2022-2023学年湘教版（2019）必修一第四章 幂函数、指数函数和对数函数 单元测试卷

第四章 幂函数、指数函数和对数函数 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共32分)

1、(4分)设，，，则(   )

A. B. C. D.

2、(4分)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则(   )

A. B. C. D.

3、(4分)已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的顺序为(   ).

A. B. C. D.

4、(4分)苏格兰数学家科林麦克劳林（ColinMaclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，受到了世界上顶尖数学家的广泛认可，下面是麦克劳林建立的其中一个公式：，试根据此公式估计下面代数式的近似值为(   )

（可能用到数值）

A.3.23 B.2.881                C.1.881                D.1.23

5、(4分)设，在用二分法求方程在内近似解的过程中，已经得到，，，则方程的根落在区间(   )

A．   B．   C．  D．不能确定

6、(4分)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（a，c为常数）.已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第a件产品用时5分钟，则c和a的值分别是(   )

A.75，25 B.75，16 C.60，144 D.60，16

7、(4分)已知函数若函数恰有4个零点，则k的取值范围是(   )

A. B.

C.  D.

8、(4分)在流行病学中，基本传染数指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长，当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散，广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N个人中有V个人接种过疫苗(称为接种率)，那么1个感染者新的传染人数为.已知新冠病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者新的传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为(   )

A.50% B.60% C.70% D.80%

二、多项选择题(共24分)

9、(6分)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（    ）

A.是奇函数  B.是奇函数

C.在上是增函数 D.的值域是.

10、(6分)设函数，若关于x的方程在区间内恒有四个不同的实根，则a的取值可以是(   )

A.2 B. C. D.3

11、(6分)已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ，，那么函数在定义域内的零点个数可能是（    ）

A.2 B.4 C.6 D.8 

12、(6分)已知函数有两个零点，则(   )

A．的取值范围为 B．

C．  D．

三、填空题(共16分)

13、(4分)已知函数有一个零点，则实数m的取值范围是__________.

14、(4分)已知幂函数，若，则a的取值范围是__________.

15、(4分)已知指数函数且在区间上的最大值是最小值的2倍，则______.

16、(4分)函数的定义域为______.

四、解答题(共28分)

17、(14分)已知函数的两个零点分别为1和2.

（1）求实数m、n的值；

（2）若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

18、(14分)某工厂现有职工320人，平均每人每年可创利20万元.该工厂打算购进一批智能机器人(每购进一台机器人，将有一名职工下岗)据测算，如果购进智能机器人不超过100台，每购进一台机器人，所有留岗职工(机器人视为机器，不作为职工看待)在机器人的帮助下，每人每年多创利2千元，每台机器人购置费及日常维护费用折合后平均每年2万元，工厂为体现对职工的关心，给予下岗职工每人每年4万元补贴；如果购进智能机器人数量超过100台，则工厂的年利润万元(x为机器人台数且).

(1)写出工厂的年利润y与购进智能机器人台数x的函数关系.

(2)为获得最大经济效益，工厂应购进多少台智能机器人？此时工厂的最大年利润是多少？(参考数据：)

参考答案

1、答案：B

解析：本题考查幂函数的大小比较.构造幂函数，由该函数在定义域内单调递增，且，故.

2、答案：B

解析：由已知，，则.设，则.因为，则.又，，则，即，从而.当时，，则在内单调递增，所以，即，选B.

3、答案：B

解析：函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标，

函数的零点为函数与的图象交点的横坐标.

在同一平面直角坐标系内分别作出函数，，与的图象如图所示：

由图可知，，，，所以.故选B.

4、答案：B

解析：





所以


的近似值为
 

5、答案：B

解析：方程的解等价于的零点.由于在R上连续且单调递增, ,所以在内有零点且唯一,所以方程的根落在区间,故选B.

6、答案：C

解析：显然，则由题意可得解得故选C.

7、答案：D

解析：令，函数恰有4个零点，即与的图像恰有4个交点.

当时，，在同一直角坐标系中作出，的图像，如图.

由图可知与的图像恰有4个交点，即函数恰有4个零点，排除A，B；

当时，，作出与的图像，如图所示.

此时，函数与的图像仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.

8、答案：D

解析：解：为了使1个感染者新的传染人数不超过1，即，，，，，即.

9、答案：BCD

解析：,且，

，不是奇函数，故A选项不正确；

，，，

,是奇函数，故B选项正确；

，，

在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，

在上单调递增，故C选项正确；

,,,,

,

当时，；当时，；

,故D选项正确；

故选：BCD

10、答案：BC

解析：，作出函数的图象，如图所示.

令，因为关于x的方程在区间内恒有四个不同的实根，即有两个不同的实根，方程有两个不同的实根，所以，所以解得.

11、答案：BC

解析：由得，，不是方程的根．

当时， ，

当时，令，解得或2共有两个解；

当时，令，即，

当时，方程无解，

当时，方程有解，符合题意，

当时， ，不符合题意，方程无解．

所以当时，有2个或3个根，

而函数是定义在R上的偶函数，

所以函数在定义域内的零点个数可能是4或6，故选：BC

12、答案：BCD

解析：令，，

故a的取值范围为，选项A错误；，故，选项B正确：令，则当时，，

在递增，故，即，，选项C正确；

，是函数的两个零点，，

令，则当时，，在递增，故，即，，选项D正确.

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：本题考查幂函数的性质应用.是定义域为的递减函数，，则，解得.

15、答案：或2

解析：

16、答案：

解析：

17、答案：（1）

（2）

解析：（1）由函数的两个零点分别为1和2，可得

解得

（2）由（1）可得，

由不等式在上恒成立，可得不等式在上恒成立，可将化为，

所以在上的最小值为，所以.

18、答案：(1)

(2)工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利润为8205万元

解析：(1)当购进智能机器人台数时，

工厂的年利润，

所以

(2)由(1)知，当时，，

当时，；

当时，为增函数，

.

综上可得，工厂购进95台智能机器人时获得最大经济效益，此时的最大年利润为8205万元.