湖北省齐齐哈尔市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题

这是一份湖北省齐齐哈尔市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题，共45页。试卷主要包含了0+4cs45°﹣|1﹣|；，0+|﹣|，解方程，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
湖北省齐齐哈尔市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-03解答题
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
2．（2020•齐齐哈尔）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|
（2）因式分解：3a2﹣48
二．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
3．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
4．（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
5．（2020•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
四．一次函数的应用（共3小题）
6．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　 　米，乙的步行速度是 　 　米/分；
（2）图中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

7．（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 　 　米/分，点M的坐标为 　 　；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　 　分钟时两人距C地的距离相等．

8．（2020•齐齐哈尔）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是　 　km/h，乙车行驶　 　h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　 　km；出发　 　h时，甲、乙两车第一次相距40km．

五．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　 　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．


10．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　 　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

11．（2020•齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　 　，点M的坐标为　 　，cos∠ABO＝　 　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　 　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

六．四边形综合题（共3小题）
12．（2022•齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　 　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　 　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　 　．



13．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　 　°，写出图中两个等腰三角形：　 　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　 　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　 　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

14．（2020•齐齐哈尔）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM　 　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　 　；进一步计算出∠MNE＝　 　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　 　°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值　 　．

七．切线的性质（共1小题）
15．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．

八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

17．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

九．特殊角的三角函数值（共1小题）
18．（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；
（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　 　，n＝　 　，p＝　 　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　 　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

一十一．扇形统计图（共1小题）
20．（2020•齐齐哈尔）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的教职工共有　 　名；
（2）表中a＝　 　，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　 　%；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为　 　°；
（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

志愿服务时间（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20

一十二．条形统计图（共1小题）
21．（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是 　 　；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝　 　，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 　 　°；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？

参考答案与试题解析
一．提公因式法与公式法的综合运用（共2小题）
1．（2021•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣）﹣2+（π﹣3.14）0+4cos45°﹣|1﹣|；
（2）因式分解：﹣3xy3+12xy．
【解答】解：（1）原式＝4+1+4×﹣（﹣1）
＝4+1+2﹣+1
＝6+；
（2）原式＝﹣3xy（y2﹣4）
＝﹣3xy（y+2）（y﹣2）．
2．（2020•齐齐哈尔）（1）计算：sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|
（2）因式分解：3a2﹣48
【解答】解：（1）sin30°+﹣（3﹣）0+|﹣|
＝+4﹣1+
＝4；

（2）3a2﹣48
＝3（a2﹣16）
＝3（a+4）（a﹣4）．
二．解一元二次方程-直接开平方法（共1小题）
3．（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2．
【解答】解：方程：（2x+3）2＝（3x+2）2，
开方得：2x+3＝3x+2或2x+3＝﹣3x﹣2，
解得：x1＝1，x2＝﹣1．
三．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）
4．（2021•齐齐哈尔）解方程：x（x﹣7）＝8（7﹣x）．
【解答】解：x（x﹣7）＝8（7﹣x），
x（x﹣7）+8（x﹣7）＝0，
（x﹣7）（x+8）＝0，
x1＝7，x2＝﹣8．
5．（2020•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝0
【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
四．一次函数的应用（共3小题）
6．（2022•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上有A、B两地，甲、乙二人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）A、B两地之间的距离是 　1200　米，乙的步行速度是 　60　米/分；
（2）图中a＝　900　，b＝　800　，c＝　15　；
（3）求线段MN的函数解析式；
（4）在乙运动的过程中，何时两人相距80米？（直接写出答案即可）

