2022-2023学年北师大版（2019）必修一第一章预备知识 单元测试卷
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学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题(共50分)
1、(5分)若存在，使不等式成立，则实数m的最大值为( )
A.-3 B.-1 C.0 D.3
2、(5分)已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.或 C. D.或
3、(5分)已知是2与4的公倍数}，，则( )
A. B. C.A与B都是有限集 D.
4、(5分)已知集合, 若, 则实数a 的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
5、(5分)若,则的最小值为( ).
A. B. C. D.4
6、(5分)若不等式的解集为,则不等式的解集为( ).
A. B. C. D.
7、(5分)若不等式对一切实数x恒成立,则实数a的取值范围是( ).
A. B. C. D.
8、(5分)已知函数在上单调递减,且对任意的,总有
,则实数t的取值范围是( )
A. B. C. D.
9、(5分)已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数,则实数a的取值范围是( )
A.(0,5) B.[0,5) C.[0,5] D.(0,5]
10、(5分)已知集合，则集合中元素个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(共25分)
11、(5分)若某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），每1万件售价是15万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件，获取的最大利润为______万元.
12、(5分)对于实数x，当时，规定，若，则________，不等式的解集为_______.
13、(5分)已知实数满足且,则的最小值为________.
14、(5分)若对恒成立,则实数a的取值范围为__________.
15、(5分)若某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为,则当每台机器运转_________年时,年平均利润最大.
三、解答题(共25分)
16、(8分)已知集合．
（1）若是的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M；
（2）若，且，求实数a的取值集合．
17、(8分)已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数p，使对任意恒成立，试写出一个p，并证明之.
18、(9分)已知函数．
（1）求函数的解析式；
（2）已知函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围．
参考答案
1、答案：C
解析：本题考查不等式的存在性问题.由已知可得，存在使之成立，则.
2、答案：B
解析：本题考查一元二次不等式的解集.由已知可得-3，2是方程的两根.由根与系数的关系可知，，所以，，代入不等式，得，解得或.
3、答案：D
解析：本题考查集合的关系.A集合中的元素是2与4的公倍数即4的倍数，B集合中的元素也是4的倍数，所以，且A与B都是无限集.
4、答案：C
解析：, ,
(1)当, 即 时, 成立;
(2)当, 即 时, ,
综上所述,
实数a 的取值范围是,
故选: C.
5、答案：A
解析：因为,所以=,所以,当且仅当，即时取等号,所以的最小值为,故选A.
6、答案：A
解析：因为不等式的解集为,所以,且故,代入不等式得到,即,解得.
7、答案：C
解析：当,即时,可化为,
即不等式恒成立;当,即时,因为对一切实数x恒成立,所以解得.综上所述,.
8、答案：B
解析：因为函数的图象的对称轴为直线,所以函数的单调递减区间为,又函数在区间上单调递减,所以,所以,,由二次函数的对称性可知,在区间上,,故要使对任意的,都有|,只要,即,可得,解得.又,所以.故选B.
9、答案：D
解析：原不等式变形为,故当时,原不等式才有解,且解为,要使其中只有5个整数,则,即,解得.故选D.
10、答案：C
解析：由题意可得：，
，
所以集合中元素个数为3.
故本题正确答案为C
11、答案：27，213
解析：本题考查二次函数在成本利润计算中的应用.利润，当时，有最大值213.
12、答案：20，
解析：本题考查新定义及一元二次不等式的解集.由，得，则不等式化为，解得，即不等式的解集为.
13、答案：
解析：因为，所以,故,因为,所以,由基本不等式得,当且仅当即时等号成立,故的最小值.
14、答案：
解析：对恒成立，.
15、答案：5
解析：每台机器运转x年的年平均利润为,且,由基本不等式得,当且仅当,即时等号成立,故,当且仅当时等号成立,此时年平均利润最大.
16、答案：（1），，，；
（2）.
解析：（1），，可能的集合为：，，，；
（2）当时，，满足；
当时，；若，则或或，
解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
17、答案： (1)见解析(2) 见解析
解析：(1) 证明 : 由 ，得 ，,
要证 ，
只要证 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立；
(2)要使,
只至至,
左边
则 ， 可取 或 3
取 ，问题转化为.
证明如下 : 要证 ，
只需证明 ，
左边
当且仅当 ，即 时等号成立.
18、答案：（1）；
（2）.
解析：（1）令，则，
所以，所以．
（2），对称轴为，
当在上单调递减时，，解得；
当在上单调递增时，，解得；
综上可知，的取值范围是.
