广西柳州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份广西柳州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共36页。试卷主要包含了+22+|﹣4|，计算，解方程组，解分式方程，两点等内容，欢迎下载使用。

广西柳州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
二．实数的运算（共2小题）
2．（2021•柳州）计算：|﹣3|﹣+1．
3．（2020•柳州）计算：．
三．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2022•柳州）解方程组：．
四．解分式方程（共1小题）
5．（2021•柳州）解分式方程：＝．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2021•柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
七．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2020•柳州）解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　 　；
（Ⅱ）解不等式②，得　 　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　 　．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2022•柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．

10．（2020•柳州）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　 　；
②不等式的解集是　 　；
（2）求直线AC的解析式．

九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

12．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

13．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

一十．全等三角形的判定（共1小题）
14．（2020•柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．

一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） 　 　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　 　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

一十二．全等三角形的应用（共1小题）
16．（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴　 　．

一十三．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2020•柳州）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．

一十四．圆的综合题（共3小题）
18．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

19．（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求cos∠EDF的值；
（3）求线段BG的长．

20．（2020•柳州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

一十六．条形统计图（共1小题）
22．（2021•柳州）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
（1）补全下面图1的统计图；
（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为 　 　；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．

一十七．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022•柳州）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 　 　；
（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）

24．（2020•柳州）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　 　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）

参考答案与试题解析
一．有理数的混合运算（共1小题）
1．（2022•柳州）计算：3×（﹣1）+22+|﹣4|．
【解答】解：原式＝﹣3+4+4
＝5．
二．实数的运算（共2小题）
2．（2021•柳州）计算：|﹣3|﹣+1．
【解答】解：原式＝3﹣3+1
＝1．
3．（2020•柳州）计算：．
【解答】解：
＝8﹣8+2×2
＝0+4
＝4．
三．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2022•柳州）解方程组：．
【解答】解：①+②得：3x＝9，
∴x＝3，
将x＝3代入②得：6+y＝7，
∴y＝1．
∴原方程组的解为：．
四．解分式方程（共1小题）
5．（2021•柳州）解分式方程：＝．
【解答】解：去分母得：x+3＝2x，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，x（x+3）≠0，
∴分式方程的解为x＝3．
五．分式方程的应用（共1小题）
6．（2022•柳州）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1万元，用15万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过46万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【解答】解：（1）设购买1件乙种农机具需要x万元，则购买1件甲种农机具需要（x+1）万元，
依题意得：＝，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意，
∴x+1＝2+1＝3．
答：购买1件甲种农机具需要3万元，1件乙种农机具需要2万元．
（2）设购买m件甲种农机具，则购买（20﹣m）件乙种农机具，
依题意得：3m+2（20﹣m）≤46，
解得：m≤6．
答：甲种农机具最多能购买6件．
六．一元一次不等式的应用（共1小题）
7．（2021•柳州）如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动．若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元．
（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？
（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A品牌螺蛳粉最多购买多少箱？
【解答】解：（1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为80元．
（2）设购买A品牌螺蛳粉m箱，则购买B品牌螺蛳粉（100﹣m）箱，
依题意得：100m+80（100﹣m）≤9200，
解得：m≤60．
答：A品牌螺蛳粉最多购买60箱．
七．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2020•柳州）解不等式组请结合解题过程，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得　x＞﹣1　；
（Ⅱ）解不等式②，得　x≤2　；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为　﹣1＜x≤2　．
【解答】解：
（Ⅰ）解不等式①，得x＞﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在如图所示的数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式的解集为﹣1＜x≤2．
故答案为：x＞﹣1；x≤2；﹣1＜x≤2．
八．反比例函数与一次函数的交点问题（共2小题）
9．（2022•柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y＝（k2≠0）的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求△AOD的面积．