【解答】解：（1）由图象知：当x＝0时，y＝1200，
∴A、B两地之间的距离是1200米；
由图象知：乙经过20分钟到达A，
∴乙的速度为＝60（米/分）．
故答案为：1200；60；
（2）由图象知：当x＝时，y＝0，
∴甲乙二人的速度和为：1200÷＝140（米/分），
设甲的速度为x米/分，则乙的速度为（140﹣x）米/分，
∴140﹣x＝＝60，
∴x＝80．
∴甲的速度为80（米/分），
∵点M的实际意义是经过c分钟甲到达B地，
∴c＝1200÷80＝15（分钟），
∴a＝60×15＝900（米）．
∵点M的实际意义是经过20分钟乙到达A地，
∴b＝900﹣（80﹣60）×5＝800（米）；
故答案为：900；800；15；
（3）由题意得：M（15，900），N（20，800），
设直线MN的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：，
∴直线MN的解析式为y＝﹣20x+1200；
（4）在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．理由：
①相遇前两人相距80米时，二人的所走路程和为1200﹣80＝1120（米），
∴1120÷140＝8（分钟）；
②相遇后两人相距80米时，二人的所走路程和为1200+80＝1280（米），
∴1280÷140＝（分钟）．
综上，在乙运动的过程中，二人出发后第8分钟和第分钟两人相距80米．
7．（2021•齐齐哈尔）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车匀速去B地，途经C地时因事停留1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行匀速从B地至A地．甲、乙两人距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲的骑行速度为 　240　米/分，点M的坐标为 　（6，1200）　；
（2）求甲返回时距A地的距离y（米）与时间x（分）之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回到A地之前，　4或6或8　分钟时两人距C地的距离相等．

【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：（米/分），
240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
因为甲往返总时间为11分，中间休息一分钟，所以M的横坐标为6，
则点M的坐标为（6，1200），
故答案为：240，（6，1200）；
（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），
∴，
解得，
∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；
即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
乙的速度：1200÷20＝60（米/分），

如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x＝，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
x＝4，
此种情况符合题意；
③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，
x＝8，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．
故答案为：4或6或8．
8．（2020•齐齐哈尔）团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出发，沿同一路线赶往绥芬河．齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km，在行驶过程中乙车速度始终保持80km/h，甲车先以一定速度行驶了500km，用时5h，然后再以乙车的速度行驶，直至到达绥芬河（加油、休息时间忽略不计）．甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）甲车改变速度前的速度是　100　km/h，乙车行驶　10　h到达绥芬河；
（2）求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式，不用写出自变量x的取值范围；
（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有　100　km；出发　2　h时，甲、乙两车第一次相距40km．

【解答】解：（1）甲车改变速度前的速度为：500÷5＝100（km/h），乙车达绥芬河是时间为：800÷80＝10（h），
故答案为：100；10；

（2）∵乙车速度为80km/h，
∴甲车到达绥芬河的时间为：，
甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将（5，500）和（，800）代入得：，
解得，
∴y＝80x+100，
答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数解析式为y＝80x+100（）；

（3）甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800﹣80×＝100（km），
40÷（100﹣80）＝2（h），
即出发2h时，甲、乙两车第一次相距40km．
故答案为：100；2．
五．二次函数综合题（共3小题）
9．（2022•齐齐哈尔）综合与探究
如图，某一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（﹣1，0），B（4，5）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为 　（1，2）　；
（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．


【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，5）代入y＝x2+mx+n得，
，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设直线AB的函数解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴直线AB的解析式为y＝x+1，
∵AC+BC≥AB，
∴当点A、B、C三点共线时，AC+BC的最小值为AB的长，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为x＝1，
∴当x＝1时，y＝2，
∴C（1，2），
故答案为：（1，2）；
（3）设D（a，a2﹣2a﹣3），则E（a，a+1），

∴DE＝（a+1）﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a+4（﹣1＜a＜4），
∴当a＝时，DE的最大值为；
（4）当CF为对角线时，如图，

此时四边形CMFN是正方形，
∴N（1，1），
当CF为边时，若点F在C的上方，

此时∠MFC＝45°，
∴MF∥x轴，
∵△MCF是等腰直角三角形，
∴MF＝CN＝2，
∴N（1，4），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFNM是正方形，

同理可得N（﹣1，2），
当点F在点C的下方时，如图，四边形CFMN是正方形，

同理可得N（，），
综上：N（1，1）或（1，4）或（﹣1，2）或（，）．
10．（2021•齐齐哈尔）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上C、D两点之间的距离是 　2　；
（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；
（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

