连接AE．
（1）求证：∠B＝∠ACB；
（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．

【解答】解：（1）证明：∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的中垂线，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB；
（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，
∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，
∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，
∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，
S△ABE＝＝＝22．
一十二．平行四边形的性质（共1小题）
15．（2022•长沙）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF＝，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形，
∴AC⊥BD；
（2）解：∵点E，F分别为AD，AO的中点，
∴EF是△AOD的中位线，
∴OD＝2EF＝3，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝＝，
∴菱形ABCD的周长＝4AD＝4．
一十三．矩形的判定与性质（共1小题）
16．（2021•长沙）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4．
（1）求证：▱ABCD是矩形；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：∵△AOB为等边三角形，
∴∠BAO＝∠AOB＝60°，OA＝OB，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD＝BD，OA＝OC＝AC，
∴BD＝AC，
∴▱ABCD是矩形；
（2）解：∵▱ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABO＝60°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝4．
一十四．切线的判定与性质（共1小题）
17．（2020•长沙）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若AD＝3，DC＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）如图，连接OC，

∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠OCA＝∠DAC，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴OC⊥DC，
又OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，
在Rt△ADC中，AD＝3，DC＝，
∴tan∠DAC＝＝，
∴∠DAC＝30°，
∴AC＝2DC＝2，
∵OE⊥AC，
根据垂径定理，得
AE＝EC＝AC＝，
∵∠EAO＝∠DAC＝30°，
∴OA＝＝2，
∴⊙O的半径为2．
一十五．圆的综合题（共3小题）
18．（2022•长沙）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC，BD相交于点E，点F在边AD上，连接EF．
（1）求证：△ABE∽△DCE；
（2）当＝，∠DFE＝2∠CDB时，则﹣＝　0　；+＝　1　；+﹣＝　0　．（直接将结果填写在相应的横线上）
（3）①记四边形ABCD，△ABE，△CDE的面积依次为S，S1，S2，若满足＝+，试判断△ABE，△CDE的形状，并说明理由．
②当＝，AB＝m，AD＝n，CD＝p时，试用含m，n，p的式子表示AE•CE．

【解答】（1）证明：∵，
∴∠ACD＝∠ABD，即∠ABE＝∠DCE，
又∵∠DEC＝∠AEB，
∴△ABE∽△DCE；
（2）解：∵△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
∴AE•CE＝BE•DE，
∴﹣＝＝0，
∵∠CDB+∠CBD＝180°﹣∠BCD＝∠DAB＝2∠CDB，
又∵∠DFE＝2∠CDB，
∴∠DFE＝∠DAB，
∴EF∥AB，
∴∠FEA＝∠EAB，
∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠FEA，
∴FA＝FE，
∵EF∥AB，
∴△DFE∽△DAB，
∴＝，
∴＝＝＝＝1，
∵+＝＝1，
∴+＝1，
∴＝0，
故答案为：0，1，0；
（3）解：①△ABE，△DCE都为等腰三角形，
理由：记△ADE、△EBC的面积为S3、S4，
则S＝S1+S₂+S3+S4，
∵＝＝，
∴S1S2＝S3S4①，
∵，
即S＝S1+S2+2，
∴S3+S4＝2②，
由①②可得，
即（﹣）2＝0，
∴S3＝S4，
∴S△ABE+S△ADE＝S△ABE+S△EBC，
即S△ABD＝S△ADC，
∴CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC，∠CDB＝∠DBA，
∵∠ACD＝∠ABD，∠CDB＝∠CAB，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠EBA＝∠EAB，
∴△ABE，△DCE都为等腰三角形；
②∵＝，
∴∠DAC＝∠EAB，
∵∠DCA＝∠EBA，
∴△DAC∽△EAB，
∴＝，
∵AB＝m，AD＝n，CD＝p，
∴EA•AC＝DA×AB＝mn，
∵∠BDC＝∠BAC＝∠DAC，
∴∠CDE＝∠CAD，
又∠ECD＝∠DCA，
∴△DCE∽△ACD，
∴＝，
∴EA•AC+CE•AC＝AC2＝mn+p2，
则AC＝，．EC＝＝，
∴AE＝AC﹣CE＝，
∴AE•CE＝．
19．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMQ＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．

（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．

（3）∵AB＝2R，
∴OA＝OB＝OQ＝R，
∵QM＝2MO，
∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，
∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，
∴x＝R，
∴R＜x＜R．

20．（2020•长沙）如图，半径为4的⊙O中，弦AB的长度为4，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE、OD、OE．
（1）求∠AOB的度数；
（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求△ODE的外心P所经过的路径的长度；
（3）分别记△ODE，△CDE的面积为S1，S2，当S12﹣S22＝21时，求弦AC的长度．

【解答】解：（1）如图1中，过点O作OH⊥AB于H．

∵OA＝OB＝4，OH⊥AB，
∴AH＝HB＝AB＝2，∠AOH＝∠BOH，
∴sin∠AOH＝＝，
∴∠AOH＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOH＝120°．

（2）如图2中，连接OC，取OC的中点P，连接DP，

∵OA＝OC＝OB，AD＝DC，CE＝EB，
∴OD⊥AC，OE⊥CB，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴∠ODC+∠OEC＝180°，
∴O，D，C，E四点共圆，
∴OC是直径，
∴OC的中点P是△OED的外接圆的圆心，
∴OP＝OC＝2，
∴点P在以O为圆心，2为半径的圆上运动，
∵∠AOB＝120°，
∴点P的运动路径的长＝＝．

（3）当点C靠近A点时，
如图3中，当AC＜BC时，连接OC交AB于J，过点O作OH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K．

