湖北省鄂州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖北省鄂州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共46页。试卷主要包含了先化简，再求值，先化简÷+，再从﹣2，的关系如图所示，，他们称等内容，欢迎下载使用。
湖北省鄂州市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
2．（2021•鄂州）先化简，再求值：÷+，其中x＝2．
3．（2020•鄂州）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
二．根与系数的关系（共1小题）
4．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
三．函数的图象（共1小题）
5．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　 　km，小明跑步的平均速度为 　 　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

四．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

五．二次函数的应用（共2小题）
7．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
8．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

10．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

七．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


八．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

九．矩形的性质（共1小题）
14．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

一十．直线与圆的位置关系（共1小题）
15．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

一十一．切线的性质（共1小题）
16．（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．

一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

20．（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）

一十六．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝　 　，C等级对应的圆心角度数为 　 　；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级
成绩x/分
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

23．（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：

根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 　 　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 　 　，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．
24．（2020•鄂州）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
（1）频数分布表中m＝　 　，n＝　 　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．


参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2022•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝3．
【解答】解：﹣
＝
＝
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝3﹣1＝2．
2．（2021•鄂州）先化简，再求值：÷+，其中x＝2．
【解答】解：原式＝＝，
当x＝2时，原式＝．
3．（2020•鄂州）先化简÷+，再从﹣2．﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为x的值代入求值．
【解答】解：÷+
＝
＝
＝
＝
＝，
∵x＝0，1，﹣1，2时，原分式无意义，
∴x＝﹣2，
当x＝﹣2时，原式＝＝﹣1．
二．根与系数的关系（共1小题）
4．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．
【解答】解：（1）Δ＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，
∴k≤3．
（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，
∵＝x1x2﹣4，
∴＝x1x2﹣4，
∴，
∴k＝5或k＝﹣3，
由（1）可知：k＝5舍去，
∴k＝﹣3．
三．函数的图象（共1小题）
5．（2022•鄂州）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离y（km）与他所用的时间x（min）的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 　2.5　km，小明跑步的平均速度为 　　km/min；
（2）当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式；
（3）当小明离家2km时，求他离开家所用的时间．

【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为2.5km，小明跑步的平均速度为＝km/min；
故答案为：2.5，；
（2）如图，B（30，2.5），C（45，1.5），

设BC的解析式为：y＝kx+b，
则，
解得：，
∴BC的解析式为：y＝﹣x+4.5，
∴当15≤x≤45时，y关于x的函数表达式为：y＝；
（3）当y＝2时，﹣x+4.5＝2，
∴x＝，
2＝12，
∴当小明离家2km时，他离开家所用的时间为12min或min．
四．反比例函数综合题（共1小题）
6．（2021•鄂州）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现
由5+5＝2＝10；+＝2＝；0.4+0.4＝2＝0.8；+5＞2＝2；0.2+3.2＞2＝1.6；+＞2．
猜想：如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想证明
∵（﹣）2≥0，
∴①当且仅当﹣＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当﹣≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时等号成立）．
猜想运用
对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
变式探究
对于函数y＝+x（x＞3），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
拓展应用
疫情期间，为了解决疑似人员的临时隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间隔离房的面积为S（米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？

