山东省2022年中考数学（五四制）一轮练习：小专题(二) 线段中点的模型应用(含答案)

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A．6 B．4 C．3 D．5
2．如图，AB＝AC，角平分线BF，CE交于点O，AO与BC交于点D，则图中共有全等三角形( )
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
3．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的中垂线上．若∠ABC＝98°，则∠APC的度数为( )
A．134° B．135° C．137° D．139°
4．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，求BC的长．
5．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，点E，F分别是BC，AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N，证明：∠BME＝∠CNE.
6.如图，在△ABC中，AB＝AC.点D为BC的中点，点E是BA延长线上一点，F是AC上一点，连接EF并延长交BC于点G，且AE＝AF.
(1)若∠ABC＝50°，求∠AEF的度数；
(2)求证：AD∥EG.
7．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE.
(1)求证：CG＝EG；
(2)已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△EDC的面积．
8．如图1，已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，点M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE；
(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)当∠A变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
9．(1)阅读理解：
如图1，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
可以用如下方法：将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 ；
(2)问题解决：
如图2，在△ABC中，点D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE＋CF>EF；
(3)问题拓展：
如图3，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C为顶点作一个50°的角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．
参考答案
【专题题组训练】
1．A 2.C 3.D 4.解：BC＝2eq \r(61)
5．证明：如图，连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF.
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴FH∥AB，FH＝eq \f(1,2)AB，EH∥CD，EH＝eq \f(1,2)CD，
∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF.
∵AB＝CD，∴FH＝EH，
∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE.
6．(1)解：∠AEF＝40°.
(2)证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝eq \f(1,2)∠BAC.
∵AE＝AF，∴∠E＝∠AFE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝∠E＋∠AFE，∴∠AEF＝∠BAD，∴AD∥EG.
7．(1)证明：连接DE.在Rt△ADB中，∵点E是AB的中点，
∴DE＝eq \f(1,2)AB＝AE.∵CD＝AE，∴DE＝DC.
又∵DG⊥CE，∴CG＝EG.
(2)解：S△EDC＝7.5.
8．(1)证明：如图，连接DM，ME，
∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，点M是BC的中点，
∴DM＝eq \f(1,2)BC，ME＝eq \f(1,2)BC，
∴DM＝ME.
又∵点N为DE的中点，∴MN⊥DE.
(2)解：∠DME＝180°－2∠A.
(3)解：结论(1)成立，结论(2)不成立．
理由：如图，在△ABC中，连接DM，EM.∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC.
∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠BAC)＝360°－2∠BAC，
∴∠DME＝180°－(360°－2∠BAC)＝2∠BAC－180°.
9．(1)解：1.5EF.
(3)解：BE＋DF＝EF(理由略)．