2023年新高考数学一轮复习考点过关检测23《数列通项与数列求和(1)》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点过关检测23__数列通项与数列求和(1)1．[2022·广东惠州模拟]已知数列{an}是公比为2的等比数列，其前n项和为Sn，a1,4a3－1,2S4成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an＋log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.              2．[2022·山东济南模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a2＝4，S5＝30.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.          3．[2022·湖南长郡中学月考]已知在数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋2n－1(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log2(an＋1－1)，求的前n项和Tn.           4．[2022·湖北宜昌模拟]在①S7＝49，②S5＝a8＋10，③S8＝S6＋28这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝9，若数列{bn}满足bn＝，证明：数列{bn}的前n项和Tn<.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．            考点过关检测23　数列通项与数列求和(1)1．解析：(1)由a1,4a3－1,2S4成等差数列，且公比q＝2，所以2(4a3－1)＝a1＋2S4，即8a1·22－2＝a1＋2×，整理得32a1－2＝a1＋30a1，解得a1＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n.(2)bn＝an＋log2an＝2n＋n.因为{an}为等比数列，令cn＝n，cn－cn－1＝1，故{cn}为等差数列因此分组求和可得：Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝(21＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋[2n－1＋(n－1)]＋(2n＋n)＝(21＋22＋23＋…＋2n－1＋2n)＋(1＋2＋…＋n)＝＋＝2n＋1－2＋.2．解析：(1)设等差数列的首项为a1，公差为d，因为a2＝4，S5＝5a3＝30，所以，解得，所以an＝2n.(2)bn＝＝＝－，所以Tn＝＋＋＋…＋＝1－＝.3．解析：(1)∵an＝an－1＋2n－1(n≥2)，∴an－an－1＝2n－1，a2－a1＝21，a3－a2＝22，a4－a3＝23，an－an－1＝2n－1.左右两边同时相加得，an－a1＝21＋22＋23＋…＋2n－1＝2n－2，∴an＝2n－2＋a1＝2n＋1，当a1＝3时也符合上式，所以an＝2n＋1.(2)由bn＝log2(an＋1－1)得bn＝log2(2n＋1－1)＝n所以＝＝－，Tn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.4．证明：选择①，设数列{an}的公差为d，由S7＝49，a5＝9，得解得所以an＝2n－1.又因为bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋x＋bn＝，所以Tn＝<.选择②，设数列{an}的公差为d，因为S5＝a8＋10，所以4a1＋3d＝10，又a1＋4d＝9，解得d＝2，a1＝1，所以an＝2n－1.又因为bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝.所以Tn＝<.选择③，设数列{an}的公差为d，因为S8－S6＝28，即a7＋a8＝28，又因为a5＝9，所以2a5＋5d＝28，解得d＝2，所以a1＝a5－4d＝9－4×2＝1，所以an＝2n－1.又因为bn＝＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝，所以Tn＝<.