2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区七年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区七年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 汉字书法博大精深，下列汉字“行“的不同书写字体中，是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在下列各图的中，正确画出边上的高的图形是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列事件中，是必然事件的是(    )

A. 掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上
B. 将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上
C. 车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D. 如果，那么

5. 如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 下列说法正确的是(    )

A. 在同一平面内，两直线的位置关系有三种：平行，垂直，相交
B. 相等的角是对顶角
C. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D. 平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

7. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于、两点，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个正方形的边长增加，它的面积就增加，这个正方形的边长是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 从一定的高度任意抛掷一枚质地均匀的硬币的次数很大时，落下后，正面朝上的频率最有可能接近的数值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在四边形中，，对角线平分，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D. 与的大小关系不确定
 

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 用科学记数法表示：______．
12. 若，，则 ______ ．
13. 如果一个角的补角是，那么这个角的余角的度数是______．
14. 比较大小：______．
15. 已知是等腰三角形，它的周长为，一条边长，那么腰长是______．
16. 在中．，点为直线上一动点，以为直角边在的右侧作等腰，使，，、两点间的最小距离为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72分）

17. 计算
    ；
    利用完全平方公式计算．
18. ．
19. 先化简，再求值．
    ，其中，
20. 已知：如图．，，请说明的理由．
    理由：过点作交的延长线于点．
    可得______两直线平行，内错角相等
    ，
    ≌____________
    ____________
    已知，
    ____________
    已知，
    ____________
    等角对等边．
    ______已证，
    等量代换．

21. 将五张背面图案完全一样的卡片，分别标上数字，，，，洗匀后，背面朝上放在桌面上．请完成下列各题．
    随机抽取一张，抽到的概率
    随机抽取一张，抽出奇数的概率
    若哥哥和弟弟用这五张卡片来玩游戏，哥哥抽出标有偶数的卡片赢、弟弟抽出标有奇数的卡片赢．这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，请修改游戏规则不改变卡片的数值和内容使游戏公平．
22. 如图，在长度为个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点、、都在格点上．
    
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    在图中的直线上找出一点，使得的值最小保留作图痕迹并标上字母；
    在图中的直线上找出一点，使得的值最大保留作图痕迹并标上字母；
    在正方形网格中存在______个格点，使得该格点与、两点构成以为底边的等腰三角形．
23. 一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发设慢车行驶的时间为小时，两车之间的距离为千米，图中的折线表示与之间的函数关系．
    根据图象进行以下探究：
    甲、乙两地之间的距离为______千米；
    请解释图中点的实际意义：______；
    慢车的速度______千米时，快车的速度______千米时，快车到达乙地用时______小时；
    若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇．则第二列快车比第一列快车晚出发______小时．

24. 如图，在中、、，，于点，且．
    若，分别是，上的点，且，求证：≌；
    当点分别从，两点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿，运动，到点，时停止．设点运动的时间为秒，的面积为______用含有的代数式表示；设的面积为，则与的关系式为______．
    如图在的条件下，点，分别沿，的延长线继续运动，直接写出此时与的关系式．
     

25. 经过顶点的一条直线，，分别是直线上两点，且．
    
    若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：
    如图，若，，
    则______；______填“”，“”或“”；
    如图，若，请添加一个关于与关系的条件______，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．
    如图，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想不要求证明．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，错误；
B、，错误；
C、，正确；
D、，错误；
故选C．
根据同类项、同底数幂的乘法和除法计算判断即可．
此题考查同类项、同底数幂的乘法和除法问题，关键是根据法则进行计算．
 

2.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：边上的高就是过作垂线垂直交的延长线于点，因此只有符合条件，
故选：．
根据三角形的高的概念判断．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：、掷一枚质地均匀的硬币，一定正面向上是随机事件；
B、将一滴花生油滴入水中，油会浮在水面上是必然事件；
C、车辆随机到达一个路口，遇到红灯是随机事件；
D、如果，那么是随机事件；
故选：．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图

由平行可知，
由折叠可知，
，
．
故选：．
由平行线的性质可知，再由平角及折叠的性质可求出．
本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．
 

6.【答案】 

【解析】解：同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行、相交，原说法错误，故本选项不合题意．
B.相等的角不一定是对顶角，原说法错误，故本选项不合题意．
C.经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原说法错误，故本选项不合题意．
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，故本选项符合题意．
故选：．
利用平行线的判定以及平行公理相交线等知识分别判断即可．
本题考查了同一平面内，两条直线间的位置关系，解答此题的关键是熟练掌握相关定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，

故选：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果．
本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：设原正方形的边长为，则变化后的正方形边长为，由题意得，
，
解得，
故选：．
设未知数，根据正方形的面积公式列方程求解即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示两个正方形的面积是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：当抛掷的次数很大时，正面朝上的频率最有可能接近正面向上的概率，
故选：．
大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，取，连接，
对角线平分，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，即．
故选：．
取，连接，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边解答．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：，，
原式，
故答案为：
原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一个角的补角是，
这个角为，
这个角的余角为，
故答案为：．
根据余角和补角的定义，即可解答．
本题考查了余角和补角的定义，解决本题的关键是熟记余角和补角的定义．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故答案为：．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以为底数的幂是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论为腰长还是底边长．
当腰长时，底边，当底边时，腰长，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【解答】
解：等腰三角形的周长为，
当腰长时，底边，即，能构成三角形，
当底边时，腰长，即，能构成三角形，
腰长是或，
故答案为：或．  

