2022-2023学年湘教版（2019）选择性修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共32分)

1、(4分)过双曲线的右焦点F作直线l，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，直线l与另一条渐近线交于点B.已知O为坐标原点，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C.或4 D.或2

2、(4分)设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段的中点在y轴上，若，则椭圆C的离心率为(   )

A. B. C. D.

3、(4分)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则(   )

A.2 B.3 C.4 D.8

4、(4分)已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

5、(4分)设F为双曲线的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为(   )

A. B. C.2 D.

6、(4分)已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(   )

A. B. C. D.

7、(4分)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则实数(   )

A.2 B.8 C. D.

8、(4分)双曲线的渐近线方程为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题(共24分)

9、(6分)过点且的双曲线的标准方程是（  ）

A. B. C. D.

10、(6分)双曲线(，)左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是(   )

A. B. C.2 D.

11、(6分)已知抛物线C：的焦点为F，直线与抛物线C交于M，N两点，且，，则的取值可以为(   )

A. B. C.2 D.3

12、(6分)已知是3与12的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（    ）

A.2 B. C. D.2或

三、填空题(共16分)

13、(4分)已知抛物线与双曲线（，）有相同的焦点且在第一象限交于点A，F为双曲线的下焦点，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为____________.

14、(4分)已知，是椭圆的两个焦点，满足的点M总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是_____________.

15、(4分)与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线方程为_____________.

16、(4分)一条光线从抛物线的焦点F射出，经抛物线上一点B反射后，反射光线经过点，若，则抛物线的标准方程为__________.

四、解答题(共28分)

17、(14分)已知椭圆的离心率为，C的左焦点、右顶点分别为F，A，点P在C上，且当P位于C的上顶点时，的面积为.

(1)求C的标准方程；

(2)延长线段PF交椭圆C于另一点Q，求的最大值.

18、(14分)已知椭圆的离心率为，焦距为.

（1）求C的方程；

（2）若斜率为的直线l与椭圆c交于两点（点均在第一象限），O为坐标原点，证明：直线的斜率依次成等比数列.

参考答案

1、答案：D

解析：若 在 轴异侧，不妨设 在第一象限如
图，易知
所以 的内切圆半径为
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，从而
可得.

综上，双曲线 的离心率为 或 2 .

2、答案：A

解析：设点P的横坐标为x，，

线段的中点在y轴上，

，.

与的横坐标相等，轴.

，，

，，

，

，.故选A.

3、答案：D

解析：抛物线的焦点坐标为，椭圆的一个焦点为，，

又，.

4、答案：B

解析：由，得，

焦点，准线，

从而，如图所示.设.

，，

.

结合图形知，当AP与抛物线相切时，最小，从而m最大.

设直线AP的方程为，

由得，

令，解得，

不妨取，得P点坐标为.

设双曲线的方程为.

在双曲线中，，即，

，

离心率，故选B.

5、答案：A

解析：如图，，过点.

.

又，，

，.故选A.

6、答案：A

解析：原方程表示双曲线，且焦距为4，

①

或②

由①得，.②无解.故选A.

7、答案：B

解析：由题意，得，，则，所以椭圆的离心率，解得.故选B.

8、答案：B

解析：双曲线的，，由双曲线的渐近线方程，则所求渐近线方程为.所以B选项是正确的.

9、答案：AC

解析：因为，则可设双曲线方程为或，

将点代入方程可得，解得，

所以双曲线方程为或.

故选：AC.

10、答案：CD

解析：设双曲线的左焦点为M，，则，

根据双曲线的对称性可得四边形AMBF为矩形，所以，

因为，所以，

则，即,

因为，则，所以，

则，所以.

11、答案：BC

解析：根据题意：抛物线C：的焦点为，直线过抛物线C：的焦点，所以，或，，故选BC.

12、答案：AB

解析：因为m是3与12的等比中项，所以，可得，

当时，曲线方程为，可得，，

所以，所以，此时，

当时，曲线方程为，可得，，

所以，所以，此时，

所以圆维曲线的离心率是2或.故选：AB.

13、答案：

解析：

14、答案：

解析：不妨设焦点在x轴上，则椭圆的方程为，焦点分别为、，如图所示.

若点M满足，则，可得点M在以为直径的圆上运动，

满足的点M总在椭圆内部，

以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即圆的半径小于椭圆的短半轴长.

由此可得，即，解得.

因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是.

15、答案：

解析：设所求的双曲线方程为，又点在双曲线上，，解得.

故双曲线方程为.

16、答案：

解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，，，，抛物线的标准方程为.

17、答案：(1)标准方程是.

(2)的最大值为12.

解析：(1)依题意，，①

当P位于C的上顶点时，

.②

又，③

①②③联立解得，

C的标准方程是.

(2)当点P在x轴上时，易得；

当点P不在x轴上时，设直线PQ方程为，

联立消去x并整理得.

设，

由韦达定理得.

，

，

.

设，则，

，

当时等号成立.

综上，的最大值为12.

18、答案： （1）（2）见解析

解析：（1）由题意可得，解得，

又，所以椭圆方程为.

（2）证明：设直线的方程为,

由，消去，得，

则，

且，

故，

，

即直线的斜率依次成等比数列.