内蒙古赤峰市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题

这是一份内蒙古赤峰市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题，共37页。试卷主要包含了先化简，再求值，【生活情境】，阅读理解等内容，欢迎下载使用。
内蒙古赤峰市三年（2020-2022）中考数学真题分类汇编-04解答题提升题
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•赤峰）先化简，再求值：，其中m＝．
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　 　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　 　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　 　，此时的x（m）值是 　 　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　 　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2020•赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　 　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 　 　；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．

五．二次函数综合题（共2小题）
5．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　 　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

6．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式　 　；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

六．四边形综合题（共2小题）
7．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 　 　；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．


8．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM　 　∠EPN；
②的值是　 　；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．

七．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．

九．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2020•赤峰）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）

一十．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　 　，β＝　 　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　 　（用含m、n的式子表示）；β＝　 　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


一十一．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2021•赤峰）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　 　．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间t（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人）
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　 　，　 　；
②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．

参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共1小题）
1．（2021•赤峰）先化简，再求值：，其中m＝．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当m＝＝3+1+2﹣7＝2﹣3时，
原式＝
＝
＝．
二．一次函数综合题（共1小题）
2．（2022•赤峰）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长AD＝4m，宽AB＝1m的长方形水池ABCD进行加长改造（如图①，改造后的水池ABNM仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为12m的矩形水池EFGH（如图②，以下简称水池2）．

【建立模型】
如果设水池ABCD的边AD加长长度DM为x（m）（x＞0），加长后水池1的总面积为y1（m2），则y1关于x的函数解析式为：y1＝x+4（x＞0）；设水池2的边EF的长为x（m）（0＜x＜6），面积为y2（m2），则y2关于x的函数解析式为：y2＝﹣x2+6x（0＜x＜6），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．

【问题解决】
（1）若水池2的面积随EF长度的增加而减小，则EF长度的取值范围是 　3≤x＜6　（可省略单位），水池2面积的最大值是 　9　m2；
（2）在图③字母标注的点中，表示两个水池面积相等的点是 　C，E　，此时的x（m）值是 　1或4　；
（3）当水池1的面积大于水池2的面积时，x（m）的取值范围是 　0＜x＜1或4＜x＜6　；
（4）在1＜x＜4范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值；
（5）假设水池ABCD的边AD的长度为b（m），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积y3（m2）关于x（m）（x＞0）的函数解析式为：y3＝x+b（x＞0）．若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，求b的值．
【解答】解：（1）∵y2＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，
又∵﹣1＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x≥3时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，
∵0＜x＜6，
∴当3≤x＜6时，水池2的面积随EF长度的增加而减小，水池2面积的最大值是9m2．
故答案为：3≤x＜6；9；
（2）由图象可知：两函数图象相交于点C，E，此时两函数的函数值相等，即：
x+4＝﹣x2+6x，
解得：x＝1或4，
∴表示两个水池面积相等的点是：C，E，此时的x（m）值是：1或4．
故答案为：C，E；1或4；
（3）由图象知：图象中点C的左侧部分和点E的右侧部分，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
即当0＜x＜1或4＜x＜6时，水池1的面积大于水池2的面积，
故答案为：0＜x＜1或4＜x＜6；
（4）在抛物线上的CE段上任取一点F，过点F作FG∥y轴交线段CE于点G，

则线段FG表示两个水池面积差，
设F（m，﹣m2+6m），则G（m，m+4），
∴FG＝（﹣m2+6m）﹣（m+4）＝﹣m2+5m﹣4＝﹣+，
∵﹣1＜0，
∴当m＝时，FG有最大值为．
∴在1＜x＜4范围内，两个水池面积差的最大值为，此时x的值为；
（5）∵水池3与水池2的面积相等，
∴y3＝y2，
即：x+b＝﹣x2+6x，
∴x2﹣5x+b＝0．
∵若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×b＝0，
解得：b＝．
∴若水池3与水池2的面积相等时，x（m）有唯一值，b的值为米．
三．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
3．（2020•赤峰）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”．
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数　如　；
（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．
【解答】解：（1）根据题意得，能构成“和谐三数组”的实数有，，，；
理由：的倒数为2，的倒数为3，的倒数为5，而2+3＝5，
∴能构成“和谐三数组”，
故答案为：如；

