2021-2022学年山东省青岛市城阳区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年山东省青岛市城阳区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图形中，是轴对称图形的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列事件为必然事件的是(    )

A. 一名射击运动员射击一次，中靶
B. 彩票的中奖率是，那么买张彩票必有张中奖
C. 掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数
D. 一个三角形，其任意两边之和大于第三边

4. 某种原子的质量为克，若用科学记数法表示这个数，应为克．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，中，平分，交于点，是边上的一点，连接，使，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

6. 某商场为了增加销售额，推出“六月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡六月份在该商场一次性购物超过元以上者，超过元的部分按折优惠”，在大酬宾活动中，李明到该商场为单位购买单价为元的办公用品件，则应付货款元与商品件数的函数关系式是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，点是三边垂直平分线的交点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，王爷爷以每千克元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了千克西瓜之后，余下的每千克降价元，全部售完．销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示．根据图象提供的信息：降价前销售金额元与售出西瓜千克之间的函数关系式是降价元后西瓜售价每千克元．王爷爷从批发市场共购进千克西瓜．王爷爷这次卖瓜赚了元钱．以上问题，结论正确的有个．(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24分）

9. 若多项式是一个完全平方式，则的值是______．
10. 一个不透明袋子里有枚冰墩墩纪念币和若干雪容融纪念币，在不允许将它们倒出来的前提下，小红为估计袋子中雪容融纪念币数量，采用如下方法：从袋子中一次摸出枚币，求出冰墩墩纪念币数与的比值，再把纪念币放回袋中摇匀．不断重复上述过程次，得到冰墩墩纪念币数与的比值分别是，，，，，根据上述数据，小红可估计袋子中大约有______．
11. 如图，小华在的地板砖上行走，并随机停留在某一块方砖上，则它停留在阴影方砖上的概率是______．

12. 如图，，，，则为______

13. 我们知道“距离地面越高，温度越低”，下表给出了所在位置的温度与距离地面高度之间的大致关系．根据下表，请回答以下几个问题：

某航班飞机执行任务，飞行至高空离地面米时，侧挡风玻璃突然破裂，名飞行员冷静处置，创造了世界航空史上的奇迹，请你计算出飞机发生事故时所在高空的温度为______假设当时所在位置的地面温度为．

14. 如图，中，，，，，与的角平分线相交于点，过点作，垂足为点，则线段的长为______．

15. 已知，实数满足，则______．
16. 如图，将一个边长为的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有个结点．如图，将一个边长为的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有个结点．按照上面的方式，将一个边长为的正三角形的三条边等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有______个结点填写最终个结点．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 已知：线段和．
    求作：，使得，，．
     

18. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
19. 先化简，再求值：，其中，．
20. 如图是小丽设计可自由的均匀转盘，将其等分为个扇形，每个扇形有个有理数，转得下列各数的概率是多少？
    转得非负数的概率是多少？
    转得整数的概率是多少？
    若小丽和妈妈做游戏，转得负整数小丽获胜；若转得的数绝对值大于等于妈妈获胜，这个游戏公平吗？请说明理由．

21. 已知：，．
    求证：≌；
    若，，求的度数．

22. 某单位组织员工去郊区团建，安排班车去送，大多数员工选择在单位乘车，为了方便还安排了第二个站点接员工，在第二个站点停车的时间为分钟．李华选择从单位出发开私家车去目的地．如图是班车和私家车离开单位的路程千米随时间分钟的变化图象．分析图中的信息，回答下列问题：
    李华晚出发______分钟．
    ______先到目的地．填班车或私家车
    班车第二次开动后的速度是______．
    李华私家车出发后的速度是______．
    李华私家车出发后在距离目的地______和班车相遇．

