2022年广西梧州市中考数学试卷(含解析 )

2022年广西梧州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在下列立体图形中，主视图为矩形的是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 下列命题中，假命题是(    )

A. 的绝对值是
B. 对顶角相等
C. 平行四边形是中心对称图形
D. 如果直线，，那么直线

4. 一元二次方程的根的情况(    )

A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

5. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，，是的角平分线，过点分别作，，垂足分别是点，，则下列结论错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7. 已知一组数据，，，，，，，那么是这组数据的(    )

A. 平均数但不是中位数 B. 平均数也是中位数
C. 众数 D. 中位数但不是平均数

8. 下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，是的外接圆，且，，在上取点不与点，重合，连接，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图，以点为位似中心，作四边形的位似图形，已知，若四边形的面积是，则四边形的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，直线轴，且交抛物线于点，，下列结论错误的是(    )

A.
B. 若实数，则
C.
D. 当时，

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13. 若，则______．
14. 在平面直角坐标系中，请写出直线上的一个点的坐标______．
15. 一元二次方程的根是______．
16. 如图，在中，，点，分别是，边上的中点，连接，如果，，那么的长是______

17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，当时，的取值范围是______．

18. 如图，四边形是的内接正四边形，分别以点，为圆心，取大于的定长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，若，则，，所围成的阴影部分面积为______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

19. 计算：．
    化简：．
20. 解方程：．
21. 如图，在▱中，，，，分别是，，，上的点，且，求证：．

22. 某校团委为了解学生关注“年北京冬奥会”情况，以随机抽样的方式对学生进行问卷调查，学生只选择一个运动项目作为最关注项目，把调查结果分为“滑雪”“滑冰”“冰球”“冰壶”“其他”五类，绘制成统计图和图．
    
    本次抽样调查的学生共______人；
    将图补充完整；
    在这次抽样的学生中，挑选了甲，乙，丙，丁四名学生进行相关培训，最后从这四名学生中随机抽取名进行“爱我北京冬奥”主题演讲．请用画树状图法或列表法求出抽中两名学生分别是甲和乙的概率．
23. 今年，我国“巅峰使命”珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度．
    如图，在平面内，点，，在同一直线上，，垂足为点，，，，求的高度．精确到
    参考数据：，，，

24. 梧州市地处亚热带，盛产龙眼．新鲜龙眼的保质期短，若加工成龙眼干又叫带壳圆肉则有利于较长时间保存．已知的新鲜龙眼在无损耗的情况下可以加工成的龙眼干．
    若新鲜龙眼售价为元在无损耗的情况下加工成龙眼干，使龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，则龙眼干的售价应不低于多少元？
    在实践中，小苏发现当地在加工龙眼干的过程中新鲜龙眼有的损耗，为确保果农的利益，龙眼干的销售收益应不低于新鲜龙眼的销售收益，此时龙眼干的定价取最低整数价格．
    市场调查还发现，新鲜龙眼以元最多能卖出，超出部分平均售价是元，可售完．果农们都以这种方式出售新鲜龙眼．
    设某果农有新鲜龙眼，他全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差为元，请写出与的函数关系式．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，抛物线恰好经过这两点．
    求此抛物线的解析式；
    若点的坐标是，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点是点．
    写出点的坐标，并判断点是否在此抛物线上；
    若点是轴上的任一点，求取最小值时，点的坐标．

26. 如图，以为直径的半圆中，点为圆心，点在圆上，过点作，且连接，分别交，于点，，与交于点，若．
    求证：∽；
    是的切线．
    求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数是．
故选：．
应用倒数的定义进行计算即可得出答案．
本题主要考查了倒数，熟练掌握倒数定义进行求解是解决本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：圆柱的主视图是矩形，故本选项符合题意；
B.球的主视图是圆，故本选项不符合题意；
C.圆锥的主视图是等腰三角形，故本选项不符合题意；
D.三棱锥形的主视图是三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．
本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
 

3.【答案】 

【解析】解：的绝对值是，故A是假命题，符合题意；
对顶角相等，故B是真命题，不符合题意；
平行四边形是中心对称图形，故C是真命题，不符合题意；
如果直线，，那么直线，故D是真命题，不符合题意；
故选：．
根据绝对值，中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理逐项判断．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握绝对值、中心对称等概念和相交线、平行线的相关定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

5.【答案】 

【解析】解：
所以不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：．
求出两个不等式的公共解，并将解集在数轴上表示出来即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到是关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，是的角平分线，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．
由等腰三角形的性质可得，，，由“”可证≌，可得．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数的中位数是，平均数是，众数是，
所以是这组数据的平均数也是中位数．
故选：．
应用众数，中位数，算术平均数的计算方法进行计算即可得出答案．
本题主要考查了众数，中位数，算术平均数，熟练掌握众数，中位数，算术平均数的计算方法进行求解是解决本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，所以选择计算正确，故A选项不符合题意；
B.因为，所以选择计算正确，故B选项不符合题意；
C.因为，所以选择计算正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选择计算不正确，故D选项符合题意．
故选：．
A.应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
B.应用积的乘方法则进行计算即可得出答案；
C.应用二次根式加减法则进行计算即可得出答案；
D.应用完全平方公式进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握二次根式的加减，同底数幂乘法，积的乘方，完全平方公式进行求解是解决本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可得直线和直线交点坐标是，
方程组组的解为．
故选：．
由图象交点坐标可得方程组的解．
本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中与的值为方程组的解．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
故选：．
利用等腰三角形的性质可得，从而利用圆内接四边形的性质可求出，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握等腰三角形的性质，以及圆内接四边形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：以点为位似中心，作四边形的位似图形，，
，
则四边形面积为：．
故选：．
直接利用位似图形的性质得出面积比进而得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出面积比是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据函数图象可知，根据抛物线的对称轴公式可得，
，
，，
故A正确，不符合题意；
函数的最小值在处取到，
若实数，则，即若实数，则故B正确，不符合题意；
令，则，即抛物线与轴交于点，
当时，，．
当时，故D正确，不符合题意；
，
，没有条件可以证明故C错误，符合题意；
故选：．
根据函数图象可知，由此可判断出；根据抛物线的对称轴可得出，也可得出函数的最小值，在处取到，由此可判断；令，则，即抛物线与轴交于点，根据函数图象可直接判断；没有直接条件判断．
本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入中，
原式．
故答案为：．
把代入中，计算即可得出答案．
本题主要考查了代数式求值，熟练掌握代数式求值的方法进行求解是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：令，则，
直线经过点，
直线上的一个点的坐标为，
故答案为：答案不唯一．
令，计算出对应的值即可得出结论．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，由解析式中的的值求得对应的值是解答此类问题的方法．
 

