广西贺州市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题

这是一份广西贺州市三年（2020-2022）年中考数学真题汇编-03解答题，共28页。试卷主要包含了0﹣tan45°，0+|π﹣2|﹣tan30°，0﹣|﹣3|+cs45°，解方程组，解方程，解不等式组，，与y轴交于点C等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•贺州）计算：+|﹣2|+（﹣1）0﹣tan45°．
2．（2021•贺州）计算：+（﹣1）0+|π﹣2|﹣tan30°．
3．（2020•贺州）计算：（ ）2+（4﹣π）0﹣|﹣3|+cs45°．
二．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2020•贺州）解方程组：．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
5．（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
四．解分式方程（共1小题）
6．（2022•贺州）解方程：＝﹣2．
五．分式方程的应用（共1小题）
7．（2020•贺州）今年夏天，多地连降大雨，某地因大雨导致山体塌方，致使车辆通行受阻，某工程队紧急抢修，需要爆破作业．现有A，B两种导火索，A种导火索的燃烧速度是B种导火索燃烧速度的，同样燃烧长度为36cm的导火索，A种所需时间比B种多20s．
（1）求A，B两种导火索的燃烧速度分别是多少？
（2）为了安全考虑，工人选燃烧速度慢的导火索进行爆破，一工人点燃导火索后以6m/s的速度跑到距爆破点100m外的安全区，问至少需要该种导火索多长？
六．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2021•贺州）解不等式组：．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
12．（2020•贺州）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，2），顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．
九．三角形的面积（共1小题）
13．（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
一十．矩形的判定（共1小题）
14．（2020•贺州）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
一十一．切线的性质（共1小题）
15．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•贺州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，延长AB到点E，使得BE＝BC＝6，连接EC，且∠ECB＝∠CAB，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BC平分∠ECD，求AD的长．
一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
20．（2020•贺州）如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
一十七．折线统计图（共1小题）
22．（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
一十八．众数（共1小题）
23．（2022•贺州）为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组．经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）．
（1）该小组学生成绩的中位数是 ，众数是 ；
（2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．
一十九．游戏公平性（共1小题）
24．（2020•贺州）如图，一个可以自由转动的均匀转盘被三等分，分别标有1，2，3三个数字，甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲先转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），然后乙同样转动转盘，再将两人转得的数字相加，如果两个数字和是奇数则甲胜，否则乙胜．请根据游戏规则完成下列问题：
（1）用画树状图或列表法求甲胜的概率；
（2）这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
参考答案与试题解析
一．实数的运算（共3小题）
1．（2022•贺州）计算：+|﹣2|+（﹣1）0﹣tan45°．
【解答】解：+|﹣2|+（﹣1）0﹣tan45°
＝3+2+1﹣1
＝5．
2．（2021•贺州）计算：+（﹣1）0+|π﹣2|﹣tan30°．
【解答】解：原式＝2+1+π﹣2﹣×
＝2+1+π﹣2﹣1
＝π．
3．（2020•贺州）计算：（ ）2+（4﹣π）0﹣|﹣3|+cs45°．
【解答】解：原式＝3+1﹣3+×
＝3+1﹣3+1
＝2．
二．解二元一次方程组（共1小题）
4．（2020•贺州）解方程组：．
【解答】解：，
②×5，得10x﹣5y＝10 ③，
①+③，得14x＝21，
∴，
把代入②，得．
解得y＝1，
∴．
三．二元一次方程组的应用（共1小题）
5．（2021•贺州）为了提倡节约用水，某市制定了两种收费方式：当每户每月用水量不超过12m3时，按一级单价收费；当每户每月用水量超过12m3时，超过部分按二级单价收费．已知李阿姨家五月份用水量为10m3，缴纳水费32元．七月份因孩子放假在家，用水量为14m3，缴纳水费51.4元．
（1）问该市一级水费，二级水费的单价分别是多少？
（2）某户某月缴纳水费为64.4元时，用水量为多少？
【解答】解：（1）设该市一级水费的单价为x元，二级水费的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：该市一级水费的单价为3.2元，二级水费的单价为6.5元．
（2）∵3.2×12＝38.4（元），38.4＜64.4，
∴用水量超过12m3．
设用水量为am3，
依题意得：38.4+6.5（a﹣12）＝64.4，