【解答】解：
猜想运用：∵x＞0，
∴，
∴y≥2，
∴当x＝时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即x＝1时，函数y的最小值为2．
变式探究：
∵x＞3，
∴x﹣3＞0，
∴y＝≥5，
∴当时，ymin＝5，
此时（x﹣3）2＝1，
∴x1＝4，x2＝2（舍去）
即x＝4时，函数y的最小值为5．
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，由题意得：9x+12y＝63，
即：3x+4y＝21，
∵3x＞0，4y＞0
∴3x+4y≥2，
即：21≥2，
整理得：xy≤，
即：S≤，
∴当3x＝4y时
此时x＝，y＝，
即每间隔离房长为米，宽为米时，S的最大值为．
五．二次函数的应用（共2小题）
7．（2021•鄂州）为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960．
（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？
（每亩种植利润＝每亩销售额﹣每亩种植成本+每亩种植补贴）
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式y＝kx+b（k≠0），
依题意得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝4x+200；
（2）设老张明年种植该作物的总利润为W元，
依题意得：W＝[2160﹣（4x+200）+120]⋅x＝﹣4x2+2080x＝﹣4（x﹣260）2+270400，
∵﹣4＜0，
∴当x＜260时，W随x的增大而增大，
由题意知：x≤240，
∴当x＝240时，W最大，最大值为﹣4（240﹣260）2+270400＝268800（元），
答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268800元．
8．（2020•鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
4
5
6
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（1≤m≤6），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝4，y＝10000和x＝5，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣500x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，3≤x≤12，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣3）y＝（x﹣3）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+13500x﹣36000＝﹣500（x﹣13.5）2+55125，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5时，w随x的增大而增大，
∵3≤x≤12，且x为正整数
∴当x＝12时，w取最大值为：﹣500×（12﹣13.5）2+55125＝54000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣3﹣m）（﹣500x+12000）＝﹣500x2+（13500+500m）x﹣36000﹣12000m，
∴对称轴为x＝﹣＝13.5+0.5m，
∵﹣500＜0，
∴当x＜13.5+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于15元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
又∵x为整数，
∴对称轴在x＝14.5的右侧时，当x≤15（x为整数）时，w都随x的增大而增大，
∴14.5＜13.5+0.5m，解得m＞2，
∵1≤m≤6，
∴2＜m≤6．
六．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH＝2OF＝．
例如：抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF＝MN，FH＝2OH＝1．
【基础训练】
（1）请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　（0，）　，　y＝﹣　．
【技能训练】
（2）如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；
【能力提升】
（3）如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；
【拓展升华】
（4）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”数，把点C称为线段AB的黄金分割点．
如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值．

【解答】解：（1）∵a＝2，
∴＝，
故答案为：（0，），y＝﹣；
（2）∵a＝，
∴﹣＝﹣2，
∴准线为：y＝﹣2，
∴点P的纵坐标为：4，
∴＝4，
∴x＝±4，
∴P（4，2）或（﹣4，2）；
（3）如图，


作AG⊥l于G，作BK⊥l于K，
∴AG＝AF＝4，BK＝BF，FH＝，
∵BK∥FH∥AG，
∴△CBK∽△CFH，△CBK∽△CAG，
∴，，
∴＝＝，，
∴a＝；
（4）设点M（m，m2），
∵＝，
∴＝2，
∴＝2，
∴m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴M（﹣2，1），
∵E为线段HF的黄金分割点，
∴EH＝＝﹣1或EH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
当EH＝﹣1时，S△HME＝＝＝﹣1，
当EH＝3﹣时，S△HME＝3﹣，
∴△HME的面积是﹣1或3﹣．
10．（2021•鄂州）如图，直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，点P为线段AB的中点，点Q是线段OA上一动点（不与点O、A重合）．
（1）请直接写出点A、点B、点P的坐标；
（2）连接PQ，在第一象限内将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，点O的对应点为点E．若∠OQE＝90°，求线段AQ的长；
（3）在（2）的条件下，设抛物线y＝ax2﹣2a2x+a3+a+1（a≠0）的顶点为点C．
①若点C在△PQE内部（不包括边），求a的取值范围；
②在平面直角坐标系内是否存在点C，使|CQ﹣CE|最大？若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+6与x轴交于点B，与y轴交于点A，
∴点A（0，6），点B（4，0），
∵点P是线段AB中点，
∴点P（2，3）；
（2）过点P作PF⊥OA于F，

∵将△OPQ沿PQ翻折得到△EPQ，∠OQE＝90°，
∴∠OQP＝∠OQE＝45°，OQ＝QE，
∴QF＝PF，
∵点P（2，3），
∴QF＝PF＝2，OF＝3，
∴OQ＝5，
∵点A（0，6），
∴AO＝6，
∴AQ＝6﹣5＝1，
即AQ的长为1；
（3）①y＝a（x2﹣2ax+a2）+a+1＝a（x﹣a）2+a+1，

∴顶点C的坐标为（a，a+1），
∴点C是直线y＝x+1（x≠0）上一点，
∵∠OQE＝90°，OQ＝5，
∴当y＝5时，x＝4，
又∵点P（2，3）在直线y＝x+1上，
∴当点C在△PQE内部（不含边）时，a的取值范围是2＜a＜4；
②存在点C使|CQ﹣CE|最大，
理由如下：∵OQ＝QE＝5，∠OQE＝90°，
∴点E（5，5），
如图3，作点E关于直线y＝x+1的对称点E'（4，6），连接QE'交直线y＝x+1于点C，此时|CQ﹣CE|最大，