【解答】解：（1）∵OA＝1，
∴A（﹣1，0），
又∵对称轴为x＝2，
∴B（5，0），
将A，B代入解析式得：
，
解得，
∴，自变量x为全体实数；
（2）由（1）得：C（0，），D（2，），
∴CD＝，
故答案为2；
（3）∵B（5，0），C（0，），
∴直线BC的解析式为：，
设E（x，），且0＜x＜5，
作EF∥y轴交BC于点F，
则F（x，），
∴EF＝﹣（）＝，
∴，
当x＝时，S△BCE有最大值为；

（4）设P（2，y），Q（m，n），
由（1）知B（5，0），C（0，），
若BC为矩形的对角线，
由中点坐标公式得：，
解得：，
又∵∠BPC＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
即：，
解得y＝4或y＝﹣，
∴n＝或n＝4，
∴Q（3，）或Q（3，4），
若BP为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得，
又∵∠BCP＝90°，
BC2+CP2＝BP2，
即：，
解得y＝，
∴Q（7，4），
若BQ为矩形的对角线，
由中点坐标公式得，
解得：，
又∵∠BCQ＝90°，
∴BC2+CQ2＝BQ2，
即：，
解得n＝，
∴Q（﹣3，﹣），
综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．
11．（2020•齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
设直线AB的解析式为y＝kx+4，
将点A坐标代入得，﹣4k+4＝0，
∴k＝1．
∴直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO＝；
对于y＝x2+2x，函数的对称轴为直线x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP＝AC或AC，
则，即，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；；（﹣2，2）或（0，4）；

（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则，解得，
故直线A′M的表达式为：y＝x﹣，
令x＝0，则y＝﹣，故点Q（0，﹣）；

（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）向右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
六．四边形综合题（共3小题）
12．（2022•齐齐哈尔）综合与实践
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．
转一转：如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．
当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：
（1）图②中，AB＝BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）图③中，AB＝2，BC＝3，则＝　　；
（3）当AB＝m，BC＝n时，＝　　．

剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC（如图④）．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为 　　．



【解答】解：转一转：（1）结论：GH＝CE．
理由：如图②中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CBE＝90°，
∵AB＝CB，BF＝AB，BE＝BC，
∴BF＝BE，
在△ABF和△CBE中，
，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴AF＝CE，
∵DG＝GA，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE；

（2）如图③中，连接AF．

∵BF＝AB，BE＝BC，
∴＝，
∴＝，
∵∠ABF＝∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

（3）当AB＝m，BC＝n时，同法可证△ABF∽△CBE，
∴＝＝，
∴AF＝CE，
∵AG＝DG，DH＝HF，
∴GH＝AF＝CE，
∴＝．
故答案为：．

剪一剪、折一折：如图4中，过点M作MT⊥AB于点T，MR⊥CB于点R．

∵PM平分∠APN，
∴∠MPT＝∠MPN，
由翻折的性质可知MP＝MC，∠C＝∠MPN，
∴∠MPT＝∠C，
∵∠MTP＝∠MRC＝90°，
∴△PTM≌△CRM（AAS），
∴MT＝MR，
∴BM平分∠ABC，
∴∠MBT＝∠MBR＝45°，
∴TB＝TM，BR＝RM，
设TM＝TB＝x，
∵•AB•BC＝•AB•MT+•BC•MR，
∴×2×3＝•x•（2+3），
∴x＝，
∴BR＝MR＝，CR＝BC﹣BR＝3﹣＝，
∴CM＝＝＝．
解法二：证明∠AMB＝∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△AMP∽△ABC，
∴＝，
∵MC＝PM，
∴＝＝，
∴CM＝AC＝．
故答案为：．
13．（2021•齐齐哈尔）综合与实践
数学实践活动，是一种非常有效的学习方式，通过活动可以激发我们的学习兴趣，提高动手动脑能力，拓展思维空间，丰富数学体验，让我们一起动手来折一折、转一转、剪一剪，体会活动带给我们的乐趣．
折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
（1）∠EAF＝　45　°，写出图中两个等腰三角形：　△AEF，△CEF，△ABC，△ADC　（不需要添加字母）；
转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．
（2）线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 　PQ＝BP+DQ　；
（3）连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则＝　　；
剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．
（4）求证：BM2+DN2＝MN2．