解得：a＝16．
答：当缴纳水费为64.4元时，用水量为16m3．
四．解分式方程（共1小题）
6．（2022•贺州）解方程：＝﹣2．
【解答】解：方程两边同时乘以最简公分母（x﹣4），
得3﹣x＝﹣1﹣2（x﹣4），
去括号，得3﹣x＝﹣1﹣2x+8，
解方程，得x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣4＝0，
∴x＝4不是原方程的解，原分式方程无解．
五．分式方程的应用（共1小题）
7．（2020•贺州）今年夏天，多地连降大雨，某地因大雨导致山体塌方，致使车辆通行受阻，某工程队紧急抢修，需要爆破作业．现有A，B两种导火索，A种导火索的燃烧速度是B种导火索燃烧速度的，同样燃烧长度为36cm的导火索，A种所需时间比B种多20s．
（1）求A，B两种导火索的燃烧速度分别是多少？
（2）为了安全考虑，工人选燃烧速度慢的导火索进行爆破，一工人点燃导火索后以6m/s的速度跑到距爆破点100m外的安全区，问至少需要该种导火索多长？
【解答】解：（1）设B、A两种导火索的燃烧速度分别是xcm/s、xcm/s，
由题意得：﹣＝20，
解得：x＝0.9，
经检验，x＝0.9是原方程的解，且符合题意，
则x＝0.6，
答：A，B两种导火索的燃烧速度分别是0.6cm/s、0.9cm/s；
（2）设需要该种导火索的长度为ym，
0.6cm＝0.006m，
由题意得：6×≥100，
解得：y≥0.1，
答：至少需要该种导火索0.1m．
六．解一元一次不等式组（共1小题）
8．（2021•贺州）解不等式组：．
【解答】解：解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x＜1．
七．二次函数的应用（共1小题）
9．（2022•贺州）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
（1）设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
（2）求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【解答】解：（1）根据题意，得y＝200﹣×4（x﹣48）
＝﹣2x+296，
∴y与x之间的函数关系式：y＝﹣2x+296；
（2）根据题意，得W＝（x﹣34）（﹣2x+296）
＝﹣2（x﹣91）2+6498，
∵a＝﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，W有最大值，
当x＝91时，W最大值＝6498，
答：每套售价定为：91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
八．二次函数综合题（共3小题）
10．（2022•贺州）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在（2）条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x+1）•（x﹣3），
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设P（1，m），
∵PB2＝PC2，
∴（3﹣1）2+m2＝1+（m﹣3）2，
∴m＝1，
∴P（1，1）；
（3）假设存在M点满足条件，
作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，
∵PQ的解析式为y＝﹣x+2，
∴Q（0，2），
∵C（0，3），S△BCM＝S△BCP，
∴N（0，4），
∴直线MN的解析式为：y＝﹣x+4，
由﹣x2+2x+3＝﹣x+4得，
x＝，
∴M点横坐标为或．
11．（2021•贺州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标；
（3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）．
【解答】解：（1）抛物线过A（﹣1，0），对称轴为x＝2，
∴，
解得，
∴抛物线表达式为y＝x2﹣4x﹣5；
（2）过点C作CE⊥x轴于点E，
∵∠CAB＝45°，
∴AE＝CE，
设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc＝xc+1，
∴C（xc，xc+1），
代入y＝x2﹣4x﹣5得，
xc+1＝﹣4xc﹣5，
解得xc＝﹣1（舍去），xc＝6，
∴yc＝7，
∴点C的坐标是（6，7）；
（3）由（2）得C的坐标是（6，7），
∵对称轴x＝2，
∴点D的坐标是（﹣2，7），
∴CD＝8，
∵CD与x轴平行，点P在x轴下方，
设△PCD以CD为底边的高为h，
则h＝|yp|+7，
∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大，
∵1≤xp≤a，1≤a≤5，
①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y＝x2﹣4x﹣5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小，
∴|yp|max＝|a2﹣4a﹣5|＝5+4a﹣a2，
∴h＝|yp|+7＝12+4a﹣a2，
∴△PCD的最大面积为：
Smax＝×CD×h＝×8×（12+4a﹣a2）＝48+16a﹣4a2；
②当2≤a≤5时，此时y＝x2﹣4x﹣5的对称轴x＝2含于1≤xp＜a内，
∴|yp|max＝|22﹣4×2﹣5|＝9，
∴h＝9+7＝16，
∴△PCD的最大面积为Smax＝×CD×h＝×8×16＝64，
综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a﹣4a2；
当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64．
12．（2020•贺州）如图，抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2与y轴交于点A（0，2），顶点为B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P（t，y1），Q（t+3，y2）都在抛物线上，且y1＝y2，求P，Q两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，若点C是线段QB上一动点，经过点C的直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，连接DQ，DB，求△BDQ面积的最大值和最小值．
