湖南省株洲市2022年中考数学试卷解析版

湖南省株洲市2022年中考数学试卷

一、单选题

1．－2的绝对值是（）                               

A．2 B． C． D．－2

【答案】A

【知识点】绝对值及有理数的绝对值

【解析】【解答】解：−2的绝对值是2，故答案为：A.

【分析】一个负数的绝对值等于它的相反数。

2．在0、、－1、这四个数中，最小的数是（　　）

A．0 B． C．－1 D．

【答案】C

【知识点】实数大小的比较

【解析】【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得：，

∴在0、、－1、这四个数中，最小的数是－1.

故答案为：C.

【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可.

3．不等式的解集是（　　）.

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】解一元一次不等式

【解析】【解答】解：4x−1<0

移项得：4x<1

不等号两边同时除以4，得：x<

故答案为：D.

【分析】根据移项、系数化为1的步骤可得不等式的解集.

4．某路段的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的车速数据如下：67、63、69、55、65，则该组数据的中位数为（　　）

A．63 B．65 C．66 D．69

【答案】B

【知识点】中位数

【解析】【解答】解：将原数据排序为：55、63、65、67、69，

所以中位数为：65.

故答案为：B.

【分析】将数据按照由小到大的顺序进行排列，找出最中间的数据即为中位数.

5．下列运算正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方；幂的乘方

【解析】【解答】解：A、，故本选项正确，符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项错误，不符合题意.

故答案为：A.

【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方，先对每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断D.

6．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题

【解析】【解答】解：令x=0， y=1，

∴一次函数的图象与y轴的交点的坐标为(0，1）.

故答案为：D.

【分析】令直线方程中的x=0，求出y的值，可得一次函数的图象与y轴的交点坐标.

7．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【知识点】代入消元法解二元一次方程组

【解析】【解答】解：将①式代入②式得，

，即.

故答案为：B.

【分析】直接将①代入②中，即用（x-1）替换②中的y，然后去括号可得结果.

8．如图所示，等边的顶点在⊙上，边、与⊙分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：△ABC是等边三角形，

，

，

故答案为：C.

【分析】根据等边三角形的性质可得∠A=60°，由圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠DFE=180°，据此计算.

9．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（　　）

A． B．是直角三角形

C． D．

【答案】D

【知识点】平行线的性质；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴△ACE是直角三角形，故B选项正确；

∵，，

∴，

∴，

∴，，故A选项正确；

∴BC为Rt△ACE斜边上的中线，

∴，故C选项正确；

现有条件不足以证明BE=CE，故D选项错误.

故答案为：D.

【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=OC，由平行线的性质可得∠ACE=∠AOB=90°，据此判断B；易证△ACE∽△AOB，根据相似三角形的性质可判断A；根据直角三角形斜边上中线的性质可判断C.

10．已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【知识点】二次函数图象与系数的关系

【解析】【解答】解：对于二次函数，

令，则，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

∵，

∴，

∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，

∴可以排除A选项和D选项；

B选项和C选项中，抛物线的对称轴，

∵，

∴，

∴抛物线开口向下，可以排除B选项.

故答案为：C.
【分析】令x=0，得y=-c，结合c>0可得抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，对称轴为x=，结合各个图象确定出a的正负，据此判断.

二、填空题

11．计算：3+（﹣2）＝　     　.

【答案】1

【知识点】有理数的加法

【解析】【解答】解：3+(﹣2)

＝+(3﹣2)

＝1，

故答案为：1.

【分析】绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，据此即可算出答案.

12．因式分解：x2-25=　               　.

【答案】（x+5）（x-5）

【知识点】因式分解﹣运用公式法

【解析】【解答】解：

=

=

故答案为：（x+5）（x-5）.

【分析】根据平方差公式分解即可.

13．某产品生产企业开展有奖促销活动，将每6件产品装成一箱，且使得每箱中都有2件能中奖.若从其中一箱中随机抽取1件产品，则能中奖的概率是　     　.（用最简分数表示）

【答案】

【知识点】概率公式

【解析】【解答】解：∵每一箱都有6件产品，且每箱中都有2件能中奖，

∴P（从其中一箱中随机抽取1件产品中奖）=，

故答案为：.

【分析】利用能中奖的件数除以每箱的总件数可得能中奖的概率.

