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    2022年江西省九江市九江有色金属冶炼厂职工子弟校中考数学四模试卷含解析

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    2022年江西省九江市九江有色金属冶炼厂职工子弟校中考数学四模试卷含解析

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    这是一份2022年江西省九江市九江有色金属冶炼厂职工子弟校中考数学四模试卷含解析,共23页。试卷主要包含了下列命题正确的是等内容,欢迎下载使用。
    2021-2022中考数学模拟试卷
    注意事项:
    1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
    2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
    3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1.下列计算错误的是(  )
    A.a•a=a2 B.2a+a=3a C.(a3)2=a5 D.a3÷a﹣1=a4
    2.如图,点P(x,y)(x>0)是反比例函数y=(k>0)的图象上的一个动点,以点P为圆心,OP为半径的圆与x轴的正半轴交于点A,若△OPA的面积为S,则当x增大时,S的变化情况是(  )

    A.S的值增大 B.S的值减小
    C.S的值先增大,后减小 D.S的值不变
    3.在实数,,,中,其中最小的实数是(  )
    A. B. C. D.
    4.如图,小岛在港口P的北偏西60°方向,距港口56海里的A处,货船从港口P出发,沿北偏东45°方向匀速驶离港口,4小时后货船在小岛的正东方向,则货船的航行速度是( )

    A.7海里/时 B.7海里/时 C.7海里/时 D.28海里/时
    5.下列命题正确的是( )
    A.内错角相等 B.-1是无理数
    C.1的立方根是±1 D.两角及一边对应相等的两个三角形全等
    6.如图,AB是⊙O的直径,点E为BC的中点,AB=4,∠BED=120°,则图中阴影部分的面积之和为( )

    A.1 B. C. D.
    7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′,点C的对应点是点C′,连接CC′.若∠CC′B′=32°,则∠B的大小是( )

    A.32° B.64° C.77° D.87°
    8.如图,扇形AOB 中,半径OA=2,∠AOB=120°,C 是弧AB的中点,连接AC、BC,则图中阴影部分面积是 ( )

    A. B.
    C. D.
    9.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,那么sinB的值是(  )
    A. B. C. D.
    10.一元二次方程x2+kx﹣3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )
    A.3 B.﹣1 C.﹣3 D.﹣2
    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11.已知一次函数的图象与直线y=x+3平行,并且经过点(﹣2,﹣4),则这个一次函数的解析式为_____.
    12.如图,在中,.的半径为2,点是边上的动点,过点作的一条切线(点为切点),则线段长的最小值为______.

    13.如图,在梯形ACDB中,AB∥CD,∠C+∠D=90°,AB=2,CD=8,E,F分别是AB,CD的中点,则EF=_____.

    14.一个不透明的口袋中有2个红球,1个黄球,1个白球,每个球除颜色不同外其余均相同.小溪同学从口袋中随机取出两个小球,则小溪同学取出的是一个红球、一个白球的概率为_____.
    15.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为A(1,0),等腰直角三角形ABC的边AB在x轴的正半轴上,∠ABC=90°,点B在点A的右侧,点C在第一象限。将△ABC绕点A逆时针旋转75°,如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上,那么边AB的长为____.

    16.某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,则商品的定价是______元
    17.在△ABC中,若∠A,∠B满足|cosA-|+(sinB-)2=0,则∠C=_________.
    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18.(10分)为响应学校全面推进书香校园建设的号召,班长李青随机调查了若干同学一周课外阅读的时间(单位:小时),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图(:,:,:,:),根据图中信息,解答下列问题:
    (1)这项工作中被调查的总人数是多少?
    (2)补全条形统计图,并求出表示组的扇形统计图的圆心角的度数;
    (3)如果李青想从组的甲、乙、丙、丁四人中先后随机选择两人做读书心得发言代表,请用列表或画树状图的方法求出选中甲的概率.

    19.(5分)如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于点C(0,3),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接DB.
    (1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标;
    (2)点M是抛物线上的动点,设点M的横坐标为m.
    ①当∠MBA=∠BDE时,求点M的坐标;
    ②过点M作MN∥x轴,与抛物线交于点N,P为x轴上一点,连接PM,PN,将△PMN沿着MN翻折,得△QMN,若四边形MPNQ恰好为正方形,直接写出m的值.

    20.(8分)如图,在平面直角坐标系xOy中,函数()的图象经过点,AB⊥x轴于点B,点C与点A关于原点O对称, CD⊥x轴于点D,△ABD的面积为8.
    (1)求m,n的值;
    (2)若直线(k≠0)经过点C,且与x轴,y轴的交点分别为点E,F,当时,求点F的坐标.