设直线QC的解析式为y＝kx+5，
∴6＝4k+5，
∴k＝，
∴直线QC的解析式为y＝x+5，
联立方程组可得，
解得：，
∴点C坐标为．
11．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y＝x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）针对于直线y＝x﹣2，
令x＝0，则y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
令y＝0，则0＝x﹣2，
∴x＝4，
∴B（4，0），
将点B，C坐标代入抛物线y＝x2+bx+c中，得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；

（2）①∵PM⊥x轴，M（m，0），
∴P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
∴Ⅰ、当点D是PM的中点时，（0+m2﹣m﹣2）＝m﹣2，
∴m＝1或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅱ、当点P是DM的中点时，（0+m﹣2）＝m2﹣m﹣2，
∴m＝﹣或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
Ⅲ、当点M是DP的中点时，（m2﹣m﹣2+m﹣2）＝0，
∴m＝﹣2或m＝4（此时点D，M，P三点重合，舍去），
即满足条件的m的值为﹣或1或﹣2；

②存在，
由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2，
令y＝0，则0＝x2﹣x﹣2，
∴x＝﹣1或x＝4，
∴点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵B（4，0），C（0，﹣2），
∴OB＝4，OC＝2，
∴，
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠OAC＝∠OCB，∠ACO＝∠OBC，
∵△PNC与△AOC相似，
∴Ⅰ、当△PNC∽△AOC，
∴∠PCN＝∠ACO，
∴∠PCN＝∠OBC，
∴CP∥OB，
∴点P的纵坐标为﹣2，
∴m2﹣m﹣2＝﹣2，
∴m＝0（舍）或m＝3，
∴P（3，﹣2）；
Ⅱ、当△PNC∽△COA时，
∴∠PCN＝∠CAO，
∴∠OCB＝∠PCD，
∵PD∥OC，
∴∠OCB＝∠CDP，
∴∠PCD＝∠PDC，
∴PC＝PD，
由①知，P（m，m2﹣m﹣2），D（m，m﹣2），
∵C（0，﹣2），
∴PD＝2m﹣m2，PC＝＝，
∴2m﹣m2＝，
∴m＝或m＝0（舍），
∴P（，﹣）．
即满足条件的点P的坐标为（3，﹣2）或（，﹣）．
七．三角形综合题（共1小题）
12．（2022•鄂州）如图1，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA＝6，斜边OB＝10，点P为线段AB上一动点．
（1）请直接写出点B的坐标；
（2）若动点P满足∠POB＝45°，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若点E为线段OB的中点，连接PE，以PE为折痕，在平面内将△APE折叠，点A的对应点为A′，当PA′⊥OB时，求此时点P的坐标；
（4）如图3，若F为线段AO上一点，且AF＝2，连接FP，将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG，连接OG，当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积．


【解答】解：（1）如图1中，在Rt△AOB中，∠OAB＝90°，OA＝6，OB＝10，
∴AB＝＝＝8，
∴B（8，6）；

（2）如图1中，过点P作PH⊥OB于点H．

∵∠POH＝45°，
∴PH＝OH，
设PH＝OH＝x，
∵∠B＝∠B，∠BHP＝∠BAO＝90°，
∴△BHP∽△BAO，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴BH＝x，PB＝x，
∴x+x＝10，
∴x＝，
∴PB＝×＝，
∴PA＝AB﹣PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（3）如图2中，设PA′交OB于点T．

∵∠OAB＝90°，OE＝EB，
∴EA＝EO＝EB＝5，
∴∠EAB＝∠B，
由翻折的性质可知∠EAB＝∠A′，
∴∠A′＝∠B，
∵A′P⊥OB，
∴∠ETA′＝∠BAO＝90°，
∴△A′TE∽△BAO，
∴＝，
∴＝，
∴ET＝3，BT＝5﹣3＝2，
∵cosB＝＝，
∴＝，
∴PB＝，
∴AP＝AB＝PB＝8﹣＝，
∴P（，6）；