14．市安排若干名医护工作人员援助某地新冠疫情防控工作，人员结构统计如下表：

则该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为　     　.

【答案】40%

【知识点】统计表

【解析】【解答】解：该批医护工作人员中“专业医生”占总人数的百分比为：；

故答案为：40%.

【分析】根据百分比之和为1就可求出“专业医生”占总人数的百分比.

15．如图所示，点在一块直角三角板上（其中），于点，于点，若，则　     　度.

【答案】15

【知识点】角平分线的判定；角平分线的定义

【解析】【解答】解：由题意，，，，

即点O到BC、AB的距离相等，

∴ OB是的角平分线，

∵，

∴.

故答案为：15.

 【分析】由题意可得OB为∠ABC的角平分线，然后根据角平分线的概念进行解答.

16．如图所示，矩形顶点、在轴上，顶点在第一象限，轴为该矩形的一条对称轴，且矩形的面积为6.若反比例函数的图象经过点，则的值为　     　.

【答案】3

【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】解：设BC交x轴于E，如图，


∵x轴为矩形ABCD的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6，
∴四边形DOEC是矩形，且矩形DOEC面积是3，
设C（m，n），则OE=m，CE=n，
∵矩形DOEC的面积是3，
∴mn=3，
∵C在反比例函数y=的图象上，
∴n=，即k=mn，
∴k=3.
故答案为：3.
【分析】设BC交x轴于E，根据矩形的对称性可得矩形DOEC面积是3，设C（m，n），则OE=m，CE=n，根据矩形的面积公式可得mn=3，根据点C在反比例函数图象上可得mn=k，据此可得k的值.

17．如图所示，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，则　     　度.

【答案】48

【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角

【解析】【解答】解：∵四边形ABCDE是正五边形，∠EAO是一个外角

∴

在△AEO中：

故答案为：48.

【分析】根据外角和定理可得∠EAO==72°，然后根据内角和定理进行计算.

18．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”，如图所示.问题：此图中，正方形一条对角线与⊙相交于点、（点在点的右上方），若的长度为10丈，⊙的半径为2丈，则的长度为　           　丈.

【答案】（）

【知识点】正方形的性质；切线的性质；锐角三角函数的定义；线段的计算

【解析】【解答】解：如图，

设⊙与AD边的切点为点C，连接OC，

则（丈），，

由正方形的性质知，对角线AB平分，

∴，

∴（丈），

∴（丈），

∴（丈）.

故答案为：（）.

【分析】设⊙O与AD边的切点为点C，连接OC，则OC=2丈，OC⊥AD，根据正方形的性质可得∠EAD=90°，对角线AB平分∠EAD，则∠OAC=45°，根据三角函数的概念可得AO，由AN=ON+AO可得AN，然后根据BN=AB-AN进行计算.

三、解答题

19．计算：.

【答案】解：

【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值

【解析】【分析】根据有理数的乘方法则、算术平方根的概念以及特殊角的三角函数值将原式化简，然后计算乘法，再计算加减法即可.

20．先化简，再求值：，其中.

【答案】解：，

将代入得，

原式

【知识点】利用分式运算化简求值

【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后约分即可对原式进行化简，接下来将x的值代入计算即可.

21．如图所示，点在四边形的边上，连接，并延长交的延长线于点，已知，.

（1）求证：；

（2）若，求证：四边形为平行四边形.

【答案】（1）证明：∵与是对顶角，

∴，

在与中，

，

∴

（2）证明：由（1）知，

∴，

∴，

∵点在的延长线上，

∴，

又∵，

∴四边形为平行四边形.

【知识点】平行线的判定；平行四边形的判定；三角形全等的判定（SAS）；对顶角及其性质

【解析】【分析】（1）根据对顶角的性质可得∠AEF=∠DEC，由已知条件知AE=DE，FE=CE，然后利用全等三角形的判定定理SAS进行证明；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFE=∠DCE，推出AF∥DC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明.

22．如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段至山谷点处，再从点处沿线段至山坡②的山顶点处.如图2所示，将直线视为水平面，山坡①的坡角，其高度为0.6千米，山坡②的坡度，于，且千米.

（1）求的度数；

（2）求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程.