∵AD＝CD，CE＝EB，
∴DE∥AB，AB＝2DE，
∴△CDE∽△CAB，
∴＝（）2＝，
∴S△ABC＝4S2，
∵S△ADO＝S△ODC，S△OBE＝S△OEC，
∴S四边形ODCE＝S四边形OACB，
∴S1+S2＝（4S2+4）＝2S2+2，
∴S1＝S2+2，
∵S12﹣S22＝21，
∴S22+4S2+12﹣S22＝21，
∴S2＝，
∴S△ABC＝3＝×AB×CK，
∴CK＝，
∵OH⊥AB，CK⊥AB，
∴OH∥CK，
∴△CKJ∽△OHJ，
∴＝，
∴＝＝，
∴CJ＝×4＝，OJ＝×4＝，
∴JK＝＝＝，JH＝＝＝，
∴KH＝，
∴AK＝AH﹣KH＝2﹣，
∴AC＝＝＝＝﹣．
当点C靠近点B时，即AC＞BC时，同法可得AC＝+．
综上所述，满足条件的AC的值为±．
一十六．作图—应用与设计作图（共2小题）
21．（2021•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35﹣36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A′B′C′，使得△A′B′C′≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C′＝BC；
（2）分别以点B′，C′为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点A′；
（3）连接线段A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为所求作的三角形．

请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）：
证明：由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，

∴△A'B'C′≌　△ABC（SSS）　．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 　④　．（填序号）
①AAS
②ASA
③SAS
④SSS
【解答】解：（1）由作图可知，在△A′B′C′和△ABC中，
，
∴△A'B'C′≌△ABC（SSS）．
故答案为：AB，AC，△ABC（SSS）．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是SSS，
故答案为：④．
22．（2020•长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．
（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图）．
请你根据提供的材料完成下面问题．
（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是 　①　．（填序号）
①SSS
②SAS
③AAS
④ASA
（2）请你证明OC为∠AOB的平分线．

【解答】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是①SSS．
故答案为：①

（2）由基本作图方法可得：OM＝ON，OC＝OC，MC＝NC，
则在△OMC和△ONC中，
，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
即OC为∠AOB的平分线．

一十七．相似形综合题（共1小题）
23．（2020•长沙）在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长；
（3）若AE﹣DE＝2EC，记∠BAF＝α，∠FAE＝β，求tanα+tanβ的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
由翻折可知，∠D＝∠AFE＝90°，
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠CEF＝90°，
∴∠AFB＝∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

（2）设EC＝x，
由翻折可知，AD＝AF＝4，
∴BF＝＝＝2，
∴CF＝BC﹣BF＝2，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，
∴EC＝．

（3）∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴tanα+tanβ＝+＝+＝＝，
设AB＝CD＝a，BC＝AD＝b，DE＝x，
∴AE＝DE+2CE＝x+2（a﹣x）＝2a﹣x，
∵AD＝AF＝b，DE＝EF＝x，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴BF＝，CF＝＝，
∵AD2+DE2＝AE2，
∴b2+x2＝（2a﹣x）2，
∴a2﹣ax＝b2，
∵△ABF∽△FCE，
∴＝，
∴＝，
∴a2﹣ax＝•，
∴b2＝•，
整理得，16a4﹣24a2b2+9b4＝0，
∴（4a2﹣3b2）2＝0，
∴＝，
∴tanα+tanβ＝＝．

一十八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
24．（2022•长沙）为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD＝30°，BD⊥AD于点D．为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
（1）求该斜坡的高度BD；
（2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．（假设图中C，A，D三点共线）


【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，BA＝20m，
∴BD＝BA＝10（m），
答：该斜坡的高度BD为10m；

（2）在△ACB中，∠BAD＝30°，∠BCA＝15°，
∴∠CBA＝15°，
∴AB＝AC＝20（m），
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．

一十九．条形统计图（共1小题）
25．（2020•长沙）2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．长沙市教育局发布了“普通中小学校劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如图统计图表：

（1）这次调查活动共抽取　200　人；
（2）m＝　86　，n＝　27　；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若该校学生总人数为3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动4次及以上的学生人数．
【解答】解：（1）20÷10%＝200（人），
故答案为：200；
（2）200×43%＝86（人），54÷200＝27%，即，m＝86，n＝27，
故答案为：86，27；
（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：

（4）3000×27%＝810（人），
答：估计该校3000名学生中一周劳动4次及以上的大约有810人．
二十．列表法与树状图法（共1小题）
26．（2022•长沙）2022年3月22日至28日是第三十五届“中国水周”，在此期间，某校举行了主题为“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”的水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率
60≤x＜70
15
0.1
70≤x＜80
a
0.2
80≤x＜90
45
b
90≤x＜100
60
c
（1）表中a＝　30　，b＝　0.3　，c＝　0.4　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若某班恰有3名女生和1名男生的初赛成绩均为99分，从这4名学生中随机选取2名学生参加复赛，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，b＝45÷150＝0.3，c＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
（2）补全频数分布直方图如下：

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，
∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为＝．
二十一．利用频率估计概率（共1小题）
27．（2021•长沙）“网红”长沙入选2021年“五一”假期热门旅游城市．本市某景点为吸引游客，设置了一种游戏，其规则如下：凡参与游戏的游客从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个景点吉祥物．据统计参与这种游戏的游客共有60000人，景点一共为参与该游戏的游客免费发放了景点吉祥物15000个．
（1）求参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率；
（2）请你估计纸箱中白球的数量接近多少？
【解答】解：（1）参与该游戏可免费得到景点吉祥物的频率为＝0.25；
（2）设纸箱中白球的数量为x，
则＝0.25，
解得x＝36，
经检验x＝36是分式方程的解且符合实际，
所以估计纸箱中白球的数量接近36．