    21.(10分)如图,点G是正方形ABCD对角线CA的延长线一点,对角线BD与AC交于点O,以线段AG为边作一个正方形AEFG,连接EB、GD.
    (1)求证:EB=GD;
    (2)若AB=5,AG=2,求EB的长.

    22.(10分)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AB=10,点D是射线CB上的一个动点,△ADE是等边三角形,点F是AB的中点,连接EF.
    (1)如图,点D在线段CB上时,
    ①求证:△AEF≌△ADC;
    ②连接BE,设线段CD=x,BE=y,求y2﹣x2的值;
    (2)当∠DAB=15°时,求△ADE的面积.

    23.(12分)如图,已知等腰三角形ABC的底角为30°,以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D,过点D作DE⊥AC,垂足为E.

    (1)证明:DE为⊙O的切线;
    (2)连接DC,若BC=4,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积.
    24.(14分)已知:如图1在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为2cm/s;同时点Q由点A出发沿AC方向点C匀速运动,速度为lcm/s;连接PQ,设运动的时间为t秒(0<t<5),解答下列问题:
    (1)当为t何值时,PQ∥BC;
    (2)设△AQP的面积为y(cm2),求y关于t的函数关系式,并求出y的最大值;
    (3)如图2,连接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四边形PQPC,是否存在某时刻t,使四边形PQP'C为菱形?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.




    参考答案

    一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)
    1、C
    【解析】
    解:A、a•a=a2,正确,不合题意;
    B、2a+a=3a,正确,不合题意;
    C、(a3)2=a6,故此选项错误,符合题意;
    D、a3÷a﹣1=a4,正确,不合题意;
    故选C.
    【点睛】
    本题考查幂的乘方与积的乘方;合并同类项;同底数幂的乘法;负整数指数幂.
    2、D
    【解析】
    作PB⊥OA于B,如图,根据垂径定理得到OB=AB,则S△POB=S△PAB,再根据反比例函数k的几何意义得到S△POB=|k|,所以S=2k,为定值.
    【详解】
    作PB⊥OA于B,如图,则OB=AB,∴S△POB=S△PAB.
    ∵S△POB=|k|,∴S=2k,∴S的值为定值.
    故选D.

    【点睛】
    本题考查了反比例函数系数k的几何意义:在反比例函数y=图象中任取一点,过这一个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.
    3、B
    【解析】
    由正数大于一切负数,负数小于0,正数大于0,两个负数绝对值大的反而小,把这四个数从小到大排列,即可求解.
    【详解】
    解:∵0,-2,1,中,-2<0<1<,
    ∴其中最小的实数为-2;
    故选:B.
    【点睛】
    本题考查了实数的大小比较,关键是掌握:正数大于0,负数小于0,正数大于一切负数,两个负数绝对值大的反而小.
    4、A
    【解析】
    试题解析:设货船的航行速度为海里/时,小时后货船在点处,作于点.

    由题意海里,海里,
    在中,
    所以
    在中,
    所以
    所以
    解得:
    故选A.
    5、D
    【解析】解:A.两直线平行,内错角相等,故A错误;
    B.-1是有理数,故B错误;
    C.1的立方根是1,故C错误;
    D.两角及一边对应相等的两个三角形全等,正确.
    故选D.
    6、C
    【解析】
    连接AE,OD,OE.

    ∵AB是直径, ∴∠AEB=90°.
    又∵∠BED=120°,∴∠AED=30°.∴∠AOD=2∠AED=60°.
    ∵OA=OD.∴△AOD是等边三角形.∴∠A=60°.
    又∵点E为BC的中点,∠AED=90°,∴AB=AC.
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴△EDC是等边三角形,且边长是△ABC边长的一半2,高是.
    ∴∠BOE=∠EOD=60°,∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积.
    ∴阴影部分的面积=.故选C.
    7、C
    【解析】
    试题分析:由旋转的性质可知,AC=AC′,∵∠CAC′=90°,可知△CAC′为等腰直角三角形,则∠CC′A=45°.∵∠CC′B′=32°,∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°,∵∠B=∠C′B′A,∴∠B=77°,故选C.
    考点:旋转的性质.
    8、A
    【解析】
    试题分析:连接AB、OC,ABOC,所以可将四边形AOBC分成三角形ABC、和三角形AOB,进行求面积,求得四边形面积是,扇形面积是S=πr2= ,所以阴影部分面积是扇形面积减去四边形面积即.故选A.
    9、A
    【解析】
    ∵Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,
    ∴cosA=,
    ∴∠A+∠B=90°,
    ∴sinB=cosA=.
    故选A.
    10、C
    【解析】
    试题分析:根据根与系数的关系可得出两根的积,即可求得方程的另一根.设m、n是方程x2+kx﹣3=0的两个实数根,且m=x=1;则有:mn=﹣3,即n=﹣3;故选C.
    【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解.