23. 已知：点，，，在同一条直线上，，，．
    求证：；
    ．

24. 提出问题：各边长都是正整数，最大边长为的三角形共有多少个？
    问题建模：为解决上面的数学问题，我们先研究下面的数学问题：
    在这个正整数中，每次取两个正整数可重复，使得所取的两个正整数之和大于，有多少种不同的取法？
    为了找到解决问题的方法，我们把上面数学模型简单化．
    探究一：
    在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有多少种不同的取法？
    第一步：在这个正整数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于，根据题意，有下列取法：，，，，，，，；而与，与，是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．
    第二步：在这个正整数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于，有下列取法：，，因此有种不同的取法．
    综上所述，在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有种不同的取法．
    探究二：
    在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有多少种不同的取法？
    第一步：在这个正整数中，每次取两个不同的数，使得所取的两个数之和大于，根据题意，有下列取法：，，，，，，，，，，，；而与，与，是同一种取法，所有上述每一种取法都重复过一次，因此共有种不同的取法．
    第二步：在这个正整数中，每次取两个相同的数，使得所取的两个数之和大于，有下列取法：，，因此有种不同的取法．
    综上所述，在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有种不同的取法．
    探究三：
    在在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有______种不同的取法；
    探究四：
    在在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有______种不同的取法；
    探究五：
    在为偶数这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有______种不同的取法；用含的代数式表示；
    探究六：
    在为奇数这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有______种不同的取法；用含的代数式表示
    各边长都是正整数，最大边长为的三角形共有______个；计算出最后结果
    各边长都是正整数，最大边长为的三角形共有______个．计算出最后结果
25. 已知，在中，，，平分交于点，点是边上的一动点不与点、重合，连接．
    如图，若运动到上，过点作的垂线交于点，于点，于点，求证：；
    如图，若运动到上，过点作的垂线与延长线交于点，延长交延长线于点，试猜想、的数量关系并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：第个是轴对称图形，故此选项符合题意；
第个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第个不是轴对称图形，故此选项不合题意；
第个是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，原计算错误，故此选项不符合题意；
B.，原计算错误，故此选项不符合题意；
C.，原计算错误，故此选项不符合题意；
D.，原计算正确，故此选项符合题意．
故选：．
根据同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行解答即可．
本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方等知识，掌握同底数幂的乘法法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方的运算法则是正确解答的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、一名射击运动员射击一次，中靶，是随机事件，故A不符合题意；
B、彩票的中奖率是，那么买张彩票不一定有张中奖，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是质数，是随机事件，故C不符合题意；
D、一个三角形，其任意两边之和大于第三边，是必然事件，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：克克．
故选：．
绝对值小于的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据，而，根据已知条件求出即可．
本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得：


，
，
故选：．
根据“超过元的部分按折优惠”可列出函数关系式．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确列出函数关系式．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接并延长至，
点是三边垂直平分线的交点，
，，
，，
，，
，
故选：．
连接并延长至，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的外角计算，得到答案．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由图可知，降价前销售单价为元千克，
降价前销售金额元与售出西瓜千克之间的函数关系式是，故正确；
降价元后西瓜售价每千克元，故正确；
王爷爷从批发市场共购进千克，故正确；
王爷爷这次卖瓜赚了元，故正确，
正确的有，共个，
故选：．
由图可得降价前销售单价为元千克，即可判断正确；降价元后西瓜售价每千克元，可判断正确，王爷爷从批发市场共购进千克，可判断正确；王爷爷这次卖瓜赚了元，可判断正确．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

9.【答案】或 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
解得或，
故答案为：或．
根据完全平方公式展开求解即可．
本题主要考查完全平方公式的知识，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
 

10.【答案】枚 

【解析】解：由题意知，袋中冰墩墩纪念币数与的比值约为，
所以袋中纪念币的总数量为枚，
所以可估计袋中雪容融纪念币数量为枚，
故答案为：枚．
由题意知，袋中冰墩墩纪念币数与的比值约为，据此知袋中纪念币的总数量为枚，继而得出答案．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
 

11.【答案】 

【解析】解：图中共有个方格，其中阴影部分占了个方格，
阴影方砖在整个方格中所占面积的比值，
它停留在阴影方砖上的概率是．
故答案为：．
先求出阴影方砖在整个方格中所占面积的比值，再根据其比值即可得出结论．
本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式，求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值是本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
，
，，
．
故答案为：．
先根据平行线的性质求出，再根据三角形外角的性质可求的度数．
此题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据表格可知，是的一次函数，，
将，和，分别代入得：
，
解得：，，
，
将代入解析式得：
，
飞机发生事故时所在高空的温度为负，
故答案为：．
根据表格判断是的一次函数，利用待定系数法求函数解析式，换算单位后再将代入解析式即可求得答案．
本题考查了一次函数的实际应用，关键在于利用待定系数法正确求得函数解析式，并代入解出答案．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，于，连接，
与的角平分线相交于点，过点作，
．
，
即．
则．
故答案是：．
过点作于，于，利用角平分线的性质推知；最后根据三角形的面积公式解答．
本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

15.【答案】 

【解析】解：由完全平方公式知，，
故答案为：．
根据完全平方公式计算即可．
本题主要考查完全平方公式的知识，熟练掌握并灵活运用完全平方公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将一个正三角形的三条边平分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下：共有个结点，
将一个正三角形的三条边三等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数是从上往下：共有个结点，