【解答】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，
∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，
∴∠EAF＝（∠BAC+∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，
∴CE＝CF，
∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，
故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC．

（2）解：结论：PQ＝BP+DQ．
理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．

∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），
∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，
∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，
∴△PAT≌△PAQ（SAS），
∴PQ＝PT，
∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，
∴PQ＝BP+DQ．
故答案为：PQ＝BP+DQ．

（3）解：如图3中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，AC＝AB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，
∴∠BAM＝∠CAQ，
∴△CAQ∽△BAM，
∴＝＝，
故答案为：．

（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．

∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，
∴∠DAN+∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，
∴∠BAM+∠BAR＝45°，
∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，
∴△AMR≌△AMN（SAS），
∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，
∴∠RBM＝90°，
∴RM2＝BR2+BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，
∴BM2+DN2＝MN2．
14．（2020•齐齐哈尔）综合与实践
在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动﹣﹣折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．
实践发现：
对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
（1）折痕BM　是　（填“是”或“不是”）线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN是什么特殊三角形？答：　等边三角形　；进一步计算出∠MNE＝　60　°；
（2）继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，把纸片展平，如图②，则∠GBN＝　15　°；
拓展延伸：
（3）如图③，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交BC边于点T，交AD边于点S，把纸片展平，连接AA'交ST于点O，连接AT．
求证：四边形SATA'是菱形．
解决问题：
（4）如图④，矩形纸片ABCD中，AB＝10，AD＝26，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，并且折痕交AB边于点T，交AD边于点S，把纸片展平．同学们小组讨论后，得出线段AT的长度有4，5，7，9．
请写出以上4个数值中你认为正确的数值　7，9　．

【解答】解：（1）如图①∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，
∴EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，AE＝BE，∠NEA＝90°，
∵再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，
∴BM垂直平分AN，∠BAM＝∠BNM＝90°，
∴AB＝BN，
∴AB＝AN＝BN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ENB＝30°，
∴∠MNE＝60°，
故答案为：是，等边三角形，60；
（2）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，
∴∠ABG＝∠HBG＝45°，
∴∠GBN＝∠ABN﹣∠ABG＝15°，
故答案为：15°；
（3）∵折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边上的点A'处，
∴ST垂直平分AA'，
∴AO＝A'O，AA'⊥ST，
∵AD∥BC，
∴∠SAO＝∠TA'O，∠ASO＝∠A'TO，
∴△ASO≌△A'TO（AAS）
∴SO＝TO，
∴四边形ASA'T是平行四边形，
又∵AA'⊥ST，
∴四边形SATA'是菱形；
（4）∵折叠纸片，使点A落在BC边上的点A'处，
∴AT＝A'T，
在Rt△A'TB中，A'T＞BT，
∴AT＞10﹣AT，
∴AT＞5，
∵点T在AB上，
∴当点T与点B重合时，AT有最大值为10，
∴5＜AT≤10，
∴正确的数值为7，9，
故答案为：7，9．
七．切线的性质（共1小题）
15．（2021•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．
（1）求证：AC平分∠EAB；
（2）若AE＝12，tan∠CAB＝，求OB的长．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AE⊥DE，
∴OC∥AE，
∴∠EAC＝∠OCA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠EAC＝∠OAC，即AC平分∠EAB；
（2）解：连接BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵tan∠CAB＝，∠EAC＝∠OAC，
∴tan∠EAC＝，即＝，
∴＝，
解得：EC＝4，
在Rt△AEC中，AC＝＝＝8，
∵tan∠CAB＝＝，
∴BC＝8，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝16，
∴OB＝8．

八．切线的判定与性质（共2小题）
16．（2022•齐齐哈尔）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF＝CD，连接BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝45°，AD＝4，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：如图1，连接BD，

∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵AB∥CF，
∴∠ABC＝∠FCB，
∴∠ACB＝∠FCB，
在△DCB和△FCB中，
，
∴△DCB≌△FCB（SAS），
∴∠F＝∠CDB＝90°，
∵AB∥CF，
∴∠ABF+∠F＝180°，
∴∠ABF＝90°，即AB⊥BF，
∵AB为直径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，