16.【答案】 

【解析】解：如图，

，
当的值最小时，取得最小值，
当时，的值最小，
即当点运动到位置时，
，，，
设，
则，
解得或不合题意，舍去，
，
，
即，
解得，
、两点间的最小距离为．
故答案为：．
由于，所以当的值最小时，取得最小值，当时，的值最小，求出值即可．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
 

17.【答案】解：



；

，

． 

【解析】利用积的乘方法则，零指数幂法则以及负整数指数幂的运算法则先化简，然后再计算即可；
将转化为，然后利用完全平方公式计算．
本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握实数运算的法则，先乘方，后乘除，再加减，有括号的先算括号内，去括号的顺序是先大后小．
 

18.【答案】解：
 

【解析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．
 

19.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】先算括号内的乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．
本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
 

20.【答案】        全等三角形对应边相等    两直线平行，同位角相等    等量代换   

【解析】解：过点作交的延长线于点．
可得两直线平行，内错角相等
，
≌．
全等三角形对应边相等．
已知，
两直线平行，同位角相等．
已知，
等量代换．
等角对等边．
已证，
等量代换．
故答案为：；，；，全等三角形对应边相等；，两直线平行，同位角相等；，等量代换；．
根据全等三角形的判定与性质和平行线的性质即可完成填空．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
 

21.【答案】解：随机抽取一张，抽到的概率为；
随机抽取一张，抽出奇数的概率为；
由题意得：抽出标有偶数的卡片的概率为，抽出标有奇数的卡片的概率为，
，
这个游戏不公平；
修改游戏规则为：哥哥抽出标有的卡片赢、弟弟抽出标有奇数的卡片赢．理由如下：
哥哥抽出标有的卡片的概率为为，弟弟抽出标有奇数的卡片的概率为，
哥哥抽出标有的卡片的概率弟弟抽出标有奇数的卡片的概率，
游戏公平． 

【解析】直接由概率公式求解即可；
直接由概率公式求解即可；
求出抽出标有偶数的卡片的概率为，抽出标有奇数的卡片的概率为，得这个游戏不公平；修改游戏规则后，哥哥抽出标有的卡片的概率弟弟抽出标有奇数的卡片的概率，则游戏公平．
本题考查了游戏公平性以及概率公式，熟练掌握概率公式，理解游戏规则是解题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：如图，为所作；
如图，点为所作；
如图，点为所作；

如图，存在个格点，使得该格点与、两点构成以为底边的等腰三角形．
故答案为：．
利用网格特点和轴对称的性质画出、、关于直线的对称点即可；
与直线的交点为，利用两点之间线段最短可判断点满足条件；
作点关于直线的对称点，延长交直线于点，利用对称的性质和两点之间线段最短可得到点满足条件；
利用网格特点作的垂直平分线可得到满足条件的格点．
本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
 

23.【答案】  当慢车行驶小时，慢车和快车相遇         

【解析】解：由图象可知：甲、乙两地之间的距离是千米，
故答案为：；
的实际意义为：当慢车行驶小时，慢车和快车相遇，
故答案为：当慢车行驶小时，慢车和快车相遇；
由图象可知慢车行驶千米，用小时，
慢车的速度：千米小时，
行驶小时，慢车和快车相遇，
慢车和快车行驶速度之和为：千米小时，
快车的速度：千米小时，
快车到达乙地用时小时，
故答案为：，，；
第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇，
当慢车与第二列快车相遇时，与第一列快车的距离是千米，
而此时慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离千米，
两列快车出发的间隔时间：小时，
第二列快车比第一列快车晚出发小时，
故答案为：．
由图象可知甲、乙两地之间的距离；
由图象可知，当慢车行驶小时，慢车和快车相遇；
由图象可知慢车行驶千米，用小时，求出慢车的速度，根据行驶小时，慢车和快车相遇，求出两车的速度之和，进一步求出快车速度，从而可得快车到达乙地所需时间；
根据第一列快车与慢车相遇分钟后，第二列快车与慢车相遇，可求出两列快车之间的距离，从而得到两列快车出发的间隔时间．
本题主要考查了一次函数的应用，掌握函数图象包含的不同层次的信息：当慢车行驶小时时，慢车和快车相遇，车行驶，用等，根据这些信息求出快慢车速度及一次函数解析式．
 

24.【答案】  

【解析】证明：如图中，

，，为中点，
，
，
，
在和中；
，
≌；

解：如图中，依题意有：，
，
，
，
，
≌，
，
，
．
故答案为：，；

解：如图中，依题意有：，，．


≌



．
利用等腰直角三角形的性质得到，进而得到，为证明≌提供了重要的条件；
 利用三角形面积公式求出，利用即可得到与之间的函数关系式；
依题意有：，，得到，从而得到≌，利用全等三角形面积相等得到从而得到即可确定两个变量之间的函数关系式．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】；；
；
猜想：．
证明过程：
，，，，
，
又，
≌．
，，
 

【解析】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．
求出，，根据证≌，推出，即可；
求出，，根据证≌，推出，即可；
求出，，根据证≌，推出，即可．
【解答】
解：，，
，，
，
，；
≌，
；．
故答案为：；；
所填的条件是：．
证明：在中，．
，
．
又，
，
又，，
≌
，，
又，
．
故答案为：；
见答案．