华师大版八年级数学上册同步教学教案--13．5　逆命题与逆定理

2．线段垂直平分线

【教学目标】

知识与技能

掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵 活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．

过程与方法

通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程，体验逻辑推理的数学方法．

情感、态度与价值观

通过认识上的升华，使学生加深对命题证明的认识，使学生发现数学．

【重点难点】

重点

线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．

难点

灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题．

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

如图，l是线段AB的垂直平分线，点C在直线l上，CA与CB有什么关系？写出你的证明过程．

二、师生互动，探究新知

在学生交流发言基础上，教师板书：线段垂直平分线的性质定理，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

巩固练习　材料P96第1、2题．

教师提问：你能写出这个性质定理的逆命题吗？它是不是真命题？

学生完成并回答．

下面我们一起来证明它，见教材P95.

教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系？

学生回答，教师板书．线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上．

三、随堂练习，巩固新知

1．已知MN是线段AB的垂直平分线，C、D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的关系是(　　)

A．∠CAD＜∠CBD　　　B．∠CAD＝∠CBD

C．∠CAD＞∠CBD  D．无法判断

2．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，DE垂直平分AC，分别交AB、AC于D、E，∠A＝50°，是∠DCB的度数是________．

【答案】

1．B　2.15°

四、典例精析，拓展新知

如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.

求证：BE垂直平分CD.

【答案】

∵BD＝BC，

∴点B在CD的垂直平分线上，∠BCD＝∠BDF.

又∵∠ACB＝90°＝∠BDE，

∴∠ACB－∠BCD＝∠BDE－∠BDC，

即∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，

∴E在CD的垂直平分线上．

根据两点确定一条直线可得：BE垂直平分CD.

【教学说明】

任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点，在后面将学习这一点是三角形的外心，锐角三角形的各边垂直平分线的交点在三角形内，直角三角形各边垂直平分线的交点，在斜边的中点，钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外；要证明某直线是某线段的垂直平分线，可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等．

五、运用新知，深化理解

如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC与△ABD的周长分别为18 cm和12 cm，求线段AE的长．

【答案】

∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝DC，AE＝EC.

△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝18(cm)，①

△ABD的周长为AB＋AD＋BD＝12(cm)，②

①－②，得AC＝6 cm，∴AE＝AC＝3 cm.

六、师生互动，课堂小结

这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上教师归纳总结．

1．引导学生作知识总结：线段垂直平分线的性质、判定定理，三角形三边的垂直平分线交于一点．

2．教师扩展：利用两个定理证明线段相等，线段垂直时不用再证明全等，可简化解题过程．

【教学反思】

本节课在教学过程中，首先提出问题，让学生回答，通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理，接着写出性质定理的逆命题．教师与学生一起证明这个定理，并在习题中运用这两个定理，得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论．

在教学过程中，应注意让学生搞清两个定理的条件与结论，并充分调动学生的积极性，体会解决问题成功的乐趣．