【解答】解：（1）将A（0，2）代入到抛物线解析式中，得，
4a﹣2＝2，
解得，a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣2；
（2）∵y1＝y2，
∴（t﹣2）2﹣2＝（t+3﹣2）2﹣2，
解得，，
∴P（），Q；
（3）由题可得，顶点B为（2，﹣2），
将直线y＝﹣x+m进行平移，
当直线经过B点时，﹣2＝﹣2+m，
解得m＝0，
当直线经过点Q时，，
解得m＝，
∵经过点C直线y＝﹣x+m与y轴交于点D，
∴D为（0，m），
∵点C是线段QB上一动点，
∴，
延长QB交y轴于点E，设直线QB的解析式为y＝kx+b，
代入点Q、B坐标得，
，解得，
∴QB的解析式为：，
令x＝0，则y＝﹣5，
∴E（0，﹣5），
由图可得，
S△BDQ＝S△DEQ﹣S△DEB，
∴＝，
∵，
∴当m＝0时，S△BDQ最小值为，
当m＝时，S△BDQ最大值为．
九．三角形的面积（共1小题）
13．（2021•贺州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．
（1）求证：四边形ABED是菱形；
（2）若AD＝4，求△BED的面积．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，
∴EC⊥DC，
∵EF⊥BD，EF＝EC，
∴DE是∠BDC的平分线，
∴∠EDB＝∠EDC，
∵∠ADB＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠EDB，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴AB∥DE，
∵AD∥BC，
∴AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴四边形ABED是菱形；
（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，
∴DE＝BE＝AD＝4，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，
∴∠EDC＝30°，
∴CD＝DE•cs30°＝4×＝2，
∴S△BED＝BE•CD＝×4×2＝4．
一十．矩形的判定（共1小题）
14．（2020•贺州）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG．
（1）求证：AD∥CF；
（2）求证：四边形ADCF是矩形．
【解答】证明：（1）∵E，G分别是AC，DC的中点，
∴EG是△ACD的中位线，
∴EG∥AD，
∵∠FCA＝∠CEG，
∴EG∥CF，
∴AD∥CF；
（2）由（1）得：AD∥CF，
∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE，
∵E是AC的中点，
∴AE＝CE，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD＝CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形．
一十一．切线的性质（共1小题）
15．（2021•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接AE，DE．
（1）求证：AE平分∠BAC；
（2）若∠B＝30°，求的值．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，即∠OEB＝90°，
∵∠C＝90°，
∴OE∥AC，
∴∠OEA＝∠EAC，
∵OE＝OA，
∴∠OEA＝∠OAE，
∴∠OAE＝∠EAC，即AE平分∠BAC；
（2）解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠OAE＝∠EAC，∠C＝90°，
∴△DAE∽△EAC，
∴＝，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∵cs∠DAE＝，cs30°＝，
∴＝＝．
一十二．切线的判定与性质（共1小题）
16．（2020•贺州）如图，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，求⊙O的直径．
【解答】（1）证明：连接OC，如图，
∵AC平分∠EAB，
∴∠OAC＝∠EAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°，
由（1）知OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠BDC，
∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB，
而∠OBC＝∠BCD+∠D＝2∠BCD，
∴∠OCB＝2∠BCD，
而∠OCD＝∠BCD+∠OCB＝3∠BCD＝90°，
∴∠OAC＝∠OCA＝∠BCD＝∠D＝30°，
设OC＝x，则OD＝2x，
由勾股定理得4x2﹣x2＝62，
解得，
所以．
一十三．圆的综合题（共1小题）
17．（2022•贺州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，延长AB到点E，使得BE＝BC＝6，连接EC，且∠ECB＝∠CAB，点D是上的点，连接AD，CD，且CD交AB于点F．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若BC平分∠ECD，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∵∠ECB＝∠CAB，
∴∠ECB＝∠ACO，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠ECB+∠OCB＝90°，即OC⊥EC，
∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：∵BC平分∠ECD，
∴∠BCD＝∠ECB，
∵∠BCD＝∠BAD，
∴∠ECB＝∠BAD，
∵∠ECB＝∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAB，
∵AB是直径，
∴AB⊥DC，