【解答】解：（1）∵反比例函数图象与一次函数图象相交于点A（3，4），B（﹣4，m）．
∴4＝，
解得k2＝12，
∴反比例函数解析式为y＝，
∴m＝，
解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），
∴，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x+1；
（2）∵A（3，4），
∴OA＝＝5，
∴OA＝OD，
∴OD＝5，
∴△AOD的面积＝＝10．
10．（2020•柳州）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数（x＞0）的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2．设直线AC的解析式为y＝kx+b．
（1）请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是　（2，3）　；
②不等式的解集是　2＜x＜4　；
（2）求直线AC的解析式．

【解答】解：（1）①∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且OB＝2，
∴A（2，3）
②∵直尺的宽度BD＝2，OB＝2．
∴C的横坐标为4，
∴不等式的解集是2＜x＜4，
故答案为（2，3）； 2＜x＜4；
（2）∵A在反比例函数y＝图象上，
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵C点在反比例函数y＝图象上，
∴yc＝，
∴C（4，），
将A、C代入y＝kx+b有解得，
∴直线AC的解析式为：y＝+．
九．二次函数综合题（共3小题）
11．（2022•柳州）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）．
（1）求b，c，m的值；
（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得．
∴这个抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5，
令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴B（5，0），
∴m＝5；

（2）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
设D（x，﹣x2+4x+5），
∵DE∥x轴，
∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），
∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，
∴四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG的周长＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，
∴当x＝3时，四边形DEFG的周长最大，
∴当四边形DEFG的周长最大时，点D的坐标为（3，8）；

（3）过点C作CH⊥对称轴于H，过点N作NK⊥y轴于K，

∴∠NKC＝∠MHC＝90°，
由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，
∵B（5，0），C（0，5）．
∴OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∵CH⊥对称轴于H，
∴CH∥x轴，
∴∠BCH＝45°，
∴∠BCH＝∠OCB，
∴∠NCK＝∠MCH，
∴△MCH≌△NCK（AAS），
∴NK＝MH，CK＝CH，
∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，M（2，9），
∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，
∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，
∴N（﹣4，3），
设直线BN的解析式为y＝mx+n，
∴，解得，
∴直线BN的解析式为y＝﹣x+，
∴Q（0，），
设P（2，p），
∴PQ2＝22+（p﹣）2＝p2﹣p+，
BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，
BQ2＝52+（）2＝25+，
分两种情况：
①当∠BQP＝90°时，BP2＝PQ2+BQ2，
∴9+p2＝p2﹣p++25+，解得p＝，
∴点P的坐标为（2，）；
②当∠QBP＝90°时，P′Q2＝BP′2+BQ2，
∴p2﹣p+＝9+p2+25+，解得p＝﹣9，
∴点P′的坐标为（2，﹣9）．
综上，所有符合条件的点P的坐标为（2，），（2，﹣9）．
12．（2021•柳州）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点B作BE⊥OD，垂足为E，若BE＝2OE，求点D的坐标；
（3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点N，连接BM，记△BMN的面积为S1，△ABN的面积为S2，求的最大值．

【解答】解：（1）依题意，设y＝a（x+1）（x﹣3），
代入C（0，﹣）得：a•1•（﹣3）＝﹣，
解得：a＝，
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣；
（2）∵BE＝2OE，
设OE为x，BE＝2x，
由勾股定理得：OE2+BE2＝OB2，
x2+4x2＝9，
解得：x1＝，x2＝﹣（舍），
∴OE＝，BE＝，
过点E作TG平行于OB，T在y轴上，过B作BG⊥TG于G，

∴△ETO∽△OEB，
∴＝＝，
∴OE2＝OB•TE，
∴TE＝＝，
∴OT＝＝，
∴E（，﹣），
∴直线OE的解析式为y＝﹣2x，
∵OE的延长线交抛物线于点D，
∴，
解得：x1＝1，x2＝﹣3（舍），
当x＝1时，y＝﹣2，
∴D（1，﹣2）；
（3）如图所示，延长BC于点F，AF∥y轴，过A点作AH⊥BF于点H，作MT∥y轴交BF于点T，过M点作MG⊥BF于点J，