∵AB是直径，
∴AE⊥BC，AD⊥BD，
∵∠BAC＝45°，AD＝4，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴BD＝AD＝4，AB＝＝＝4，
∴OA＝OB＝2，
∴OE是△ADB的中位线，
∴OE∥AD，
∴∠BOE＝∠BAC＝45°，OE⊥BD，，
∴BM＝BD＝×4＝2，
∴S阴影部分＝S扇形BOE﹣S△BOE
＝﹣××2
＝．
17．（2020•齐齐哈尔）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．

九．特殊角的三角函数值（共1小题）
18．（2022•齐齐哈尔）（1）计算：（﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°；
（2）因式分解：x3y﹣6x2y+9xy．
【解答】解：原式＝1+（2﹣）
＝1+9+
＝12；
（2）原式＝xy（x2﹣6x+9）
＝xy（x﹣3）2．
一十．频数（率）分布直方图（共1小题）
19．（2022•齐齐哈尔）“双减”政策实施后，某校为了解本校学生每天课后进行体育锻炼的时间情况，在5月份某天随机抽取了若干名学生进行调查，现将调查结果绘制成两幅尚不完整的统计图表．请根据统计图表提供的信息，回答下列问题：
（1）表中m＝　80　，n＝　30　，p＝　20%　；
（2）将条形图补充完整；
（3）若制成扇形图，则C组所对应的圆心角为 　72　°；
（4）若该校学生有2000人，请根据以上调查结果估计：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有多少人？
组别
锻炼时间（分钟）
频数（人）
百分比
A
0≤x≤30
50
25%
B
30＜x≤60
m
40%
C
60＜x≤90
40
p
D
x＞90
n
15%

【解答】解：（1）由题意可知，样本容量为50÷25%＝200，
故m＝200×40%＝80，n＝200×15%＝30，p＝，
故答案为：80；30；20%；
（2）将条形图补充完整如下：

（3）C组所对应的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（4）2000×（20%+15%）＝700（人），
答：该校每天课后进行体育锻炼的时间超过60分钟的学生约有700人．
一十一．扇形统计图（共1小题）
20．（2020•齐齐哈尔）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表．请根据两幅统计图表中的信息回答下列问题：
（1）本次被抽取的教职工共有　50　名；
（2）表中a＝　4　，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　32　%；
（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为　144　°；
（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

志愿服务时间（小时）
频数
A
0＜x≤30
a
B
30＜x≤60
10
C
60＜x≤90
16
D
90＜x≤120
20

【解答】解：（1）本次被抽取的教职工共有：10÷20%＝50（名），
故答案为：50；

（2）a＝50﹣10﹣16﹣20＝4，
扇形统计图中“C”部分所占百分比为：×100%＝32%，
故答案为：4，32；

（3）扇形统计图中，“D”所对应的扇形圆心角的度数为：360°×＝144°．
故答案为：144；

（4）30000×＝21600（人）．
答：志愿服务时间多于60小时的教职工大约有21600人．
一十二．条形统计图（共1小题）
21．（2021•齐齐哈尔）某中学数学兴趣小组为了解本校学生对A：新闻、B：体育、C：动画、D：娱乐、E：戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查（被调查的学生只选一类并且没有不选的），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图．请根据图中所给出的信息解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量是 　300　；
（2）请补全条形图；
（3）扇形图中，m＝　35　，节目类型E对应的扇形圆心角的度数是 　18　°；
（4）若该中学有1800名学生，那么该校喜欢新闻类节目的学生大约有多少人？
【解答】解：（1）由条形图可知，喜爱B类节目的学生有60人，从扇形统计图中可得此部分占调查人数的20%，
本次抽样调查的样本容量是：60÷20%＝300，
故答案为：300；
（2）喜爱C类电视节目的人数为：300﹣30﹣60﹣105﹣15＝90（人），
补全统计图如下：

（3）m%＝×100%＝35%，故m＝35，
节目类型E对应的扇形圆心角的度数是：360°×＝18°，
故答案为：35，18；
（4）该校1800名学生中喜欢新闻类节目的学生有：1800×＝180（人）．