2023年新高考数学一轮复习考点过关检测27《平面向量的综合应用》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点过关检测27__平面向量的综合应用一、单项选择题1．已知向量a＝(cos α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则 2sin αcos α等于(　　)A．－  B．－3C．3    D.2．[2022·山东济南模拟]在四边形ABCD中，＝－，且·＝0，则四边形ABCD一定是(　　)A．矩形    B．菱形C．正方形  D．梯形3．[2022·湖北恩施模拟]圆内接四边形ABCD中AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·＝(　　)A．12  B．－12C．20  D．－204．[2022·辽宁大连模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＋(b－2c)＋c＝0，则△ABC的形状是(　　)A．等腰三角形      B．等边三角形C．等腰直角三角形  D．钝角三角形5．[2022·福建福州外国语学校月考]在△ABC中，设||2－||2＝2·，则动点M的轨迹必通过△ABC的(　　)A．垂心  B．内心C．重心  D．外心6．过点P(2,1)的直线l与函数f(x)＝的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则(＋)·＝(　　)A.  B．2C．5  D．107．[2022·广东高州模拟]已知A、B、P是直线l上三个相异的点，平面内的点O∉l，若正实数x、y满足4＝2x＋y，则的最小值为(　　)A．1  B．2C．3  D．48．[2022·河北衡水中学月考]窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则·的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.二、多项选择题9．[2022·辽宁沈阳模拟]已知点O为平面直角坐标系原点，角α，β的终边分别与以O为圆心的单位圆交于A，B两点，若sin α>0，β为第四象限角，且cos β＝，则(　　)A.·＝cos(α＋β)B．当||＝时，·＝－1C．||最大值为2D．当||＝1时，cos α－sin α＝10．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)A．|a|＝|b|  B．(a－b)∥bC．(a－b)⊥b  D．a与b的夹角为11.在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，如图，则下列等式成立的是(　　)A．||2＝·B．||2＝·C．||2＝D．||2＝·12．[2022·山东肥城月考]已知向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，函数f(x)＝a·b＋，则(　　)A．当x∈时，存在着实数x，使得a∥bB．当x∈时，存在着实数x，使得a⊥bC．当x∈时，函数f(x)的最大值为D．当x∈时，函数f(x)的最小值为－三、填空题13．已知向量a＝(sin θ，1)，b＝(1，cos θ)，其中0<θ<2π，若a⊥b，则θ＝________.14．[2022·江苏省天一中学月考]等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若＝＋，则△ABC的面积为________．15．[2022·广东龙岗模拟]已知点P在圆x2＋y2＝4上，已知A(3,0)，B(0,4)，则·的最小值为________．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足2a＋c＝2bcos C，则角B的大小为________；设D为边AC上一点，且∠ABD＝∠CBD，BD＝1，则·的最小值为________．四、解答题17．已知：＝(1，sin x－1)，＝(sin x＋sin xcos x，sin x)，f(x)＝·(x∈R)，求：(1)函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)函数f(x)的单调递增区间．         18．[2022·福建大同中学月考]已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2bcos A＝acos C＋ccos A.(1)求角A的大小；(2)若b＝3，c＝4，＝2，求AD的长．                           考点过关检测27　平面向量的综合应用1．答案：A解析：由已知，cos α＝－2sin α，又sin2α＋cos2α＝1，故5sin2α＝1，所以2sin αcos α＝－4sin2α＝－.2．答案：B解析：由＝－＝可知，四边形ABCD为平行四边形；又由·＝0可知，四边形对角线互相垂直，故四边形ABCD为菱形．3．答案：B解析：由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，∴·＝(＋)·＝·＋·＝||||cos∠BDA－||||cos∠BDC＝||2－||2＝4－16＝－12.4．答案：B解析：因为a＋(b－2c)＋c＝0，所以(a－c)＋(b－c)＝0，所以a－c＝0，b－c＝0，所以a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．5．答案：D解析：设BC的中点是O，||2－||2＝2－2＝(＋)·(－)＝2·＝2·，即(－)·＝·＝0，所以⊥，所以动点M在线段BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心．