∵AF∥MT，
∴∠AFH＝∠MTJ，
∵AH⊥BF，MJ⊥BF，
∴∠AHF＝∠MJT＝90°，
∴△AFH∽△MJT，
∴＝，
∵S1＝NB•MJ，S2＝NB•AH，
∴＝＝，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B，C两点代入得，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣，
当x＝﹣1时，y＝•（﹣1）﹣＝﹣2，
∴F（﹣1，﹣2），
∴AF＝2，
设M（x，x2﹣x﹣），
∴MT＝x﹣﹣（x2﹣x﹣）＝﹣（x﹣）2+，
∴a＝﹣＜0，
∴MTmax＝，
∴＝＝＝＝＝．
13．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2；

（2）由y＝（x﹣2）2+a﹣4得：A（0，a），M（2，a﹣4），
由y＝x﹣a 得C（0，﹣a），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
将M（2，a﹣4）代入y＝kx+a中，得2k+a＝a﹣4，
解得k＝﹣2，
直线AM的解析式为y＝﹣2x+a，
联立方程组得，解得 ，
∴D（a，a），
∵a＜0，
∴点D在第二象限，
又点A与点C关于原点对称，
∴AC是以P、A、C、D为顶点的平行四边形的对角线，则点P与点D关于原点对称，
即P（a，a），
将点P（﹣a，a）代入抛物线y＝x2﹣4x+a，解得a＝或a＝0（舍去），
∴a＝；

（3）存在，
理由如下：当a＝﹣5时，y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9，此时M（2，﹣9），
令y＝0，即（x﹣2）2﹣9＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点F（﹣1，0）E（5，0），
∴EN＝FN＝3 MN＝9，
设点Q（m，m2﹣4m﹣5），则G（m，0），
∴EG＝|m﹣5|，QG＝|m2﹣4m﹣5|，
又△QEG与△MNE都是直角三角形，且∠MNE＝∠QGE＝90°，
如图所示，需分两种情况进行讨论：

i）当＝＝3时，即＝3，
当m＝2时点Q与点M重合，不符合题意，舍去，
当m＝﹣4时，此时Q坐标为点Q1（﹣4，27）；
ii）当＝＝＝时，即＝，
解得m＝或m＝或m＝5（舍去），
当m＝时，Q坐标为点Q2（，），
当m＝，Q坐标为点Q3（，），
综上所述，点Q的坐标为（﹣4，27）或（，）或（，）．
一十．全等三角形的判定（共1小题）
14．（2020•柳州）如图，已知OC平分∠MON，点A、B分别在射线OM，ON上，且OA＝OB．
求证：△AOC≌△BOC．

【解答】证明：∵OC平分∠MON，
∴∠AOC＝∠BOC，
在△AOC和△BOC中，
，
∴△AOC≌△BOC（SAS）．
一十一．全等三角形的判定与性质（共1小题）
15．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） 　①　（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 　SSS　（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．

【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
一十二．全等三角形的应用（共1小题）
16．（2021•柳州）如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．
证明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴　DE＝AB　．

【解答】证明：在△DEC和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS），
∴DE＝AB．
故答案为：CA，∠DCE＝∠ACB，CB，DE＝AB．
一十三．平行四边形的性质（共1小题）
17．（2020•柳州）如图，已知▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AD＝12，BD＝10，AC＝26．
（1）求△ADO的周长；
（2）求证：△ADO是直角三角形．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴对角线AC与BD相互平分，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∵AC＝26，BD＝10，
∴OA＝13，OD＝5，
∵AD＝12，
∴△AOD的周长＝5+12+13＝30；
（2）由（1）知 OA＝13，OD＝5，AD＝12，
∵52+ 122＝132 ，
∴在△AOD中，AD2+DO2＝AO2 ，
∴△AOD是直角三角形．
一十四．圆的综合题（共3小题）
18．（2022•柳州）如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．

【解答】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵＝，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFB＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝；

（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵＝＝＝，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴＝＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ABF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴＝＝，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的直径为6．

