2021-2022学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年江苏省苏州市工业园区星海实验中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 瓦当，是指古代中国建筑中覆盖建筑檐头筒瓦前端的遮挡，瓦当上刻有文字、图案，也有用四方之神的“朱雀”“玄武”“青龙”“白虎”做图案的．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列根式中，与是同类二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 学校为了考察七年级同学的视力情况，从七年级的个班共名学生中，每班抽取了名学生进行分析．在这个问题中，样本的容量为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若，的值均扩大为原来的倍，则下列分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性最大的是(    )

A. 朝上的点数为 B. 朝上的点数为
C. 朝上的点数为的倍数 D. 朝上的点数不大于

7. 如图，是一张平行四边形纸片，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法如下，则关于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是(    )

A. 仅甲正确 B. 仅乙正确 C. 甲、乙均正确 D. 甲、乙均错误

8. 九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

9. 如图，是射线上一点，过作轴于点，以为边在其右侧作正方形，过的双曲线交边于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，将平行四边形绕点逆时针旋转到平行四边形的位置，使点落在上，与交于点，若，，，则的长为(    )

1. 
   B.
   C.
   D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 分式，，的最简公分母是______．
12. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 若点是线段的黄金分割点，且，则______保留根号
14. 已知：如图，在中，，、、分别是、、的中点，若，则的长是______．

15. 公元世纪，我国古代数学家刘徽就能利用近似公式得到无理数的近似值，例如可将化为，再由近似公式得到，若利用此公式计算的近似值时，取正整数，且取尽可能大的正整数，则 ______ ．
16. 如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，四边形是正方形，曲线在第一象限经过点，则______．

17. 如图，平行四边形中，点为边上的一点，和相交于点，已知的面积等于，的面积等于，则四边形的面积是______．

18. 如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共10小题，共64分）

19. 计算：．
20. 解方程：
21. 先化简，再求值：，其中．
22. 中国空间站作为国家太空实验室，也是重要的太空科普教育基地，对激发社会大众特别是青少年弘扬科学精神、热爱航天事业具有特殊优势，“天宫课”第三课已于年月日下午开讲并直播．航天员相互配合，生动演示了微重力环境下太空冰雪实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．
    该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率______；
    小丽和小雨也是该班同学，利用树状图或列表的方法求小丽和小雨抽到相同实验的概率．
23. 某企业为推进全民健身活动，提升员工身体素质，号召员工开展健身锻炼活动，经过两个月的宣传发动，员工健身锻炼的意识有了显著提高为了调查本企业员工上月参加健身锻炼的情况，现从名员工中随机抽取人调查每人上月健身锻炼的次数，并将调查所得的数据整理如下：
    某企业员工参加健身锻炼次数的频数分布表

表格中 ______ ；
请把扇形统计图补充完整；只需标注相应的数据
请估计该企业上月参加健身锻炼超过次的员工有多少人？

24. 如图，、、分别是三边中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若四边形是矩形，，，求的长．

25. 如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象交于，两点，与轴交于点．
    求此反比例函数的表达式；
    若点在轴上，且，求点的坐标．

26. 如图，四边形为正方形，点、分别是、的中点连接，，过点作于点，交于点，连接．
    求证：；
    求证：；
    若正方形的边长为，则线段的长度为______．

27. 背景：点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，分别在射线，上取点，，使得四边形为正方形，如图，点在第一象限内，当时，小李测得．
    探究：通过改变点的位置，小李发现点，的横坐标之间存在函数关系，请帮助小李解决下列问题．
    求的值．
    设点，的横坐标分别为，，将关于的函数称为“函数”，如图，小李画出了时“函数”的图象．
    求这个“函数”的表达式．
    补画时“函数”的图象．
    若与函数相交于、两点，则、两点之间的距离是______．
     

28. 实践操作：
    第一步：如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．
    第二步：如图，将图中的矩形纸片沿过点的直线折叠，点恰好落在上的点处，点落在点处，得到折痕，交于点，交于点，再把纸片展平．
    问题解决：
    如图，填空：四边形的形状是______；
    如图，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；
    如图，若，，求：的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故A选项不是；
B、，故B选项是；
C、，故C选项不是；
D、，故D选项不是．
故选：．
运用化简根式的方法化简每个选项．
本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是熟记化简根式的方法．
 