（2）证明：∵x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均不为0）的两根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，
∴+＝＝﹣，
∵x3是关于x的方程bx+c＝0（b，c均不为0）的解，
∴x3＝﹣，
∴＝﹣，
∴+＝，
∴x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；

（3）A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三个点均在反比例函数y＝的图象上，
∴y1＝，y2＝，y3＝，
∴＝，＝，＝，
∵A（m，y1），B（m+1，y2），C（m+3，y3）三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，
∴①+＝，
∴+＝，
∴m＝2，
②+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣4，
③+＝，
∴+＝，
∴m＝﹣2，
即满足条件的实数m的值为2或﹣4或﹣2．
四．反比例函数综合题（共1小题）
4．（2021•赤峰）阅读理解：
在平面直角坐标系中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若M、N为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M、N的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M、N的“相关矩形”．
（1）已知点A的坐标为（2，0）．
①若点B的坐标为（4，4），则点A、B的“相关矩形”的周长为 　12　；
②若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的解析式；
（2）已知点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2）若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，直接写出k的取值．

【解答】解：（1）①∵A（2，0），B（4，4），
∴点A、B的“相关矩形”的周长为（4﹣2+4）×2＝12，
故答案为：12；
②∵若点C在直线x＝4上，且点A、C的“相关矩形”为正方形，

∴C（4，2）或（4，﹣2），
设直线AC的关系式为：y＝kx+b
将（2，0）、（4，2）代入解得：k＝1，b＝﹣2，
∴y＝x﹣2，
将（2，0）、（4，﹣2）代入解得：k＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x+2，
∴直线AC的解析式为：y＝x﹣2或y＝﹣x+2；
（2）∵点P的坐标为（3，﹣4），点Q的坐标为（6，﹣2），
设点P、Q的“相关矩形”为矩形MPNQ，则M（3，﹣2），N（6，﹣4），
当函数y＝的图象过M时，k＝﹣6，
当函数y＝的图象过N时，k＝﹣24，
若使函数y＝的图象与点P、Q的“相关矩形”有两个公共点，则﹣24＜k＜﹣6．

五．二次函数综合题（共2小题）
5．（2021•赤峰）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴l与x轴交于点F，定直线m∥AC，点E是直线AC上方抛物线上一动点，过点E作EH⊥m，垂足为H，交AC于点G，连接AE、EC、CH、AH．
（1）抛物线的解析式为 　y＝﹣x2﹣2x+3　；
（2）当四边形AHCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接EF，点P是x轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以F、E、P、Q为顶点，以EF为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+bx+c与x轴交于（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
故答案为：y＝﹣x2﹣2x+3；

（2）如图1中，连接OE．设E（m，﹣m2﹣2m+3）．

∵A（﹣3，0），C（0，3），
∴OA＝OC＝3，AC＝3，
∵AC∥直线m，
∴当直线m的位置确定时，△ACH的面积是定值，
∵S四边形AECH＝S△AEC+S△ACH，
∴当△AEC的面积最大时，四边形AECH的面积最大，
∵S△AEC＝S△AEO+S△ECO﹣S△AOC＝×3×（﹣m2﹣2m+3）+×3×（﹣m）﹣×3×3＝﹣（m+）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝﹣时，△AEC的面积最大，
∴E（﹣，）；

（3）存在．如图2中，因为点Q在抛物线上 EF是平行四边形的边，观察图象可知，满足条件的点Q的纵坐标为±，

对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，当y＝时，﹣x2﹣2x+3＝，解得x＝﹣（舍弃）或﹣，
∴Q1（﹣，）．
当y＝﹣时，﹣x2﹣2x+3＝﹣，解得x＝，
∴Q2（，﹣），Q3（，﹣）．
综上所述，满足条件的点Q坐标为（﹣，）或（，﹣）或（，﹣）．
6．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式　y＝x2﹣x+2　；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2经过B，C两点．
∴点C（0，2），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（4，0），点C（0，2），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2，
故答案为：y＝x2﹣x+2；