（4）如图3中，以AF为边向右作等边△AFK，连接KG，延长KG交x轴于点R，过点K作KJ⊥AF于点J．KQ⊥OR于点Q，过点O作OW⊥KR于W．

∵∠AFK＝∠PFG＝60°，
∴∠AFP＝∠KFG，
∵FA＝FK，FP＝FG，
∴△AFP≌△KFG（SAS），
∴∠PAF＝∠GKF＝90°，
∴点G在直线KR上运动，当点G与W重合时，OG的值最小，
∵KJ⊥OA，KQ⊥OR，
∴∠KJO＝∠JOQ＝∠OQK＝90°，
∴四边形JOQK是矩形，
∴OJ＝KQ，JK＝OQ，
∵KA＝KF，KJ⊥AF，
∴AJ＝JF＝1，KJ＝，
∴KQ＝OJ＝5，
∵∠KRQ＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°，
∴QR＝KQ＝，
∴OR＝+＝，
∴OW＝OR•sin60°＝4，
∴OG的最小值为4，
∵OF＝OW＝4，∠FOW＝60°，
∴△FOW是等边三角形，
∴FW＝4，即FG＝4，
∴线段FP扫过的面积＝＝．
八．平行四边形的性质（共1小题）
13．（2020•鄂州）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．

【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．

九．矩形的性质（共1小题）
14．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．
（1）求证：DF＝CF；
（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，
∴OC＝OD，
∴∠ACD＝∠BDC，
∵∠CDF＝∠BDC，∠DCF＝∠ACD，
∴∠CDF＝∠DCF，
∴DF＝CF；
（2）解：由（1）可知，DF＝CF，
∵∠CDF＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴CD＝DF＝6，
∵∠CDF＝∠BDC＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝6，
∴BD＝2OD＝12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴BC＝＝＝6，
∴S矩形ABCD＝BC•CD＝6×6＝36．
一十．直线与圆的位置关系（共1小题）
15．（2022•鄂州）如图，△ABC内接于⊙O，P是⊙O的直径AB延长线上一点，∠PCB＝∠OAC，过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D．
（1）试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，tanA＝，求△OCD的面积．

【解答】解：（1）PC是⊙O的切线，理由如下：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠OBC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠PCB＝∠OAC，
∴∠PCB+∠OCB＝90°，
∴∠PCO＝90°，即OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）在Rt△ACB中，tanA＝，
∵tanA＝，
∴＝，
∵∠PCB＝∠OAC，∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴＝＝＝，
∵PC＝4，
∴PB＝2，PA＝8，
∴AB＝PA﹣PB＝8﹣2＝6，
∴OC＝OB＝OA＝3，
∵BC∥OD，
∴，即，
∴CD＝6，
∵OC⊥CD，
∴＝×3×6＝9．
一十一．切线的性质（共1小题）
16．（2021•鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O与AC边相切于点D，交BC于点E．
（1）求证：AB＝AD；
（2）连接DE，若tan∠EDC＝，DE＝2，求线段EC的长．

【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥OB，
∵AB经过⊙O半径的外端点B，
∴AB切⊙O于点B，
又⊙O与AC边相切于点D，
∴AB＝AD．
（2）解：如图，

连接BD，
∵BE为⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴∠CDE+∠ADB＝90°，
又∵AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴∠CDE+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠EBD＝∠EDC，
又∵，
∴，
即，
∵DE＝2，
∴BD＝4，，
又∵∠C＝∠C，∠EBD＝∠EDC，
∴△CDE∽△CBD，
∴，
设CE＝x，则DC＝2x，
∴，
∴x1＝0（舍去），，
即线段EC的长为．
一十二．圆的综合题（共1小题）
17．（2020•鄂州）如图所示：⊙O与△ABC的边BC相切于点C，与AC、AB分别交于点D、E，DE∥OB．DC是⊙O的直径．连接OE，过C作CG∥OE交⊙O于G，连接DG、EC，DG与EC交于点F．
（1）求证：直线AB与⊙O相切；
（2）求证：AE•ED＝AC•EF；
（3）若EF＝3，tan∠ACE＝时，过A作AN∥CE交⊙O于M、N两点（M在线段AN上），求AN的长．

【解答】（1）证明：∵CD是直径，
∴∠DEC＝90°，
∴DE⊥EC，
∵DE∥OB，
∴OB⊥EC，
∴OB垂直平分线段EC，
∴BE＝BC，OE＝OC，
∵OB＝OB，
∴△OBE≌△OBC（SSS），
∴∠OEB＝∠OCB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OC⊥BC，
∴∠OCB＝90°，
∴∠OEB＝90°，
∴OE⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．

（2）证明：连接EG．
∵CD是直径，
∴∠DGC＝90°，
∴CG⊥DG，
∵CG∥OE，
∴OE⊥DG，
∴＝，
∴DE＝EG，
∵AE⊥OE，DG⊥OE，
∴AE∥DG，
∴∠EAC＝∠GDC，
∵∠GDC＝∠GEF，
∴∠GEF＝∠EAC，
∵∠EGF＝∠ECA，
∴△AEC∽△EFG，
∴＝，
∵EG＝DE，
∴AE•DE＝AC•EF．

