2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

第三章 圆锥曲线与方程 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共32分)

1、(4分)若F是双曲线的右焦点，过点F向双曲线C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是(   )

A. B.2 C. D.

2、(4分)已知抛物线上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M纵坐标的最小值为(   )

A. B. C. D.1

3、(4分)已知双曲线的左、右焦点分别为，，过左焦点作圆的切线，切点为E，直线交双曲线的右支于点P，若，O为坐标原点，则双曲线的离心率是(   )

A. B. C. D.

4、(4分)设是的一个内角，且，则表示(   )

A.焦点在x轴上的椭圆  B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的双曲线

5、(4分)抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为(   )

A.1 B.2 C. D.

6、(4分)已知直线与拋物线交于A，B两点，且，交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为(   )

A. B. C. D.

7、(4分)若P是抛物线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为(   )

A. B. C. D.

8、(4分)过拋物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么AB的长为(   )

A.6 B.8 C.9 D.10

二、多项选择题(共24分)

9、(6分)已知双曲线C过点，且渐近线方程为，则下列结论中正确的是(   )

A.双曲线C的方程为

B.双曲线C的离心率为

C.曲线经过双曲线C的一个焦点

D.直线与双曲线C有两个公共点

10、(6分)已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，上顶点为P，且的面积为.双曲线的焦点和椭圆的焦点相同，且双曲线的离心率为，M是椭圆与双曲线的一个公共点.若，则下列说法中正确的是(   )

A. B. C. D.

11、(6分)下列曲线中焦点坐标为的是(   )

A. B. C. D.

12、(6分)已知经过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，设，，则下列结论中正确的是(   )

A.当AB与x轴垂直时，AB最小 B.

C.以弦AB为直径的圆与直线相离 D.

三、填空题(共16分)

13、(4分)已知点P是椭圆上动点，则点P到直线距离的最大值是_______________.

14、(4分)已知椭圆，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是____________.

15、(4分)离心率为2且与椭圆有共同焦点的双曲线方程是_______________.

16、(4分)若双曲线的右焦点与拋物线的焦点重合，则______________.

四、解答题(共28分)

17、(14分)已知Q是圆上的一个动点(点M为圆心)，点N的坐标为，线段QN的垂直平分线交线段QM于点C，动点C的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的轨迹方程；

(2)求直线与曲线E的相交弦长；

(3)曲线E的右顶点为B，直线与椭圆E相交于点S，T，则直线BS，BT的斜率分别为，且，，D为垂足，问：是否存在某个定点A，使得以AB为直径的圆经过点D?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.

18、(14分)已知拋物线以椭圆的右焦点为焦点F.

（1）求抛物线的方程；

（2）过点F作直线l与抛物线交于C，D两点，已知线段CD的中点M的横坐标为3，求弦CD的长度.

参考答案

1、答案：B

解析：设一条渐近线OA的方程为，则另一条渐近线OB的方程为.设点，.由，得，则，，则点.又，所以，化简，得，故双曲线C的离心率.

2、答案：A

解析：设直线AB的方程为，联立消去y并整理，得.由题意可得，即.设，，则，.因为，所以，，当且仅当，即时取等号，所以点M纵坐标的最小值为.

3、答案：C

解析：由，得E为的中点.连接OE，，则OE是的中位线，所以，.由双曲线定义可得，由勾股定理可得，即，所以离心率.

4、答案：B

解析：由，得.又，所以，，且，所以.方程可化为表示焦点在y轴上的椭圆.

5、答案：C

解析：抛物线的焦点为，双曲线的一条渐近线为，则焦点到渐近线的距离.

6、答案：C

解析：设，.因为直线OD的斜率为，，所以直线AB的斜率为-2，故直线AB的方程为①，将①代入抛物线方程，得，则.因为，，所以，则.因为，所以，所以.

7、答案：C

解析：设点，则点P到直线的距离，当时，d取得最小值.

8、答案：B

解析：抛物线的准线方程是，过抛物线的焦点作直线交拋物线于，两点，则.

9、答案：AC

解析：由渐近线方程为，可设双曲线方程为，代入点得，则，故A正确；双曲线C的离心率为，故B错误；曲线经过双曲线C的一个焦点，故C正确；因为直线与双曲线C的一条渐近线平行，所以有一个公共点，故D错误.故选AC.

10、答案：AC

解析：设双曲线的标准方程为，半焦距为c.因为椭圆的上顶点为P，且的面积为，所以，所以，所以，所以.设点M在第一象限，，，则，，所以.在中，由余弦定理可得，两边同除以，得，解得，所以，，，.故选AC.

11、答案：BC

解析：对于A，化为标准方程是，焦点坐标为，故A错误；对于B，由，得，，则，所以焦点坐标为，故B正确；对于C，由，得，，则，所以焦点坐标为，故C正确；对于D，由，得，，则，所以焦点坐标为，故D错误.故选BC.

12、答案：ABD

解析：设直线AB的斜率为k，倾斜角为.由题意，得点，则直线AB的方程为，代入，消去y并整理，得，所以，.因为，，所以，所以，故D正确；.因为，所以，所以当时，AB有最小值，故A正确；因为，，所以，故B正确；以弦AB为直径的圆的圆心为，则圆心到直线的距离为，所以该圆与直线相切，故C错误.故选ABD.

13、答案：

解析：设与直线平行的直线，联立消去y并整理，得.当直线l'与椭圆C相切时，则，解得，所以直线或.当P为直线与椭圆C的切点时，点P到直线的距离最大，此时直线与直线之间的距离为，所以点P到直线的距离的最大值为.

14、答案：

解析：设，，则，，，，两式相减，得，所以，即直线l的斜率是.

15、答案：

解析：设双曲线的方程为.由题意，得椭圆的焦点为，所以.因为，所以，则，所以双曲线的标准方程为.

16、答案：6

解析：由题意知拋物线的焦点为，而双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，即.

17、答案：(1)轨迹方程为.

(2)相交弦长为.

(3)存在定点满足条件.

解析：(1)因为点C在线段QN的垂直平分线上，

所以.

又QM是圆M的半径，

所以，

所以点E的轨迹是椭圆，

所以，，所以，

所以动点C的轨迹方程为.

(2)设直线与曲线E相交于点和点，联立

消去y并整理，得，

则，，，

所以弦长.

(3)设，，联立

消去y并整理，得，

则，

，，

，

化简，得，

即，

即，

解得或.

当时，直线过点B，不合题意；

所以，此时直线，且过定点.

又因为点D在以AB为直径的圆上，

所以点A在直线上，

所以存在定点满足条件.

18、答案：（1）由椭圆，可知，，则，即，

则椭圆的右焦点为，

所以抛物线的焦点为，

所以，所以，

所以拋物线的标准方程为.

（2）因为抛物线方程为，所以.

设C，D两点的横坐标分别为，.

因为线段CD的中点M的横坐标为3，

则，即，

故.

解析：