3.【答案】 

【解析】解：将点代入，
，
，
点在函数图象上，
故选：．
将点代入，求出函数解析式即可解题；
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从七年级的个班共名学生中，每班抽取了名进行分析，在这个问题中，样本的容量是，
故选：．
根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

5.【答案】 

【解析】解：把，的值均扩大为原来的倍，分式的分母扩大原来的倍，而分子就不一定是原来的倍，因此选项A不符合题意；
B.把，的值均扩大为原来的倍，分式的分母扩大原来的倍，而分子也扩大为原来的倍，因此选项B符合题意；
C.把，的值均扩大为原来的倍，分式的分母扩大原来的倍，而分子扩大为原来的倍，因此选项C不符合题意；
D.把，的值均扩大为原来的倍，分式的分母扩大原来的倍，而分子扩大为原来的倍，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据分式的基本性质进行判断即可．
本题考查分式的基本性质，理解“分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变”是正确判断的前提．
 

6.【答案】 

【解析】解：任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果共有、、、、、这六种结果，
其中朝上的点数为的只有种结果，朝上的点数为的只有种结果，朝上的点数为的倍数的有、、这种结果，朝上的点数不大于的有、这种结果，
所以朝上的点数为的倍数的可能性最大，
故选：．
找到朝上点数为、、的倍数、不大于的所有等可能结果，从而得出答案．
本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性概率的计算方法．
 

7.【答案】 

【解析】解：甲的作法正确；如图，
四边形是平行四边形，
，
，
是的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；

乙的作法正确；如图，
，
，，
平分，平分，
，，
，，
，，

，且，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
故选：．
证明≌，可得，然后证明四边形是平行四边形，根据，即可判断甲正确；先根据作法证明四边形是平行四边形，再由，即可进行判断．
本题考查的是作图复杂作图，熟知平行四边形的性质及菱形的判定定理是解答此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意知：，
∽，
，
，
解得，
水面以上深度为米．
故选：．
由题意知：∽，得出对应边成比例即可得出．
本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出∽是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，则点的坐标为，
线段的长度为，点的纵坐标为，
点在反比例函数上，
，
即反比例函数的解析式为：，
四边形为正方形，
四边形的边长为，
点，点和点的横坐标为，
把代入得：，
即点的纵坐标为，
则，，
，
故选：．
设点的坐标为，则点的坐标为：，结合正方形的性质，得到点，点和点的横坐标，把点的坐标代入反比例函数，得到关于的的值，把点的横坐标代入反比例函数的解析式，得到点的纵坐标，求出线段和线段的长度，即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上的点的坐标特征和正方形的性质，正确掌握代入法和正方形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接，

由旋转可知，，，，
∽，
：：：，，
，
又，，
，即点，，在同一条直线上，
，
又，，
∽，
：：：，即：：：，
设，，
：：：，
，
，
故选：．
由相似三角形的性质可求的长，通过证明∽，可求解．
本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：分式，，的分母分别为：，，，
故最简公分母是：．
故答案为：．
确定最简公分母的方法得出最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．正确得出最小公倍数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：点是线段的黄金分割点，且，
，
故答案为：．
把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个．
 

14.【答案】 

【解析】解：在中，，是的中点，
则，
，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，再根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
；
故答案为：．
先把化成，再根据近似公式得出，然后进行计算即可得出答案．
本题考查了分式的加减以及对无理数的估算，熟练掌握近似公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作轴于点，设，

直线与轴、轴分别相交于、两点，
、，
根据一线三等角及得：≌，
，，
，
，
．
故答案为：．
利用三角形全等求出线段的长度，从而得出点的坐标，得出的值．
本题考查了反比例函解析式的求法，利用全等求线段的长度得点的坐标是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：的面积等于，的面积等于，
即：：：，
：：，
四边形为平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
四边形的面积．
故答案为：．
利用三角形面积公式得到：：，再根据平行四边形的性质得到，，则可判断∽，利用相似的性质可计算出，所以，然后用的面积减去的面积得到四边形的面积．
本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
 