（3）解：连接ON，延长BO交MN于I．
∵DC是⊙O的直径，
∴∠DEC＝90°，
∵tan∠ACE＝，∠ACE＝∠ECG＝∠EDF，
∴tan∠EDF＝，
∵EF＝3，
∴DE＝6，DF＝＝＝3，
∴EC＝12，CD＝＝6，
∴EO＝DO＝CO＝3，
由（2）可知＝＝，
∴AC＝2AE，
在Rt△AEO中，AO2＝AE2+EO2，
∴（2AE﹣3）2＝AE2+（3）2，
解得AE＝4，
∴AC＝8，AO＝5，
∵OI⊥MN，
∵AN∥CE，
∴∠CAN＝∠ACE，
在Rt△AIO中，AO2＝AI2+IO2，
即（5）2＝（2OI）2+OI2，
∴OI＝5，AI＝10，
在Rt△OIN中，ON2＝IN2+IO2，即（3）2＝IN2+52，
∴IN＝2，
∴AN＝AI+IN＝10+2

一十三．相似三角形的判定与性质（共1小题）
18．（2021•鄂州）如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且∠ABE＝∠CDF．
（1）探究四边形BEDF的形状，并说明理由；
（2）连接AC，分别交BE、DF于点G、H，连接BD交AC于点O．若＝，AE＝4，求BC的长．

【解答】解：（1）四边形BEDF为平行四边形，理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
∵∠ABE＝∠CDF，
∴∠EBF＝∠EDF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EDF＝∠DFC＝∠EBF，
∴BE∥DF，
∵AD∥BC，
∴四边形BEDF为平行四边形；
（2）设AG＝2a，∵，
∴OG＝3a，AO＝5a，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO＝5a，AC＝10a，CG＝8a，
∵AD∥BC，
∴△AGE∽△CGB，
∴，
∵AE＝4，
∴BC＝16．
一十四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
19．（2022•鄂州）亚洲第一、中国唯一的航空货运枢纽——鄂州花湖机场，于2022年3月19日完成首次全货运试飞，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看见飞机A的仰角为30°．若斜坡CF的坡比＝1：3，铅垂高度DG＝30米（点E、G、C、B在同一水平线上）．求：
（1）两位市民甲、乙之间的距离CD；
（2）此时飞机的高度AB．（结果保留根号）

【解答】解：（1）∵斜坡CF的坡比＝1：3，DG＝30米，
∴＝，
∴GC＝3DG＝90（米），
在Rt△DGC中，DC＝＝＝30（米），
∴两位市民甲、乙之间的距离CD为30米；
（2）过点D作DH⊥AB，垂足为H，

则DG＝BH＝30米，DH＝BG，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC•tan45°＝x（米），
∴AH＝AB﹣BH＝（x﹣30）米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝60+90，
经检验：x＝60+90是原方程的根，
∴AB＝（60+90）米，
∴此时飞机的高度AB为（60+90）米．

20．（2020•鄂州）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中tanα＝2，MC＝50米．
（1）求无人机的飞行高度AM；（结果保留根号）
（2）求河流的宽度CD．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：过点B作BN⊥MD，垂足为N，由题意可知，
∠ACM＝α，∠BDM＝30°，AB＝MN＝50米，
（1）在Rt△ACM中，tan∠ACM＝tanα＝2，MC＝50米，
∴AM＝2MC＝100＝BN，
答：无人机的飞行高度AM为100米；
（2）在Rt△BND中，
∵tan∠BDN＝，即：tan30°＝，
∴DN＝300米，
∴DM＝DN+MN＝300+50＝350（米），
∴CD＝DM﹣MC＝350﹣50≈264（米），
答：河流的宽度CD约为264米．

一十五．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
21．（2021•鄂州）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐．一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图．当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一信号发射塔P．他由A地沿正东方向骑行4km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东15°方向，然后他由B地沿北偏东75°方向骑行12km到达C地．
（1）求A地与信号发射塔P之间的距离；
（2）求C地与信号发射塔P之间的距离．（计算结果保留根号）

【解答】解：（1）依题意知：∠PAB＝45°，∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
过点B作BD⊥AP于D点，