（2）∵直线BC解析式为：y＝﹣x+2，
∴设平移后的解析式为：y＝﹣x+2+m，
∵平移后直线BC与抛物线有唯一公共点Q
∴x2﹣x+2＝﹣x+2+m，
∴△＝4﹣4××（﹣m）＝0，
∴m＝﹣2，
∴设平移后的解析式为：y＝﹣x，
联立方程组得：，
∴，
∴点Q（2，﹣1）；

（3）设点M的坐标为（m，m2﹣m+2），
∵以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似，
∴当△MEN∽△OBC时，
∴∠MEN＝∠OBC，
过点M作MH⊥x轴于H，
∴∠EHM＝90°＝∠BOC，
∴△EHM∽△BOC，
∴，
∴MH＝|m2﹣m+2|，EH＝|m﹣2|，
∵OB＝4，OC＝2．
∴＝2或，
∴m＝3±或m＝2±或m＝或m＝，
当m＝3+时，m2﹣m+2＝，
∴M（3+，），
当m＝3﹣时，m2﹣m+2＝，
∴M（3﹣，），
当m＝2+时，m2﹣m+2＝﹣，
∴M（2+，﹣），
当m＝2﹣时，m2﹣m+2＝，
∴M（2﹣，），
当m＝时，m2﹣m+2＝5+，
∴M（，5+），
当m＝时，m2﹣m+2＝﹣5，
∴M（，﹣5），
当m＝时，m2﹣m+2＝3﹣，
∴M（，3﹣），
当m＝时，m2﹣m+2＝3+，
∴M（，3+），
即满足条件的点M共有8个，其点的坐标为（3+，）或（3﹣，）或（2+，﹣）或（2﹣，）或（，5+）或（，﹣5）或（，3﹣）或（，3+）．

六．四边形综合题（共2小题）
7．（2022•赤峰）同学们还记得吗？图①，图②是人教版八年级下册教材“实验与探究”中我们研究过的两个图形．受这两个图形的启发，数学兴趣小组提出了以下三个问题，请你回答：

【问题一】如图①，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，则AE与BF的数量关系为 　AE＝BF　；
【问题二】受图①启发，兴趣小组画出了图③：直线m、n经过正方形ABCD的对称中心O，直线m分别与AD、BC交于点E、F，直线n分别与AB、CD交于点G、H，且m⊥n，若正方形ABCD边长为8，求四边形OEAG的面积；
【问题三】受图②启发，兴趣小组画出了图④：正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，顶点E在BC的延长线上，且BC＝6，CE＝2．在直线BE上是否存在点P，使△APF为直角三角形？若存在，求出BP的长度；若不存在，说明理由．


【解答】解：【问题一】∵正方形ABCD的对角线相交于点O，
∴OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，∠AOB＝90°，
∵四边形A1B1C1O是正方形，
∴∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
故答案为：AE＝BF；

【问题二】如图③，
连接OA，OB，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴S△AOB＝S正方形ABCD＝×82＝16，
∵点O是正方形ABCD的中心，
∴∠OAE＝∠OBG＝45°，OA＝OB，∠AOB＝90°，
∵m⊥n，
∴∠EOG＝90°，
∴∠AOE＝∠BOG，
∴△AOE≌△BOG（ASA），
∴S△AOE＝S△BOG，
∴S四边形OEAG＝S△AOE+S△AOG＝S△BOG+S△AOG＝S△AOB＝16；

【问题三】在直线BE上存在点P，使△APF为直角三角形，
①当∠AFP＝90°时，如图④，延长EF，AD相交于点Q，

∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
∴EQ＝AB＝6，∠BAD＝∠B＝∠E＝90°，
∴四边形ABEQ是矩形，
∴AQ＝BE＝BC+CE＝8，EQ＝AB＝6，∠Q＝90°＝∠E，
∴∠EFP+∠EPF＝90，
∵∠AFP＝90°，
∴∠EFP+∠AFQ＝90°，
∴△EFP∽△QAF，
∴，
∵QF＝EQ﹣EF＝4，
∴，
∴EP＝1，
∴BP＝BE﹣EP＝7；