19．（2021•柳州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AD＝AB＝1，DC＝，以A为圆心，AD为半径作圆，延长CD交⊙A于点F，延长DA交⊙A于点E，连结BF，交DE于点G．
（1）求证：BC为⊙A的切线；
（2）求cos∠EDF的值；
（3）求线段BG的长．

【解答】（1）证明：∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝90°，
∵AB＝AD，
∴BC为⊙A的切线；

（2）解：如图1，过点D作DH⊥BC于H，
∴∠DHB＝90°，
由（1）知，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BAD＝∠BHD＝90°，
∴四边形ABHD为矩形，
∵AB＝AD＝1，
∴矩形ABHD是正方形，
∴BH＝DH＝AB＝1，
在Rt△DHC中，CD＝，根据勾股定理得，CH＝＝2，
∴cosC＝＝＝，
∵AD∥BC，
∴∠EDF＝∠C，
∴cos∠EDF＝cosC＝；

（3）如图2，
过点A作AM⊥DF于M，则DF＝2DM，∠AMD＝90°，
在Rt△AMD中，AD＝1，cos∠EDF＝，
∴DM＝AD•cos∠EDF＝1×＝，
∴DF＝2DM＝，
∴CF＝DF+CD＝+＝，
∵AD∥BC，
∴△DFG∽△CFB，
∴，
由（2）知，BC＝1+2＝3，
∴＝，
∴DG＝，
∴AG＝DG﹣AD＝，
在Rt△BAG中，BG＝＝＝．


20．（2020•柳州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G．
（1）求证：△ACD∽△CFD；
（2）若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；
（3）若sin∠CAD＝，求tan∠CDA的值．

【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴，
∴∠CAD＝∠FCD，
又∵∠ADC＝∠CDF，
∴△ACD∽△CFD；
（2）证明：连接OC，如图1所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠CAB＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA，
∴∠OCB＝∠GCA，
∴∠OCG＝∠GCA+∠OCA＝∠OCB+∠OCA＝90°，
∴CG⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CG是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，如图2所示：
∵∠CAD＝∠CBD，
∵OD⊥BC，
∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝＝，BE＝CE，
设DE＝x，OD＝OB＝r，则OE＝r﹣x，BD＝3x
在Rt△BDE中，BE＝＝＝，
∴BC＝2BE＝，
在Rt△OBE中，OE2+BE2＝OB2，
即（r﹣x）2+（）2＝r2，
解得：r＝x，
∴AB＝2r＝9x，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴AC2+（）2＝（9x）2，
∴AC＝7x或AC＝﹣7x（舍去），
∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝＝．


一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•柳州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．
（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
（2）求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．

【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如图所示：
则∠PCA＝∠PCB＝90°，
由题意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，
在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，
∴PC＝PA＝60海里，
在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，
∴PB＝＝＝60（海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60海里；
（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为＝3（小时），救助船B所用的时间为＝2（小时），
∵3＞2，
∴救助船B先到达．

一十六．条形统计图（共1小题）
22．（2021•柳州）为迎接中国共产党建党100周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈”为主题的读书活动，学校政教处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
（1）补全下面图1的统计图；
（2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为 　3　；
（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生人数．

【解答】解：（1）抽样调查的学生总数为：＝50（人），
“读书量”4本的人数所占的百分比是1﹣10%﹣10%﹣20%﹣40%＝20%，
“读书量”4本的人数有：50×20%＝10（人），
补全图1的统计图如下，

（2）根据统计图可知众数为3，
故答案为：3；
（3）根据题意得，
1200×（10%+20%）＝360（人），
答：估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于4本的学生有360人．
一十七．列表法与树状图法（共2小题）
23．（2022•柳州）在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这3张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为 　　；
（2）若七（1）班从3张卡片中随机抽取1张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这3张卡片分别用它们的编号A，B，C表示）

【解答】解：（1）某班从3张卡片中随机抽取1张，抽到卡片C的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中七（1）班和七（2）班抽到不同卡片的结果有6种，
∴这两个班抽到不同卡片的概率为＝．
24．（2020•柳州）共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是　　；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
【解答】解：（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率＝＝．