    二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)
    11、y=x﹣1
    【解析】
    分析:根据互相平行的两直线解析式的k值相等设出一次函数的解析式,再把点(﹣2,﹣4)的坐标代入解析式求解即可.
    详解:∵一次函数的图象与直线y=x+1平行,∴设一次函数的解析式为y=x+b.
    ∵一次函数经过点(﹣2,﹣4),∴×(﹣2)+b=﹣4,解得:b=﹣1,所以这个一次函数的表达式是:y=x﹣1.
    故答案为y=x﹣1.
    点睛:本题考查了两直线平行的问题,熟记平行直线的解析式的k值相等设出一次函数解析式是解题的关键.
    12、
    【解析】
    连接,根据勾股定理知,可得当时,即线段最短,然后由勾股定理即可求得答案.
    【详解】
    连接.
    ∵是的切线,
    ∴;
    ∴,
    ∴当时,线段OP最短,
    ∴PQ的长最短,
    ∵在中,,
    ∴,
    ∴,
    ∴.

    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,得到时,线段最短是关键.
    13、3
    【解析】
    延长AC和BD,交于M点,M、E、F三点共线,EF=MF-ME.
    【详解】

    延长AC和BD,交于M点,M、E、F三点共线,∵∠C+∠D=90°,∴△MCD是直角三角形,∴MF=,同理ME=,∴EF=MF-ME=4-1=3.
    【点睛】
    本题考查了直角三角形斜边中线的性质.
    14、
    【解析】
    先画树状图求出所有等可能的结果数,再找出从口袋中随机摸出2个球,摸到的两个球是一红一白的结果数,然后根据概率公式求解.
    【详解】
    解:根据题意画树状图如下:

    共有12种等可能的结果数,其中从口袋中随机摸出2个球,摸到的一个红球、一个白球的结果数为4,
    所以从口袋中随机摸出2个球,则摸到的两个球是一白一黄的概率为.
    故答案为.
    【点睛】
    此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
    15、
    【解析】
    依据旋转的性质,即可得到,再根据,,即可得出,.最后在中,可得到.
    【详解】
    依题可知,,,,∴,在中,,,,,.
    ∴在中,.
    故答案为:.
    【点睛】
    本题考查了坐标与图形变化,等腰直角三角形的性质以及含30°角的直角三角形的综合运用,图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.
    16、300
    【解析】
    设成本为x元,标价为y元,根据已知条件可列二元一次方程组即可解出定价.
    【详解】
    设成本为x元,标价为y元,依题意得,解得
    故定价为300元.
    【点睛】
    此题主要考查二元一次方程组的应用,解题的关键是根据题意列出方程再求解.
    17、75°
    【解析】
    【分析】根据绝对值及偶次方的非负性,可得出cosA及sinB的值,从而得出∠A及∠B的度数,利用三角形的内角和定理可得出∠C的度数.
    【详解】∵|cosA-|+(sinB-)2=0,
    ∴cosA=,sinB=,
    ∴∠A=60°,∠B=45°,
    ∴∠C=180°-∠A-∠B=75°,
    故答案为:75°.
    【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质,解答本题的关键是得出cosA及sinB的值,另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值.

    三、解答题(共7小题,满分69分)
    18、(1)50人;(2)补全图形见解析,表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为108°;(3).
    【解析】
    分析:(1)、根据B的人数和百分比得出样本容量;(2)、根据总人数求出C组的人数,根据A组的人数占总人数的百分比得出扇形的圆心角度数;(3)、根据题意列出树状图,从而得出概率.
    详解:(1)被调查的总人数为19÷38%=50人;
    (2)C组的人数为50﹣(15+19+4)=12(人),
    补全图形如下:

