2023年新高考数学一轮复习考点过关检测29《空间立体图形、简单几何体的表面积与体积》（2份打包，解析版+原卷版）

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1．[2022·山东东明一中月考]下列说法正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
2.
[2022·湖北广水一中月考]如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置一个平面图形的直观图，其O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．梯形
3．已知某圆柱的轴截面是正方形，且该圆柱的侧面积是4π，则该圆柱的体积是( )
A．2π B．4π
C．8π D．12π
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知圆锥的底面半径为eq \r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B. 2eq \r(2)
C．4 D. 4eq \r(2)
5．[2022·河北衡水模拟]已知正三棱锥S­ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为eq \r(2)，则此三棱锥的外接球的表面积为( )
A．π B．3π
C．6π D．9π
6．[2021·新高考Ⅱ卷]正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
7．[2022·湖南长沙一中月考]《增减算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀的形式出现的．其中有一首“葛藤缠木”，大意是说：有根高2丈的圆木柱，该圆木的周长为3尺，有根葛藤从圆木的根部向上生长，缓慢地自下而上均匀绕该圆木7周，刚好长的和圆木一样高．已知1丈等于10尺，则能推算出该葛长为( )
A．21尺 B．25尺
C．29尺 D．33尺
8．[2022·河北沧州模拟]在三棱锥P－ABC中，底面ABC是面积为3eq \r(3)的正三角形，若三棱锥P­ABC的每个顶点都在球O的球面上，且点O恰好在平面ABC内，则三棱锥P­ABC体积的最大值为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C．4eq \r(3) D．6eq \r(3)
二、多项选择题
9．[2022·山东枣庄八中月考]用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是( )
A．圆锥 B．圆柱
C．棱锥 D．正方体
10．圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则圆台的( )
A．母线长是20 B．表面积是1 100π
C．高是10eq \r(2) D．体积是eq \f(7 000\r(3),3)π
11．[2022·湖南周南中学月考]一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是( )
A．圆柱的侧面积为2πR2
B．圆锥的侧面积为2πR2
C．圆柱的侧面积与球的表面积相等
D．圆锥的表面积最小
12．[2022·福建宁德模拟]已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M、N，若线段MN的最小值为2eq \r(6)，则( )
A．正四面体的外接球的表面积为96π
B．正四面体的内切球的体积为8eq \r(6)π
C．正四面体的棱长为12
D．线段MN的最大值为3eq \r(6)
三、填空题
13.
在如图所示的斜截圆柱(截面与底面不平行)中，已知圆柱底面的直径为4 cm，母线长最短5 cm，最长8 cm，则斜截圆柱的侧面积为________ cm2.
14．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，体积为48，在棱BA、BC、BB1分别取中点E、F、G，则三棱锥B­EFG的体积为________．
15．[2022·安徽安庆一中月考]已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BE＝eq \f(1,4)BB1＝2,4AB＝3AA1，则该四棱柱被过点A1，C，E的平面截得的截面面积为________．
16．[2022·重庆实验外国语学校月考]如图的多面体中，ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么，添加的三棱锥的体积为________．补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
考点过关检测29 空间立体图形、简单几何体的表面积与体积
1.答案：C
解析：
对A：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以A错误，反例如图：
对B：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故B错误；
对C：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故C正确；
对D：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D错误．
2．答案：C
解析：
因为O′A′∥B′C′，O′A′＝B′C′，所以直观图还原得OA∥BC，OA＝BC＝O′A′＝6，
四边形OABC为平行四边形，OD⊥BC，则C′D′＝O′C′＝2，
∴CD＝2，
O′D′＝eq \r(2)O′C′＝2eq \r(2)，OD＝2O′D′＝4eq \r(2)，OC＝eq \r(CD2＋OD2)＝eq \r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(2)))2)＝6，所以OC＝OA＝6，故原图形为菱形．
3．答案：A
解析：设该圆柱的底面圆半径为r，则其高(母线)为h，而圆柱的轴截面是正方形，则h＝2r，
圆柱侧面积为2πrh＝4π，从而r＝1，h＝2，故该圆柱的体积是πr2h＝2π.
4．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl＝2π×eq \r(2)，解得l＝2eq \r(2).故选B.
5．答案：C
解析：正三棱锥的外接球即是棱长为eq \r(2)的正方体的外接球，
所以外接球的直径2R＝eq \r(\r(2)2＋\r(2)2＋\r(2)2)＝eq \r(6)，所以4R2＝6，外接球的表面积4πR2＝6π.
6．答案：D
解析：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2,4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝ eq \r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq \r(2)，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
7．答案：C
解析：
如图所示，圆柱的侧面展开图是矩形ABEF，由题意得：AB＝2丈＝20尺，圆周长BE＝3尺，
则葛藤绕圆柱7周后长为BD＝eq \r(AB2＋7BE2)＝eq \r(202＋212)＝29尺．
8．答案：B
解析：由底面ABC是面积为3eq \r(3)的正三角形，可知底面ABC的边长为2eq \r(3)，因为三棱锥P­ABC外接球的球心O恰好在平面ABC内，
因为三角形ABC的外接圆半径为eq \f(2\r(3),2×sin 60°)＝2，
所以球O的半径为2，所以当PO⊥平面ABC时，三棱锥P­ABC的体积最大．
所以三棱锥P­ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×3eq \r(3)×2＝2eq \r(3).