②当∠APF＝90°时，如图⑤，
同①的方法得，△ABP∽△PEF，
∴，
∵PE＝BE﹣BP＝8﹣BP，
∴，
∴BP＝2或BP＝6；

③当∠PAF＝90°时，如图⑥，
过点P作AB的平行线交DA的延长线于M，延长EF，AD相交于N，
同①的方法得，四边形ABPM是矩形，
∴PM＝AB＝6，AM＝BP，∠M＝90°，
同①的方法得，四边形ABEN是矩形，
∴AN＝BE＝8，EN＝AB＝6，
∴FN＝EN﹣EF＝4，
同①的方法得，△AMP∽△FNA，
∴，
∴，
∴AM＝3，
∴BP＝3，
即BP的长度为2或3或6或7．



8．（2020•赤峰）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，过点P作MN⊥AB，交直线CD于点M，交直线AB于点N．AB＝4，AD＝4．
（1）如图1，①当点P在线段AC上时，∠PDM和∠EPN的数量关系为：∠PDM　＝　∠EPN；
②的值是　　；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y．请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值．

【解答】解：（1）①如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∵NM⊥AB，
∴NM⊥CD，
∵DP⊥PE，
∴∠PMD＝∠PNE＝∠DPE＝90°，
∴∠PDM+∠DPM＝90°，∠DPM+∠EPN＝90°，
∴∠PDM＝∠EPN．
故答案为＝．
②连接DE．∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAE＝∠B＝90°，AD＝BC＝4．
∴tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
∵∠DAE+∠DPE＝180°，
∴A，D，P，E四点共圆，
∴∠EDP＝∠PAB＝30°，
∴＝tan30°＝，
∴＝．

（2）如图2中，结论成立．

理由：连接DE．
∵∠DPE＝∠DAE＝90°，
∴A，D，E，P四点共圆，
∴∠PDE＝∠EAP＝∠CAB＝30°，
∴＝＝．

（3）如图3中，由题意PM＝x，PN＝4﹣x，

∵∠PDM＝∠EPN，∠DMP＝∠PNE＝90°，
∴△DMP∽△PNE，
∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴DM＝（4﹣x），EN＝x，
∴PD＝＝＝2，
PE＝PD＝•，
∴y＝PD•PE＝（x2﹣6x+12）＝x2﹣8x+16（x＞0），
∵y＝（x﹣3）2+4，
∵＞0，
∴当x＝3时，y有最小值，最小值为4．
七．直线与圆的位置关系（共1小题）
9．（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，⊙O经过点B，C，交对角线BD于点E，且＝，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD＝，tan∠CBD＝，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）AB是⊙O的切线，
理由如下：
连接OB，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE，
∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵＝，OE是⊙O的半径，
∴OE⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠OEB+∠CBE＝90°，
∴∠ABD+∠OBE＝90°，
∴OB⊥AB，即AB是⊙O的切线；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC、BD是其对角线，BD＝，
∴BM＝BD＝，AC⊥BD，
∵tan∠CBD＝，
∴CM＝BM＝，
∴BC＝＝8，
∵＝，OE是⊙O的半径，
∴BF＝BC＝4，
∵tan∠CBD＝，OE⊥BC，
∴EF＝BF＝2，
设⊙O的半径为r，则OF的长为r﹣2，
在Rt△OFB中，
OF2+BF2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
∴⊙O的半径为5．

八．切线的判定与性质（共1小题）
10．（2022•赤峰）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC＝BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA＝∠OCA．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若CD＝6，OF＝4，求cos∠DAC的值．

