人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制教学设计及反思

《5.1.2弧度制》教学设计

一、教材分析

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第一节《任意角和弧度制》。教材通过类比引出弧度，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出弧度与角度的换算方法。在此基础上，通过具体例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性，这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究和解决问题的过程中，更好的形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，为学习任意角的三角函数奠定基础。

二、学情分析

在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。

三、学习目标

1.理解“1弧度的角”的定义，了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系，培养数学抽象的核心素养；

2.掌握弧度与角度的换算，熟悉特殊角的弧度数，提升数学运算的核心素养；

2.掌握扇形的弧长公式和扇形面积公式，强化数学运算的核心素养。

四、教学重点

1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；

2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。

五、教学过程

（一）新知导入

1. 创设情境，生成问题

炎炎夏日，用纸扇驱走闷热，无疑是一种好办法．扇子在美观设计上，可考虑用料、图案和形状．若从数学角度看，我们能否用黄金比例(0.618)去设计一把富有美感的纸扇？要探索这个问题首先要认识一种新的角度单位——弧度．

2.探索交流，解决问题

【探究1】 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？

【答案】角度制的单位有：度、分、秒。

 2.1°的角是如何定义的？

【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .

日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制，它是如何定义呢？

【设计意图】

通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

（二）弧度的概念

【探究2】在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？

角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时，

（1）分别计算相对应的弧长l

（2）分别计算对应弧长与半径之比

通过上面的计算，你发现了什么规律？

【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；

②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；

弧度的概念

 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角.

 弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad.

约定： 正角的弧度数为正数，

       负角的弧度数为负数，

       零角的弧度数为0.

【思考1】圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度数是多少?

【答案】2rad,-3rad.

【思考2】如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？

【答案】

结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。

（三）角度与弧度的换算

【思考3】一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？

【答案】360º，。

【思考4】根据上述关系，1°等于多少弧度，  1 rad等于多少度？

【答案】

角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。

常规写法

① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数．

②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.

③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。

【做一做】填写下列表中特殊角的弧度数或度数。

3. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，

          任意角的集合         实数集R

【设计意图】通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。

（四）扇形的弧长公式与面积公式

【探究】初中学的扇形的弧长公式、扇形面积公式，改为弧度制如何表示？　　

扇形的弧长及面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，其中α＝，则

（五）典型例题

例1.　(1)将下列各角进行角度与弧度的互化(角度精确到0.01)：

α1＝－π，α2＝π，α3＝9，α4＝－855°；

(2)把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式：，－315°，－；

(3)在0°～720°中找出与终边相同的角．

解：(1)α1＝－π＝－×180°≈－282.86 °；

α2＝π＝×180°＝15 330°；

α3＝9＝9×°≈515.66°；

α4＝－855°＝－855×＝－π.

(2)＝4π＋；

－315°＝－360°＋45°＝－2π＋；

－＝－2π＋.

(3)∵＝×180°＝72°，

∴与终边相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．

当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.

∴在0°～720°中与终边相同的角为72°，432°.

【类题通法】1．进行角度与弧度的互化时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×＝弧度数，弧度数×()°＝度数．

2．特殊角的弧度数与度数对应值要熟记。

【巩固练习1】(1)已知α＝15°，β＝，γ＝1，θ＝105°，φ＝π，试比较它们的大小．

(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？

解：(1)法一：(化为弧度)：α＝15°＝15×＝，

θ＝105°＝105×＝，

显然＜＜1＜.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

法二：(化为角度)：

β＝＝×()°＝18°，γ＝1≈57.30°，

φ＝×()°＝105°.

显然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.

(2)－1 480°＝－1 480×＝－＝－10π＋，其中0≤<2π.

因为是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．

例2.  已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.

(1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；

(2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？

解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝，

S弓＝S扇－S△＝××10－×102＝50.

(2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R，

∴S扇＝Rl＝R(C－2R)＝－R2＋RC＝－2＋，

∴当R＝时，S扇有最大值且为，此时l＝C－2R＝，

∴|α|＝＝·＝2.故|α|＝2时，该扇形的面积最大．

【类题通法】求扇形的弧长和面积的解题技巧

(1)记公式：弧长公式为：l＝|α|R.面积公式为S＝lR＝|α|R2(其中l是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数)．

(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．

【巩固练习2】(1)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形圆心角的弧度数；

(2)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm，求扇形的面积．

解：(1)如图所示，设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，圆心角为θ(0<θ<2π)，

由l＋2r＝20，得l＝20－2r，

由lr＝9，得(20－2r)r＝9，

∴r2－10r＋9＝0，解得r1＝1，r2＝9.

当r1＝1 cm时，l＝18 cm，θ＝＝＝18>2π(舍去)．

当r2＝9 cm时，l＝2 cm，θ＝＝.

∴扇形的圆心角的弧度数为.

(2)扇形的圆心角为75×＝，扇形半径为15 cm，

扇形面积S＝|α|r2＝××152＝π(cm2)．

（五）操作演练  素养提升

1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　)

A．(k∈Z)               B．(k∈Z)

C．(k∈Z)               D．(k∈Z)

2．与30°角终边相同的角的集合是(　　)

A．           B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}        D．

3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A．π       B．π      C．π        D．π

4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______．

　5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．

答案：1.A  2.D  3.A  4.－10π＋π  5.2

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

（六）课堂小结，反思感悟

 1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

六、布置作业

完成教材：第69页  练习     第1，2，3题

         第72页  练习     第1,2题

         第72 页   习题3.1  第6,7,8,9,10,11题