9．答案：ACD
解析：圆锥的轴截面是三角形，圆柱的任何截面都不可能是三角形，三棱锥平行于底面的截面是三角形，正方体的截面可能是三角形，如图形成的截面三角形A1C1D.
10．答案：ABD
解析：如图所示，设圆台的上底面周长为C，因为扇环的圆心角为180°，所以C＝π·SA，又C＝10×2π，所以SA＝20，同理SB＝40，故圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝eq \r(AB2－20－102)＝10eq \r(3)，体积V＝eq \f(1,3)π×10eq \r(3)×(102＋10×20＋202)＝eq \f(7 000\r(3),3)π，表面积S＝π(10＋20)×20＋100π＋400π＝1100π.
11．答案：CD
解析：对于A，∵圆柱的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，
∴圆柱的侧面积为S＝2πR×2R＝4πR2，故A错误；
对于B，∵圆锥的底面直径和高都与一个球的直径2R相等，
∴圆锥的侧面积为S＝πR·eq \r(2R2＋R2)＝eq \r(5)πR2，故B错误；
对于C，圆柱的侧面积为S＝2πR×2R＝4πR2，球面面积为S＝4πR2，
∴圆柱的侧面积与球面面积相等，故C正确；
对于D，圆柱的表面积为S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，
圆锥的表面积为S2＝πR·eq \r(2R2＋R2)＋πR2＝(eq \r(5)＋1)πR2，
球的表面积为S3＝4πR2，∴圆锥的表面积最小，故D正确．
12．答案：BC
解析：
依题作出图形，如图：
设正四面体的棱长为a，则它的外接球和内切球的球心重合，作AG⊥平面BCD，垂足为G，则G为△BCD的重心，且CG＝eq \f(2,3)CE＝eq \f(\r(3),3)a，则正四面体的高为AG＝eq \r(AC2－CG2)＝eq \f(\r(6),3)a，
设正四面体的外接球半径为R，内切球半径为r，
由图可知，＋＝R2，解得R＝eq \f(\r(6),4)a，r＝eq \f(\r(6),3)a－eq \f(\r(6),4)a＝eq \f(\r(6),12)a，
依题可得R－r＝2eq \r(6)，即eq \f(\r(6),4)a－eq \f(\r(6),12)a＝2eq \r(6)，解得a＝12，故C正确；
正四面体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π＝＝216π，故A错误；
正四面体的内切球的体积为V＝eq \f(4,3)πr3＝eq \f(4,3)π＝eq \f(4,3)π＝8eq \r(6)π，故B正确；
线段MN的最大值为R＋r＝eq \f(\r(6),4)a＋eq \f(\r(6),12)a＝3eq \r(6)＋eq \r(6)＝4eq \r(6)，故D错误．
13．答案：26π
解析：将相同的两个几何体，对接为圆柱，则圆柱的侧面展开的面积为斜截圆柱的侧面积的两倍，
所以斜截圆柱的侧面积S＝(5＋8)×2π×2×eq \f(1,2)＝26π cm2.
14．答案：1
解析：根据题意，设AB＝x，BC＝y，BB1＝z，因为长方体ABCD­A1B1C1D1体积为48，所以xyz＝48，
因此三棱锥B­EFG的体积VB­EFG＝VG­EBF＝eq \f(1,3)·S△EBF·BG＝eq \f(1,3)·eq \f(\f(x,2)·\f(y,2),2)·eq \f(z,2)＝eq \f(xyz,48)＝1.
15．答案：12eq \r(19)
解析：
由题意，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，BE＝eq \f(1,4)BB1＝2,4AB＝3AA1，可得AA1＝BB1＝CC1＝8，BE＝2，
在DD1上取点F，使得D1F＝2，连接A1F，CF，则有A1F＝CE，A1F∥CE，所以四边形A1ECF是平行四边形，
由勾股定理可得A1E＝eq \r(62＋62)＝6eq \r(2)，CE＝eq \r(22＋62)＝2eq \r(10)，A1C＝eq \r(62＋62＋82)＝2eq \r(34)，
所以cs∠A1EC＝eq \f(A1E2＋CE2－A1C2,2A1E×CE)＝eq \f(72＋40－136,2×6\r(2)×2\r(10))＝－eq \f(\r(5),10)，所以sin∠A1EC＝eq \f(\r(95),10)，
所以四边形A1ECF是平行四边形的面积为
A1E×EC×sin∠A1EC＝6eq \r(2)×2eq \r(10)×eq \f(\r(95),10)＝12eq \r(19).
16．答案：eq \f(1,3) 6π
解析：
如图添加的三棱锥为直三棱锥E­ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF­BCE，
因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，所以S△CBE＝eq \f(1,2)CE×BC＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2)，
直三棱柱ADF－BCE的体积为V＝S△EBCDC＝eq \f(1,2)×2＝1，添加的三棱锥的体积为eq \f(1,3)V＝eq \f(1,3)；
如图，分别取AF、BE的中点M、N，连接AE、MN交于点O，因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE、MN的中点，在直三棱柱ADF­BCE中，CE⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，因为DM＝eq \f(1,2)AF＝eq \f(\r(2),2)，MO＝1，所以DO2＝DM2＋MO2＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)，所以外接球的表面积为4πDO2＝6π.