【答案】（1）解：∵山坡②的坡度，

∴，

∴，

∵，

∴，

（2）解：∵，，

∴，

∴千米，

∵，，

∴，

∴，

∴该登山运动爱好者走过的路程..

【知识点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题

【解析】【分析】（1）根据山坡②的坡度结合特殊角的三角函数值可得∠BCN=45°，然后根据平角的概念进行计算；
（2）根据∠BCN的余弦三角函数的概念及∠ACM的正弦三角函数概念可得BC、AC的值，然后求出AC+BC即可.

23．某校组织了一次“校徽设计”竞赛活动，邀请5名老师作为专业评委，50名学生代表参与民主测评，且民主测评的结果无弃权票.某作品的评比数据统计如下：

记“专业评委给分”的平均数为.

（1）求该作品在民主测评中得到“不赞成”的票数；

（2）对于该作品，问的值是多少？

（3）记“民主测评得分”为，“综合得分”为，若规定：①“赞成”的票数分＋“不赞成”的票数分；②.求该作品的“综合得分”的值.

【答案】（1）解：50-40=10张；

（2）解： =(88+87+94+91+90) ÷5=90分；

（3）解：40＋10=110分；

分.

【知识点】统计表；条形统计图；平均数及其计算

【解析】【分析】（1）利用参与民主测评的总人数减去赞成的票数即可求出不赞成的票数；
（2）首先求出各个评委的给分总和，然后除以评委数可得平均数；
（3）首先根据赞成票数×3+不赞成票数×(-1)可得民主测评得分，再根据S=0.7+0.3可得综合得分S的值.

24．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、分别在函数、的图象上，点在第二象限内，轴于点，轴于点，连接、，已知点A的纵坐标为－2.

（1）求点A的横坐标；

（2）记四边形的面积为S，若点的横坐标为2，试用含的代数式表示S.

【答案】（1）解：将y=-2代入中，

，解得：，

∴A（-1，-2）.

（2）解：由题意可得B（2，），

∵轴，轴，

∴C（-1，），

∴

.

【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【分析】（1）将y=-2代入y1=中求出x的值，据此可得点A的坐标；
（2） 由题意可得B（2，），则C（-1，），然后根据S=S△ABC-S△PCQ进行解答.

25．如图所示，的顶点、在⊙上，顶点在⊙外，边与⊙相交于点，，连接、，已知.

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若线段与线段相交于点，连接.

①求证：；

②若，求⊙的半径的长度.

【答案】（1）证明∶∵∠BAC=45°，

∴∠BOD=2∠BAC=90°，

∴OD⊥OB，

∵OD∥BC，

∴CB⊥OB，

∵OB为半径，

∴直线是⊙的切线；

（2）解：①∵∠BAC=45°，

∴∠BOD=2∠BAC=90°，OB=OD，

∴∠ODB=45°，

∴∠BAC=∠ODB，

∵∠ABD=∠DBE，

∴；

②∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴或（舍去）.

即⊙的半径的长为.

【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠BOD=2∠BAC=90°，结合OD∥BC可得CB⊥OB，据此证明；
（2）①根据等腰直角三角形得∠ODB=45°，故∠BAC=∠ODB，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明；
②根据相似三角形的性质结合已知条件可得BD2=6，根据勾股定理可得OD2+OB2=2OB2=BD2，代入计算可得OB的值，据此可得⊙O的半径长.

26．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”.此关系通常被称为“韦达定理”.已知二次函数.

（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足.

①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；

②若，令，求的最小值.

【答案】（1）解：将，代入得，

将代入得，

，解得：

（2）解：①∵

∴

∴

∵抛物线的顶点坐标为：

∴

∴

∴

②∵

∴

∵

∴

∴

∴b=2

∴

∴

∴，

∴当时，最小=-4.

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义

【解析】【分析】（1）将a=1、b=3代入y=ax2+bx+c中可得y=x2+3x+c，将（1，1）代入就可求出c的值；
（2）①根据完全平方公式结合根与系数的关系可得(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=，表示出x2-x1，即AB，根据顶点坐标公式表示出顶点坐标，得到AE，然后根据三角函数的概念进行解答；
②根据①的结论可得x2=，根据平行线分线段成比例的性质可得，代入求解可得b的值，然后表示出c，根据题意可得T，接下来利用二次函数的性质就可得到T的最小值.