    表示A组的扇形统计图的圆心角的度数为360°×=108°;
    (3)画树状图如下,

    共有12个可能的结果,恰好选中甲的结果有6个, ∴P(恰好选中甲)=.
    点睛:本题主要考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率的计算法则,属于基础题型.理解频数、频率与样本容量之间的关系是解题的关键.
    19、(1)(1,4)(2)①点M坐标(﹣,)或(﹣,﹣);②m的值为 或
    【解析】
    (1)利用待定系数法即可解决问题;
    (2)①根据tan∠MBA=,tan∠BDE==,由∠MBA=∠BDE,构建方程即可解决问题;②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称,四边形MPNQ是正方形,推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点,即OP=1,易证GM=GP,即|-m2+2m+3|=|1-m|,解方程即可解决问题.
    【详解】
    解:(1)把点B(3,0),C(0,3)代入y=﹣x2+bx+c,
    得到,解得,
    ∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,
    ∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣(x﹣1)2+4,
    ∴顶点D坐标(1,4);
    (2)①作MG⊥x轴于G,连接BM.则∠MGB=90°,设M(m,﹣m2+2m+3),

    ∴MG=|﹣m2+2m+3|,BG=3﹣m,
    ∴tan∠MBA=,
    ∵DE⊥x轴,D(1,4),
    ∴∠DEB=90°,DE=4,OE=1,
    ∵B(3,0),
    ∴BE=2,
    ∴tan∠BDE==,
    ∵∠MBA=∠BDE,
    ∴=,
    当点M在x轴上方时, =,
    解得m=﹣或3(舍弃),
    ∴M(﹣,),
    当点M在x轴下方时, =,
    解得m=﹣或m=3(舍弃),
    ∴点M(﹣,﹣),
    综上所述,满足条件的点M坐标(﹣,)或(﹣,﹣);
    ②如图中,∵MN∥x轴,

    ∴点M、N关于抛物线的对称轴对称,
    ∵四边形MPNQ是正方形,
    ∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点,即OP=1,
    易证GM=GP,即|﹣m2+2m+3|=|1﹣m|,
    当﹣m2+2m+3=1﹣m时,解得m=,
    当﹣m2+2m+3=m﹣1时,解得m=,
    ∴满足条件的m的值为或.
    【点睛】
    本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
    20、(1)m=8,n=-2;(2) 点F的坐标为,
    【解析】
    分析:(1)利用三角形的面积公式构建方程求出n,再利用 待定系数法求出m的的值即可;(2)分两种情形分别求解如①图,当k0时,设直线y=kx+b与x轴,y轴的交点分别为点,.
    详解:(1)如图②

    ∵ 点A的坐标为,点C与点A关于原点O对称,
    ∴ 点C的坐标为.
    ∵ AB⊥x轴于点B,CD⊥x轴于点D,
    ∴ B,D两点的坐标分别为,.
    ∵ △ABD的面积为8,,
    ∴ .
    解得 . ∵ 函数()的图象经过点,
    ∴ .
    (2)由(1)得点C的坐标为.
    ① 如图,当时,设直线与x轴,

    y轴的交点分别为点,.
    由 CD⊥x轴于点D可得CD∥.
    ∴ △CD∽△ O.
    ∴ .
    ∵ ,
    ∴ .
    ∴ .
    ∴ 点的坐标为.
    ②如图,当时,设直线与x轴,y轴的交点分别为
    点,.

    同理可得CD∥,.
    ∵ ,
    ∴ 为线段的中点,.
    ∴ .
    ∴ 点的坐标为.
    综上所述,点F的坐标为,.
    点睛:本题考查了反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积公式等知识,解题的关键是会用方程的思想思考问题,会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
    21、(1)证明见解析;(2) ;
    【解析】
    (1)根据正方形的性质得到∠GAD=∠EAB,证明△GAD≌△EAB,根据全等三角形的性质证明;(2)根据正方形的性质得到BD⊥AC,AC=BD=5,根据勾股定理计算即可.
    【详解】
    (1)在△GAD和△EAB中,∠GAD=90°+∠EAD,∠EAB=90°+∠EAD,
    ∴∠GAD=∠EAB,
    在△GAD和△EAB中,,
    ∴△GAD≌△EAB,
    ∴EB=GD;
    (2)∵四边形ABCD是正方形,AB=5,
    ∴BD⊥AC,AC=BD=5,
    ∴∠DOG=90°,OA=OD=BD=,
    ∵AG=2 ,
    ∴OG=OA+AG=,
    由勾股定理得,GD==,
    ∴EB=.
    【点睛】
    本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质,掌握正方形的对角线相等、垂直且互相平分是解题的关键.
    22、(1)①证明见解析;②25;(2)为或50+1.
    【解析】
    (1)①在直角三角形ABC中,由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长,再由F为AB中点,得到AC=AF=5,确定出三角形ADE为等边三角形,利用等式的性质得到一对角相等,再由AD=AE,利用SAS即可得证;②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角,EF=CD=x,在三角形AEF中,利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式;(2)分两种情况考虑:①当点在线段CB上时;②当点在线段CB的延长线上时,分别求出三角形ADE面积即可.
    【详解】
    (1)、①证明:在Rt△ABC中,
    ∵∠B=30°,AB=10,
    ∴∠CAB=60°,AC=AB=5,
    ∵点F是AB的中点, 
    ∴AF=AB=5,
    ∴AC=AF,
    ∵△ADE是等边三角形,
    ∴AD=AE,∠EAD=60°,
    ∵∠CAB=∠EAD,
    即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB,
    ∴∠CAD=∠FAE,
    ∴△AEF≌△ADC(SAS);
    ②∵△AEF≌△ADC,
    ∴∠AEF=∠C=90°,EF=CD=x,
    又∵点F是AB的中点,
    ∴AE=BE=y, 
    在Rt△AEF中,勾股定理可得:y2=25+x2,
     ∴y2﹣x2=25.