6．答案：D解析：f(x)＝＝＋1，函数f(x)的图象关于点P对称，直线l与函数f(x)的图象交于A，B两点时，得出A，B两点关于点P对称，则有＋＝2，于是(＋)·＝22＝2×(22＋12)＝10.7．答案：B解析：∵4＝2x＋y，∴＝＋，由于A、B、P是直线l上三个相异的点，所以＋＝1，又x>0，y>0，由基本不等式得＝＋＝＝＋＋1≥2，当且仅当y＝2x时取等号．8．答案：C解析：如图所示，由正六边形的几何性质可知，△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF、△OFA均为边长为4的等边三角形，当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时，取最大值4，当点P为正六边形各边的中点时，||取最小值，即||min＝4sin＝2，所以，||∈[2，4]．所以，·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－4∈[8,12]．9．答案：CD解析：易知A(cos α，sin α)，B(cos β，sin β)，·＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，故A错误；当||＝时，⊥，∴·＝0，故B错误；由于sin α>0，故AB过原点时，||最大且最大值为2，故C正确；因为cos β＝，且β为第四象限角，所以sin β＝－.∵||＝1，∴∠AOB＝，即α－β＝＋2kπ，k∈Z，∴cos α－sin α＝－2sin＝－2sin β＝，故D正确．10．答案：CD解析：因为|a|＝2，|b|＝，故A错误；因为a－b＝(1，－1)，b＝(1,1)，且1×1＋1×(－1)＝0，所以(a－b)⊥b，故B错误，C正确；因为cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为.故D正确．故选CD.11．答案：ABC解析：·＝||·||cos A，由||·cos A＝||可得||2＝·，即选项A正确，·＝||·||cos B，由||·cos B＝||可得||2＝·，即选项B正确，∵||·||＝||·||，由选项A，B可得||2＝，即选项C正确，由·＝||·||cos(π－∠ACD)<0，又||2>0，知选项D不正确．12．答案：BD解析：向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，若a∥b，则－sin xcos x－cos2x＝0，又x∈，∴tan x＝－，显然当x∈时，不存在实数x，使得a∥b，故A错误；若a⊥b，则sin xcos x－cos2x＝0，又x∈，∴tan x＝，∴x＝，故B正确；∵向量a＝(sin x，cos x)，b＝(cos x，－cos x)，∴f(x)＝a·b＋＝sin xcos x－cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝sin，当x∈时，2x－∈，函数f(x)的最大值为1，此时x＝；函数f(x)的最小值为－，此时x＝0，故C错误，D正确．13．答案：π或π解析：由于a⊥b，所以sin θ＋cos θ＝0，sin θ＝－cos θ，tan θ＝－1，由于0<θ<2π，所以θ的值为π或π.14．答案：解析：如图，由于＝＋，所以＝，＝，则||＝4，||＝1，所以在等腰直角△ABC中，PE＝1，BE＝1，所以AB＝5，即腰长为5，故△ABC的面积S＝×5×5＝.15．答案：－6解析：因为点P在圆x2＋y2＝4上，所以设点P(2cos θ，2sin θ)，θ∈R，则＝(3－2cos θ，－2sin θ)，＝(－2cos θ，4－2sin θ)，所以·＝－2cos θ×(3－2cos θ)－2sin θ×(4－2sin θ)，化简得·＝4－8sin θ－6cos θ＝4－10sin(θ＋φ)，tan φ＝，所以当sin(θ＋φ)＝1时，·取得最小值－6.16．答案：　2解析：由正弦定理，得2sin A＋sin C＝2sin Bcos C，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，得2cos Bsin C＋sin C＝0，由0<C<π，得sin C≠0，所以cos B＝－，由0<B<π，得B＝.由题意，得acsin＝a×1×sin＋c×1×sin，化简得ac＝a＋c，由基本不等式，得ac＝a＋c≥2，即ac≥4(当且仅当a＝c＝2时取等号)．所以·＝accos≥2(当且仅当a＝c＝2时取等号)．17．解析：(1)f(x)＝·＝sin x＋sin xcos x＋sin x(sin x－1)＝sin x＋sin xcos x＋sin2x－sin x＝sin 2x＋＝(sin 2x－cos 2x)＋＝sin (2x－)＋，x∈R，所以f(x)max＝，最小正周期是T＝＝π；(2)2kπ－≤2x－≤2kπ＋，kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，所以增区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.18．解析：(1)因为2bcos A＝acos C＋ccos A，所以由正弦定理可得2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A，即2sin Bcos A＝sin(A＋C)＝sin B，因为sin B≠0，所以2cos A＝1，cos A＝，∵A∈，故A＝；(2)由＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以2＝2＋·＋2＝＋×4×3cos＋×9＝，所以||＝.