2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修二第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷

第六章 空间向量与立体几何 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共32分)

1、(4分)已知向量，，且，则的值是（    ）

A. B. C. D.1

2、(4分)已知 为空间的一组基底, 则下列向量也能作为空间的一组基底的是(   )
A.   B.
C.  D.

3、(4分)如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(   )

A．30° B．45° C．60° D．90°

4、(4分)已知直线过定点,且为其一个方向向量,则点到直线的距离为(   )

A. B. C. D.

5、(4分)如图，在长方体中，，，则直线和夹角的余弦值为（ ）

A.        B.       C.    D.

6、(4分)已知点，，，则的形状是(   )

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

7、(4分)若向量，且，则实数的值是（   ）

A.0 B.1 C. D.

8、(4分)已知向量，若共面，则等于（    ）

A. B.1 C.1或 D.1或0

二、多项选择题(共24分)

9、(6分)已知向量，，，下列等式中正确的是(   )

A.  B.

C.  D.

10、(6分)在四面体中，是棱的中点，且，则下列结论中

不正确的是（    ）

A. B. C. D.

11、(6分)已知二面角的大小为，点，点，，且，，，则两点间的距离可以是(   )

A.  B.  C. 3 D.

12、(6分)设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则(   )

A. B. C. D.

三、填空题(共16分)

13、(4分)在直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，，，四边形为正方形，M为中点，则直线与直线AB所成角的余弦值为______.

14、(4分)已知空间中单位向量，且，则的值为________.

15、(4分)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，，则直线AD与BC所成角的大小是_________.

16、(4分)已知向量，，且，则___________.

四、解答题(共28分)

17、(14分)如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.

(1)证明：B，E，D，F四点共面；

(2)若，，求直线AE与平面所成角的正弦值.

18、(14分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，G是线段上一点(不含)，在平面内过点G作平面交于点P.

(1)写出作点的步骤(不要求证明)；

(2)若，，P是的中点，求平面与平面所成锐二面角的大小.

参考答案

1、答案：A

解析：因为向量，，

所以，，

因为，

所以，解得：，

故选：A.

2、答案：B

解析：因为, 所以选项, D 中的向量共面, 不能作为空间的基底; 对于选项B,假设 共面, 则存在, 使, 所 以 无解,所以 不共面,可以作为空间的一组基底.故选 B

3、答案：A

解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设，

则.

则，

设平面的法向量为,则，

可求得，

则.

∴，

∴直线与平面所成的角为.

故选A.

4、答案：A

解析：,则点到直线的距离.

5、答案：D

解析：以为原点，分别以，，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，

所以，，

所以，

所以直线和夹角的余弦值为

6、答案：C

解析：，，，所以，，，所以.所以为直角三角形.故选C.

7、答案：C

解析：因为，

所以，

因为，

所以，

解得．

故选：C．

8、答案：C

解析：因为共面，所以存在不全为0的实数使得，

即，解得.

9、答案：BCD

解析：易得.

，，所以A选项错误；

，所以，所以B选项正确；

，所以C选项正确；

，

即，，所以D选项正确.

故选BCD.

10、答案：ABD

解析：∵，

∴，，则，故A，B，D错误，C正确.

故选：ABD.

11、答案：ABC

解析：如图，设，

，

则

，

，，

结合选项可得，P，Q两点间的距离可以是，，3.

故选：ABC

12、答案：ACD

解析：

13、答案：

解析：不妨设，因为，，所以，取中点N，连结MN，，所以，所以或其补角为异面直线所成角，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面ABC，所以，因为，，所以平面，所以，因为，所以，在中，，，所以，则.

14、答案：

解析：∵ 单位向量 ，且 ，

故答案为:.

15、答案：

解析：

16、答案：-4

解析：因，，则而，所以，.故答案为：-4.

17、答案：(1)证明过程见解析.

(2)正弦值为.

解析：(1)证明：连接BE，，取的中点为G，

连接AG，GE，

因为E，G分别为，的中点，

由已知可得四边形ABEG为平行四边形，

故.

因为F是的中点，所以，

所以，

所以B，F，，E四点共面.

(2)连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，

以O为原点，OA、OB、分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，取.

设直线AE与平面所成角为，故，

所以直线AE与平面所成角的正弦值为.

18、答案：（1）第一步：在平面内作交于点H；

第二步：在平面内作交于P；

第三步：连接，点P，GP即为所求.

(2)二面角的大小为.

解析：(2)因P是的中点，，所以H是的中点，

而，所以是的中点.

连交于，连，设在底面的射影为，

因为，所以，即为的外心，所以与重合，

因，，

所以，，

过作//交于，以分别为轴建立空间直角坐标系.

，

所以，设平面的法向量为，

则，取，则，

所以.又平面，故为平面的法向量，

设平面与平面所成锐二面角的大小为，则，

因为，所以.故平面与平面所成锐二面角的大小为.