【解答】（1）证明：∵AC＝BC，点O为AB的中点，
∴CO⊥AB．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠DAC．
∵∠DCA＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA．
∴DA∥OC，
∴DA⊥OA．
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：在△CDE和△CFE中，
，
∴△CDE≌△CFE（ASA），
∴CD＝CF＝6，
∴CO＝CF+OF＝10．
∵DF是AC的垂直平分线，
∴CE＝AE＝AC．
∵∠CEF＝∠COA＝90°，∠ECF＝∠OCA，
∴△CEF∽△COA，
∴，
∴，
∴AC＝2，
在Rt△AOC中，
∵cos∠OCA＝，
∴cos∠DAC＝cos∠OCA＝．
九．作图—应用与设计作图（共1小题）
11．（2020•赤峰）小琪同学和爸爸妈妈一起回老家给奶奶过生日，他们为奶奶准备了一个如图所示的正方形蛋糕，蛋糕的每条边上均匀镶嵌着4颗巧克力．爸爸要求小琪只切两刀把蛋糕平均分成4份，使每个人分得的蛋糕和巧克力数都相等．
（1）请你在图1中画出一种分法（无需尺规作图）；
（2）如图2，小琪同学过正方形的中心切了一刀，请你用尺规作图帮她作出第2刀所在的直线．（不写作法，保留作图痕迹）

【解答】解：（1）如图，直线a，直线b即为所求．
（2）如图，直线c即为所求．

一十．几何变换综合题（共1小题）
12．（2021•赤峰）数学课上，有这样一道探究题．
如图，已知△ABC中，AB＝AC＝m，BC＝n，∠BAC＝α（0°＜α＜180°），点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转α，得线段PD，连接CD、AP点E、F分别为BC、CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为β，探究的值和β的度数与m、n、α的关系．
请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：
（1）填空：
【问题发现】
小明研究了α＝60°时，如图1，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　60°　；
小红研究了α＝90°时，如图2，求出了的值和β的度数分别为＝　　，β＝　45°　；
【类比探究】
他们又共同研究了α＝120°时，如图3，也求出了的值和β的度数；
【归纳总结】
最后他们终于共同探究得出规律：＝　　（用含m、n的式子表示）；β＝　　（用含α的式子表示）．
（2）求出α＝120°时的值和β的度数．


【解答】解：（1）如图1，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

当α＝60°时，△ABC和△PDC都是等边三角形，
∴∠PCD＝∠ACB＝60°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝60°，
当α＝90°时，△ABC和△PDC都是等腰直角三角形，

∴∠PCD＝∠ACB＝45°，PC＝CD，AC＝CB，
∵F、E分别是CD、BC的中点，
∴，，
∴，
又∵∠ACP＝∠ECF，
∴△ACP∽△ECF，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝45°，
由此，可归纳出，β＝∠ACB＝；
（2）当α＝120°，连接AE，PF，延长EF、AP交于点Q，

∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，∠CAE＝60°
∴sin60°＝，
同理可得：，
∴，
∴，
又∵∠ECF＝∠ACP，
∴△PCA∽△FCE，
∴，∠CEF＝∠CAP，
∴∠Q＝β＝∠ACB＝30°．
一十一．列表法与树状图法（共1小题）
13．（2021•赤峰）某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，准备从12个班里抽取50名学生作为一个样本进行分析，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位，小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按t≤6、6＜t＜8、t≥8分为三类进行分析．
（1）下列抽取方法具有代表性的是 　B　．
A．随机抽取一个班的学生
B．从12个班中，随机抽取50名学生
C．随机抽取50名男生
D．随机抽取50名女生
（2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表：
睡眠时间t（小时）
5
5.5
6
6.5
7
7.5
8
8.5
人数（人）
1
1
2
10
15
9
10
2
①这组数据的众数和中位数分别是 　7　，　7　；
②估计九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为多少；
（3）从样本中学生平均每天睡眠时间t≤6的4个学生里，随机抽取2人，画树状图或列表，求抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率．
【解答】解：（1）∵A、C、D不具有全面性，
故答案为：B；
（2）①这组数据的众数为7小时，中位数为＝7（小时），
故答案为：7，7；
②估计九年级学生平均每天睡眼时间t≥8的人数大约为：12×50×＝144（人）；
（3）把样本中学生平均每天睡眠时间为5小时、5.5小时、6小时的4个学生分别记为A、B、C、D，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的结果有2种，
∴抽得2人平均每天睡眠时间都是6小时的概率为＝．