18.【答案】 

【解析】解：当点与点重合时，点在处，，
当点与点重合时，点在处，，
且，
当点在上除点、的位置处时，有，
由中位线定理可知：且，
点的运动轨迹是线段，如图所示，

当时，取得最小值，
四边形是矩形，
，，，
，
为的中点，
，
连接、，作于，作于，
则的最小值为的长，是的中位线，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在中，由勾股定理得：
，
设，则，
由勾股定理得：
，
即，
解得：，
，
．
故答案为：．
由中位线定理可得点的运动轨迹是线段，再由垂线段最短可得当时，取得最小值，连接、，作于，作于，则的最小值为的长，是的中位线，由勾股定理求出、、的长，由三角形中位线定理得出的长，设，则，由勾股定理得，解得，即可得出结果．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、垂线段最短等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的性质、绝对值的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
 

20.【答案】解：化为整式方程得：


，
经检验是原方程的解． 

【解析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
 

21.【答案】解：原式

，
当，时，原式． 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

22.【答案】 

【解析】解：该班班长随机抽取的实验是“太空抛物实验”的概率，
故答案为：；
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中小丽和小雨抽到相同实验的有种结果，
所以小丽和小雨抽到相同实验的概率为．
直接根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

23.【答案】解：
，
组所占的百分比，
组所占的百分比是：，
扇形统计图补充完整如图：
；
估计该企业上月参加健身锻炼超过次的员工有人．
答：估计该企业上月参加健身锻炼超过次的员工有人． 

【解析】解：人，
故答案为：；

根据组所占的百分比是，即可求得的值；
根据其他各组的频率求出组的频率得出组、组所占的百分比，补全扇形统计图即可．
利用总人数乘以对应的频率即可求得．
本题考查的是频数分布表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图表，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

24.【答案】证明：，分别为，两边的中点，
为的中位线，
，
同理可得，
四边形是平行四边形；
解：点是的中点，，
，
同理，，
四边形是矩形，
，
在中，． 

【解析】证明、为的中位线，得出，，可证四边形是平行四边形；
求出，的长，由矩形的性质得出，由勾股定理可得出答案．
此题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

25.【答案】解：把点代入，得，
，
反比例函数为常数且的图象经过点，
，
反比例函数的表达式为；
把代入反比例函数，解得：，
，
当时，得，
点，
设点的坐标为，
，，
，解得，，
点或． 

【解析】利用点在上求，进而代入反比例函数为常数且求得，即可求得反比例函数的表达式；
把代入反比例函数，求得，由直线求得，设出点坐标表示三角形面积，求出点坐标．
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过函数图象上点的坐标特征求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
 

26.【答案】 

【解析】证明：四边形为正方形，
，
点、分别是、的中点，
，而，
四边形为平行四边形，
；
，，
，又，为的中点，
，
为的垂直平分线，
，
，，
；
解：，
，
，
，
∽，
：：，
正方形的边长为，
，，
．
故答案为：
首先利用正方形的性质和已知条件得到，而，接着利用平行四边形的判定即可证明；
利用直角三角形的斜边上中线的性质得到为的垂直平分线，然后利用等腰三角形的性质即可求解；
利用已知条件和已知证明的结论可以证明∽，然后利用相似三角形的性质可以求出的长度．
本题主要考查了正方形的性质，也考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，也利用了相似三角形的性质，综合性比较强．
 

27.【答案】 

【解析】解：当，时，，
四边形是正方形，
，
，
点在反比例函数的图象上，
；
由题意知，，
，
；
如图，

当时，，
，，
，
故答案为：．
根据正方形的性质，可得，再将代入反比例函数，可得的值；
由题意知，，则，变形即可得出关于的函数解析式；
根据描点法，画出图象即可；
当时，，则，，利用两点间的距离公式可得的长．
本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，描点法画函数图象，解题的关键是读懂题意，表示出“函数”的表达式．
 

28.【答案】正方形 

【解析】解：是矩形，
，
将矩形纸片沿过点的直线折叠，使点落在上的点处，得到折痕，
，，，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
四边形是正方形．
故答案为：正方形；
．
证明：如图，连接，由知，，

四边形是矩形，
，，
由折叠知，，，
，，
又，
≌，
，
；
≌，
，
由折叠知，，
，
，，
，
设，则，
，
，
解得，，
即，
如图，延长、交于点，则，

，
，
，
，
∽，
．
由折叠性质得，，，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定得到四边形是菱形，进而结合内角为直角条件得四边形为正方形；
连接，证明≌，得，便可得结论；
设，则，由勾股定理求出的值，延长、交于点，求得，再证明∽，便可求得结果．
本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，第题关键在于证明三角形全等，第题关键证明相似三角形．