2022年广西桂林中考数学复习训练：第20讲 矩形、菱形、正方形(含答案)

这是一份2022年广西桂林中考数学复习训练：第20讲 矩形、菱形、正方形(含答案)，共9页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(B)
A．OA＝OC，OB＝OD
B．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
2．(2021·绍兴中考)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是(B)
A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形
B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形
C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形
D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形
3．如图，四边形ABCD是菱形，E，F分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是(C)
A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC
C．AE＝AF D．BE＝DF
4．(2021·威海中考)如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为(B)
A． eq \r(5) B．2 eq \r(5) C．6 D．2 eq \r(13)
5．(2021·黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__∠ABC＝90°(答案不唯一)__，使平行四边形ABCD是矩形．
6．(2021·新疆生产建设兵团中考)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)四边形AEFD是平行四边形．
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，在△ABE和△DCF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝DC，,∠ABE＝∠DCF，,BE＝CF，)) ∴△ABE≌△DCF(SAS)；
(2)∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，
∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形．
7．(2021·南充期末)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.
(1)求证：四边形ABEF是正方形；
(2)若AD＝AE，求证：AB＝AG；
(3)在(2)的条件下，已知AB＝1，求OD的长．
【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，
∴四边形ABEF是正方形；
(2)∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，
在△AGD和△ABE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠DAG＝∠BAE，,∠AGD＝∠ABE，,AD＝AE，))
∴△AGD≌△ABE(AAS)，∴AB＝AG；
(3)∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝1，
∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，
∵AD＝AE，∴AD－AF＝AE－AG，即DF＝EG，
在△DFO和△EGO中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠FOD＝∠GOE，,∠DFO＝∠EGO＝90°，,DF＝EG，))
∴△DFO≌△EGO(AAS)，∴FO＝GO，
∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，
∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝ eq \r(2) OF＝ eq \r(2) OG，
∴DG＝DO＋OG＝ eq \r(2) OG＋OG＝1，∴OG＝ eq \f(1,1＋\r(2)) ＝ eq \r(2) －1，∴OD＝ eq \r(2) ( eq \r(2) －1)＝2－ eq \r(2) .
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为(A)
A．4 eq \r(5) B．4 eq \r(3) C．10 D．8
9．已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝ eq \f(1,2) BC.
证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF綊BC；②∴CF綊AD.即CF綊BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝ eq \f(1,2) BC.则正确的证明顺序应是(A)
A．②→③→①→④ B．②→①→③→④
C．①→③→④→② D．①→③→②→④
10．(2021·十堰中考)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．
11．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__8 eq \r(5) __．
12. (2021·来宾质检)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.
(1)若AO＝ eq \f(1,2) BD，求证：四边形ABCD为矩形；
(2)若AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：AE＝CF.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝ eq \f(1,2) BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE与△CDF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AEB＝∠CFD，,∠ABE＝∠CDF，,AB＝CD，))
∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.
13.
如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.
(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.
∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝ eq \f(1,2) AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG.
∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．
∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；
(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝ eq \f(1,2) AD＝5；
由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝ eq \r(AE2－EF2) ＝3，
∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.
【核心素养题】
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E，F移动过程中：
(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；
(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．
【解析】(1)∠EAF的大小没有变化．理由如下：
根据题意，知AB＝AH，∠B＝90°，
又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°，
∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE(HL)，
∴∠BAE＝∠HAE，
同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，
∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝ eq \f(1,2) ∠BAH＋
eq \f(1,2) ∠HAD＝ eq \f(1,2) (∠BAH＋∠HAD)＝ eq \f(1,2) ∠BAD，
又∵∠BAD＝90°，∴∠EAF＝45°，
∴∠EAF的大小没有变化．
(2)△ECF的周长没有变化．理由如下：
∵由(1)知，Rt△BAE≌Rt△HAE，
△HAF≌△DAF，∴BE＝HE，HF＝DF，
∴C△EFC＝EF＋EC＋FC＝EB＋DF＋EC＋FC＝2BC，∴△ECF的周长没有变化．
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