    (2)①当点在线段CB上时, 由∠DAB=15°,可得∠CAD=45°,△ADC是等腰直角三角形,
    ∴AD2=50,△ADE的面积为;
    ②当点在线段CB的延长线上时, 由∠DAB=15°,可得∠ADB=15°,BD=BA=10,

    ∴在Rt△ACD中,勾股定理可得AD2=200+100,
    综上所述,△ADE的面积为或.
    【点睛】
    此题考查了勾股定理,全等三角形的判定与性质,以及等边三角形的性质,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.
    23、(1)详见解析;(2).
    【解析】
    (1)连接OD,由平行线的判定定理可得OD∥AC,利用平行线的性质得∠ODE=∠DEA=90°,可得DE为⊙O的切线;
    (2)连接CD,求弧DC与弦DC所围成的图形的面积利用扇形DOC面积-三角形DOC的面积计算即可.
    【详解】
    解:
    (1)证明:连接OD,
    ∵OD=OB,
    ∴∠ODB=∠B,
    ∵AC=BC,
    ∴∠A=∠B,
    ∴∠ODB=∠A,
    ∴OD∥AC,
    ∴∠ODE=∠DEA=90°,
    ∴DE为⊙O的切线;
    (2)连接CD,
    ∵∠A=30°,AC=BC,
    ∴∠BCA=120°,
    ∵BC为直径,
    ∴∠ADC=90°,
    ∴CD⊥AB,
    ∴∠BCD=60°,
    ∵OD=OC,
    ∴∠DOC=60°,
    ∴△DOC是等边三角形,
    ∵BC=4,
    ∴OC=DC=2,
    ∴S△DOC=DC×=,
    ∴弧DC与弦DC所围成的图形的面积=﹣=﹣.

    【点睛】
    本题考查的知识点是等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算,解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质以及扇形面积的计算.
    24、(1)当t=时,PQ∥BC;(2)﹣(t﹣)2+,当t=时,y有最大值为;(3)存在,当t=时,四边形PQP′C为菱形
    【解析】
    (1)只要证明△APQ∽△ABC,可得=,构建方程即可解决问题;
    (2)过点P作PD⊥AC于D,则有△APD∽△ABC,理由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题;
    (3)存在.由△APO∽△ABC,可得=,即=,推出OA=(5﹣t),根据OC=CQ,构建方程即可解决问题;
    【详解】
    (1)在Rt△ABC中,AB===10,
    BP=2t,AQ=t,则AP=10﹣2t,
    ∵PQ∥BC,
    ∴△APQ∽△ABC,
    ∴=,即=,
    解得t=,
    ∴当t=时,PQ∥BC.
    (2)过点P作PD⊥AC于D,则有△APD∽△ABC,

    ∴=,即=,
    ∴PD=6﹣t,
    ∴y=t(6﹣t)=﹣(t﹣)2+,
    ∴当t=时,y有最大值为.
    (3)存在.
    理由:连接PP′,交AC于点O.

    ∵四边形PQP′C为菱形,
    ∴OC=CQ,
    ∵△APO∽△ABC,
    ∴=,即=,
    ∴OA=(5﹣t),
    ∴8﹣(5﹣t)=(8﹣t),
    解得t=,
    ∴当t=时,四边形PQP′C为菱形.
    【点睛】
    本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造相似三角形解决问题,学会理由参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.

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