15.【答案】， 

【解析】解：，
或，
，，
故答案为：，．
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：点，分别是，边上的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理可得的长，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得的长，进一步即可求出的长．
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：反比例函数的图象经过点，，
，
．
．
由图象可知：第二象限中点的右侧部分和第四象限中点的部分满足，
当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
利用待定系数法求得点坐标，结合图象，利用数形结合法解答即可．
本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，反比例函数的性质，待定系数法，利用数形结合法解答是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，
由题意可知，直线垂直平分线段，
，
，
为等边三角形，
，
四边形是的内接正四边形，
，
，
，




．
故答案为：．
连接由题意可知，为等边三角形，推出，即可求出答案．
本题考查了正多边形与圆，正确运用扇形面积公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
原式，
． 

【解析】根据算术平方根的性质，实数的运算法则解答即可；
根据整式的运算法则解答即可．
本题主要考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】解：去分母得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根． 

【解析】方程两边同时乘以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
本题考查了解分式方程，正确把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行四边形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：人，
故答案为：；
人，
补全频数分布直方图如下：

用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有种可能出现的结果情况，其中抽取的人是甲、乙的有种，
所以抽中两名学生分别是甲和乙的概率为．
从两个统计图中可知喜欢“冰球”的有人，占调查人数的，根据频率进行计算即可；
求出样本中喜欢“滑冰”的人数即可；
利用列表法列举出所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法求概率，掌握频率以及列举出所有可能出现的结果是正确解答的前提．
 

23.【答案】解：设，
在中，
，
，
．
在中，
，
，
．
，
，
解得：．
的高度约为米． 

【解析】设，利用直角三角形的边角关系定理分别表示出，的长度，利用列出方程，解方程即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用，正确利用直角三角形的边角关系定理选择恰当的关系式是解题的关键．
 

24.【答案】解：设龙眼干的售价为元，新鲜龙眼共千克，
总销售收益为元，
加工成龙眼干后共千克，
总销售收益为元，
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，
解出：，
故龙眼干的售价应不低于元；
千克的新鲜龙眼一共可以加工成千克龙眼干，
设龙眼干的售价为元千克，则龙眼干的总销售收益为元，
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，
龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，
，
解得：，
为整数，
最小为，
龙眼干的销售总收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差；
当千克时，新鲜龙眼的总收益为元，龙眼干的总销售收益为元，
此时全部加工成龙眼干销售获得的收益与全部以新鲜龙眼销售获得的收益之差元，
综上，与的函数关系式为． 

【解析】设龙眼干的售价为元，新鲜龙眼共千克，得到总收益为元；加工成龙眼干后总收益为元，再根据龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益得到不等式，解出即可；
设龙眼干的售价为元千克，当千克时求出新鲜龙眼的销售收益为元，龙眼干的销售收益为元，根据“龙眼干的销售收益不低于新鲜龙眼的销售收益，且龙眼干的定价取最低整数价格”得到，解出；然后再当千克时同样求出新鲜龙眼收益与龙眼干收益，再相减即可求解．
本题考查了一元一次不等式的应用、一次函数的实际应用等，本题的关键是读懂题意，明确题中的数量关系，正确列出函数关系式或不等式求解．
 

25.【答案】解：直线分别与，轴交于点，，
当时，；当时，，
，，
抛物线恰好经过这两点．
，
解得，
；
将绕着点逆时针旋转得到，
，，，轴，
，
当时，，
点在抛物线上；
过点作，交轴于，连接，，

，，
，，
，
，
，
，
当点、、三点共线时，最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
当时，，
． 

【解析】根据直线解析式可得点、的坐标，代入二次函数解析式，解方程即可；
由旋转的性质可得，当时，，可知点在抛物线上；
根据，得，则，当点、、三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线的解析式，从而解决问题．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，旋转的性质，三角函数，两点之间、线段最短等知识，利用三角函数将转化为的长是解题的关键．
 

26.【答案】证明：，
，
，
∽；
，
，
，
，
是半圆的半径，
是的切线；
解：过点作交于，
设圆的半径为，
，，
，，
由勾股定理得：，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
是的切线，
，即，
解得：，
，
． 

【解析】根据平行线的性质得到，根据对顶角相等得到，根据相似三角形的判定定理证明∽；
根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理证明结论；
过点作交于，设圆的半径为，根据勾股定理用表示出，进而求出，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质求出，进而求出，计算即可．
本题考查的是切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．