将一个正三角形的三条边等分，该三角形被剖分的网格中的结点个数从上往下共有：个结点，
故答案为：．
根据题意总结规律，根据规律计算即可．
本题考查的是图形的变化规律，根据图形的变化正确总结出规律是解题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示，为所求的三角形，
 

【解析】先作，然后的一边上截取，再作出，然后以点为顶点作与的另一边相交于点，则即为所求作的三角形．
本题考查了作图复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作已知角的角平分线，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．
 

18.【答案】解：

；



；


；


， 

【解析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方可以解答本题；
根据负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方可以解答本题；
根据单项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题；
根据单项式乘多项式和多项式除以单项式的方法可以解答本题．
本题考查整式的混合运算、负整数指数幂、零指数幂和有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当，时，
原式

． 

【解析】原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解：由题意可知，转盘中有个数，其中非负数为：，，，，，，，这个，
所以转得非负数的概率为．

由题意可知，转盘中有个数，其中整数为：，，，，，，，，，这个，
所以转得整数的概率为．

由题意可知，转盘中有个数，其中负整数为：，，，这个，转得负整数的概率为，故小丽获胜的概率为：；
这个数中转得的数绝对值大于等于为：，，，，，这个，转得绝对值大于等于的数的概率为，故妈妈获胜的概率为：；
因为，
故这个游戏不公平． 

【解析】由转盘中有个数，其中非负数为：，，，，，，，这个，根据概率公式求解即可；
由转盘中有个数，其中整数为：，，，，，，，，，这个，根据概率公式求解即可；
根据概率公式分别计算出小丽和妈妈锐获胜的概率，比较是否相等即可得出答案．
本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】证明：在和中，
，
≌；
解：，，
，
． 

【解析】利用即可证明≌；
根据三角形内角和定理即可解决问题．
本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

22.【答案】  私家车       

【解析】解：由图象知，李华晚出发分钟；
故答案为：；
由图象知，私家车先到目的地；
故答案为：私家车；
班车第二次开动后的速度是，
故答案为：；
李华私家车出发后的速度是，
故答案为：；
私家车出发后需用和班车相遇，
此时私家车行驶的路程为，
距离目的地，
故答案为：．
由图象知，李华晚出发分钟；
由图象知，私家车先到目的地；
由速度路程速度可得班车第二次开动后的速度；
由速度路程速度可得李华私家车出发后的速度；
求出私家车出发后和班车相遇所需时间，再算出私家车行驶的路程，即可得到答案．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
 

23.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
≌，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
． 

【解析】证明≌，即可解决问题；
证明≌，可得，再根据平行线的判定即可解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
 

24.【答案】           

【解析】解：根据题意，有下列取法：，，，，；，，；，，，，共有种取法．
所以，当时，共有种不同的取法．
故答案为：；
根据题意，有下列取法：，，，，，；，，，；，；，，，，共有种取法．
所以，当时，共有种不同的取法．
故答案为：；
在为偶数这个正整数中，当为偶数时，使得所取的两个数之和大于，共有种不同的取法．
故答案为：；
在为奇数这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，共有种不同的取法．
故答案为：；
根据三角形三边关系，即相当于在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，
共有种不同取法，
故各边长都是正整数，最大边长为的三角形共有个．
故答案为：；
根据三角形三边关系，即相当于在这个正整数中，每次取两个数可重复，使得所取的两个数之和大于，
共有种不同取法，
故各边长都是正整数，最大边长为的三角形共有个．
故答案为：．
根据这个自然数中，每次取两个不同的数及每次取两个相同的数相同方法列式计算可得；
根据这个自然数中，每次取两个不同的数及每次取两个相同的数相同方法列式计算可得；
为偶数时可类比在这个自然数中，每次取两个不同的数及每次取两个相同的数相同方法列式化简可得；
为奇数时可类比在这个自然数中，每次取两个不同的数及每次取两个相同的数相同方法列式化简可得；
根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是正整数，最大边长为的三角形的个数是为偶数时的取法，再加上两边相等的种取法，列式计算可得；
根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则各边长都是正整数，最大边长为的三角形的个数是为奇数时的取法，再加上两边相等的种取法，列式计算可得．
此题考查了排列与组合问题，是一道数字规律的问题和三角形的三边关系，能够从特殊推广到一般．
 

25.【答案】证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，平分，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：，
证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，平分，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据证明三角形全等即可得结论；
结论：，证明≌，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．