∵∠DAB＝45°，，
∴AD＝BD＝4，
∵∠ABD＝∠GBD＝45°，∠GBP＝15°，
∴∠PBD＝60°，
∵BD＝4，
∴，
∴PA＝（4+4）（km）；
（2）∵∠PBD＝60°，BD＝4，
∴PB＝8，
过点P作PE⊥BC于E，
∵∠PBG＝15°，∠GBC＝75°，
∴∠PBE＝60°，
∵PB＝8，
∴BE＝4，，
∵BC＝12，
∴CE＝8，
∴PC＝＝4（km）．
一十六．列表法与树状图法（共3小题）
22．（2022•鄂州）为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校举行了“青年大学习，强国有我”知识竞赛活动．李老师赛后随机抽取了部分学生的成绩（单位：分，均为整数），按成绩划分为A、B、C、D四个等级，并制作了如下统计图表（部分信息未给出）：
（1）表中a＝　20　，C等级对应的圆心角度数为 　108°　；
（2）若全校共有600名学生参加了此次竞赛，成绩A等级的为优秀，则估计该校成绩为A等级的学生共有多少人？
（3）若A等级15名学生中有3人满分，设这3名学生分别为T1，T2，T3，从其中随机抽取2人参加市级决赛，请用列表或树状图的方法求出恰好抽到T1，T2的概率．
等级
成绩x/分
人数
A
90≤x≤100
15
B
80≤x＜90
a
C
70≤x＜80
18
D
x＜70
7

【解答】解：（1）抽取的学生人数为：15÷＝60（人），
∴a＝60﹣15﹣18﹣7＝20，C等级对应的圆心角度数为：360°×＝108°，
故答案为：20，108°；
（2）600×＝150（人），
答：估计该校成绩为A等级的学生共有150人；
（3）画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中恰好抽到T1，T2的结果有2种，
∴恰好抽到T1，T2的概率为＝．
23．（2021•鄂州）为了引导青少年学党史、颂党恩、跟党走，某中学举行了“献礼建党百年”党史知识竞赛活动．胡老师从全校学生的答卷中随机地抽取了部分学生的答卷进行了统计分析（卷面满分100分，且得分x均为不小于60的整数），并将竞赛成绩划分为四个等级：基本合格（60≤x＜70）、合格（70≤x＜80）、良好（80≤x＜90）、优秀（90≤x≤100），制作了如下统计图（部分信息未给出）：

根据图中提供的信息解决下列问题：
（1）胡老师共抽取了 　40　名学生的成绩进行统计分析，扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为 　36°　，请补全条形统计图．
（2）现从“优秀”等级的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加全市党史知识竞赛活动，请用画树形图的方法求甲学生被选到的概率．
【解答】解：（1）胡老师共抽取的学生人数为：20÷50%＝40（名），
则扇形统计图中“基本合格”等级对应的扇形圆心角度数为：360°×＝36°，
“合格”的学生人数为：40﹣4﹣20﹣4＝12（名），
故答案为：40，36°，
补全条形统计图如下：

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲学生被选到的结果有6种，
∴甲学生被选到的概率为＝．
24．（2020•鄂州）某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包括线上听课及完成作业时间）．如图是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题：
频数分布表
学习时间分组
频数
频率
A组（0≤x＜1）
9
m
B组（1≤x＜2）
18
0.3
C组（2≤x＜3）
18
0.3
D组（3≤x＜4）
n
0.2
E组（4≤x＜5）
3
0.05
（1）频数分布表中m＝　0.15　，n＝　12　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若该校有学生1000名，现要对每天学习时间低于2小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校需要提醒的学生有多少名？
（3）已知调查的E组学生中有2名男生1名女生，老师随机从中选取2名学生进一步了解学生居家学习情况．请用树状图或列表求所选2名学生恰为一男生一女生的概率．

【解答】解：（1）根据频数分布表可知：
m＝1﹣0.3﹣0.3﹣0.2﹣0.05＝0.15，
∵18÷0.3＝60，
∴n＝60﹣9﹣18﹣18﹣3＝12，
补充完整的频数分布直方图如下：

故答案为：0.15，12；
（2）根据题意可知：
1000×（0.15+0.3）＝450（名），
答：估计全校需要提醒的学生有450名；
（3）设2名男生用A，B表示，1名女生用C表示，
根据题意，画出树状图如下：

根据树状图可知：等可能的结果共有6种，符合条件的有4种，
所以所选2名学生恰为一男生一女生的概率为：＝．