在Rt△FCE中，
∵BE＝BC，
∴∠E＝∠ECB，
∴∠E＝∠ECB＝∠BCF＝30°，
在Rt△BCF中，BC＝6，∠BCF＝30°，
∴CF＝BC•cs∠BCF＝6×＝3，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴DF＝CF＝3，
∵∠DAF＝∠BCF＝30°，
∴AD＝＝．
一十四．解直角三角形（共1小题）
18．（2022•贺州）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO•EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
一十五．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2022•贺州）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为1.2m的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角∠B′C′A＝60°，∠B′D′A＝30°，同时量得CD为60m．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732）
【解答】解：由题意得：
BB′＝DD′＝CC′＝1.2米，D′C′＝DC＝60米，
∵∠AC′B′是△AD′C′的一个外角，
∴∠D′AC′＝∠AC′B′﹣∠AD′B′＝30°，
∴∠AD′C′＝∠D′AC′＝30°，
∴D′C′＝AC′＝60米，
在Rt△AC′B′中，∠AC′B′＝60°，
∴AB′＝AC′•sin60°＝60×＝30（米），
∴AB＝AB′+BB′＝30+1.2≈53.2（米），
∴烟囱AB的高度约为53.2米．
20．（2020•贺州）如图，小丽站在电子显示屏正前方5m远的A1处看“防溺水六不准”，她看显示屏顶端B的仰角为60°，显示屏底端C的仰角为45°，已知小丽的眼睛与地面距离AA1＝1.6m，求电子显示屏高BC的值．（结果保留一位小数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．
【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
由题意得：AD＝5m，∠BAD＝60°，∠CAD＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝5m，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝，
∴BD＝AD＝5（m），
∴BC＝BD﹣CD＝5﹣5≈3.7（m），
答：电子显示屏高BC的值约为3.7m．
一十六．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•贺州）如图，一艘轮船离开A港沿着东北方向直线航行60海里到达B处，然后改变航向，向正东方向航行20海里到达C处，求AC的距离．
【解答】解：延长CB交AD于点D，则∠ADB＝90°，
由题意可知∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝45°，
∴∠ABD＝∠DAB，
∴AD＝BD，
在Rt△ABD中，
∵AB＝60海里，sin∠DAB＝，
∴AD＝BD＝AB•sin45°＝60×＝60（海里），
∵BC＝20海里，
∴DC＝60+20＝80（海里），
在Rt△ADC中，
由勾股定理得，AC＝＝＝100（海里），
答：AC的距离为100海里．
一十七．折线统计图（共1小题）
22．（2021•贺州）如图，某大学农学院的学生为了解试验田杂交水稻秧苗的长势，从中随机抽取样本对苗高进行了测量，根据统计结果（数据四舍五入取整），绘制统计图．
（1）本次抽取的样本水稻秧苗为 500 株；
（2）求出样本中苗高为17cm的秧苗的株数，并完成折线统计图；
（3）根据统计数据，若苗高大于或等于15cm视为优良秧苗，请你估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数．
【解答】解：（1）本次抽取的样本水稻秧苗为：80÷16%＝500（株）；
故答案为：500；
（2）苗高为14cm的秧苗的株数有500×20%＝100（株），
苗高为17cm的秧苗的株数有500﹣40﹣100﹣80﹣160＝120（株），
补全统计图如下：
（3）90000×＝64800（株），
答：估算该试验田90000株水稻秧苗中达到优良等级的株数有64800株．
一十八．众数（共1小题）
23．（2022•贺州）为了落实“双减”政策，提倡课内高效学习，课外时间归还学生．“鸿志”班为了激发学生学习热情，提高学习成绩，采用分组学习方案，每7人分为一小组．经过半个学期的学习，在模拟测试中，某小组7人的成绩分别为98，94，92，88，95，98，100（单位：分）．
（1）该小组学生成绩的中位数是 95分 ，众数是 98分 ；
（2）若成绩95分（含95分）以上评为优秀，求该小组成员成绩的平均分和优秀率（百分率保留整数）．
【解答】解：（1）将7人的成绩重新排列为88，92，94，95，98，98，100，
所以这组数据的中位数是95分，众数是98分，
故答案为：95分，98分；
（2）该组成员成绩的平均分为×（98+94+92+88+95+98+100）＝95（分），
95分（含95分）以上人数为4人，
所以优秀率为×100%≈57%，
答：该小组成员成绩的平均分为95分，优秀率为57%．
一十九．游戏公平性（共1小题）
24．（2020•贺州）如图，一个可以自由转动的均匀转盘被三等分，分别标有1，2，3三个数字，甲、乙两人玩游戏，规则如下：甲先转动转盘，转盘停止后，指针指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分格线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字为止），然后乙同样转动转盘，再将两人转得的数字相加，如果两个数字和是奇数则甲胜，否则乙胜．请根据游戏规则完成下列问题：
（1）用画树状图或列表法求甲胜的概率；
（2）这个游戏对两人公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意画树状图如下：
共有9种等可能的情况数，两个数字和是奇数的有4种，
则甲胜的概率是；
（2）∵甲胜的概率是，
∴乙胜的概率是，
∵＜，
∴这个游戏对两人不公平．