人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷（较易）（含答案解析）

人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》单元测试卷

考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分150分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知，，三点不共线，是平面外一点，下列条件中能确定点与点，，一定共面的是(    )

A.  B.
C.  D.

2. 如图，正方体的棱长为，体对角线和相交于点，则有(    )

A.
B.
C.
D.

3. 四棱锥中，底面是平行四边形，点为棱的中点，若，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

4. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则(    )

A.
B.
C.
D.

5. 若向量，且与夹角的余弦值为，则等于(    )

A.  B.  C. 或 D.

6. 已知向量，，且与互相垂直，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 若直线的方向向量，平面的法向量，且直线平面，则实数的值是  (    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 下列说法正确的是(    )

A. 若为空间的一组基底，则，，三点共线
B. 若为四棱柱，则
C. 若，则，，，四点共面
D. 若为正四面体，为的重心，则

10. 设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有(    )

A.  B.
C.  D.

11. 已知向量，则与共线的单位向量(    )

A.  B.
C.  D.

12. 如图所示，在平行六面体中，点，，分别为棱，，的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是(    )

A.
B.
C. 平面
D. 平面

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，则          ．
14. 在平行六面体中，是线段的中点，若，则          ．
15. 点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为          ．
16. 如图，在长方体中，，，点为的中点，则点到平面的距离为           ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 如图所示，在空间四边形中，点，分别是，的中点，请判断向量与是否共线？
     

18. 如图，已知长方体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．

；

．

19. 如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
    
    证明：、、、四点共面．
    若，求．
20. 在平行六面体中，，，，，若，，．
     

用基底表示向量；

求向量的长度．

21. 如图，在长方体中，，，，为棱的中点，分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系．
    求点，，，，，，，的坐标；
    求点的坐标．

22. 在四棱锥中，是边长为的等边三角形，底面为直角梯形，，，，．

证明：．

求二面角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共面定理及其应用，属于基础题．
根据空间向量共面定理，系数和等于，判断即可．

【解答】

解：已知，，三点不共线，是平面外一点，
要使点与点，，一定共面，根据空间向量共面定理，系数和等于，
结合选项可知，
则．
故选D．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，属于基础题．

利用空间向量基本定理及数量积运算逐项判断即可．

【解答】

解：因为，所以四边形是平行四边形，
 

．
，B错误，   

，A错误，   
，D错误，   
故选C．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的加法、减法、数乘运算、平面向量的基本定理及其应用，属于基础题．
连接，得出，结合已知式子求出，，，即可求出结果 

【解答】

解：连接，因为点为棱的中点，
所以，
因为，
所以，解得，
所以．
故选B．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考点是空间向量基本定理，考查了向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，属于基础题．
由题意，把，，三个向量看作是基向量，由图形根据向量的线性运算，将用三个基向量表示出来，即可得到答案．

【解答】

解：由题意




又，，

故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

由空间向量的夹角公式结合已知条件可得，解方程可得．
本题考查空间向量的夹角公式，考查运算求解能力，是基础题．

【解答】

解：向量，
与夹角的余弦值为，
，
解得舍去．
故选：．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积及运算律，考查向量垂直的判断与证明，考查简单的运算能力，属于基础题．
由向量垂直的坐标运算直接计算求解即可得到答案．

【解答】

解：依题意，得，，
由，得，
所以，解得，
故选D．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间向量基本定理的运用和平面法向量的运用，属于基础题．
因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，即有，计算即可．

【解答】

解：因为直线与平面垂直，
所以直线的方向向量与平面的法向量平行，
，解得．
实数的值是．
故选C．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用法向量求二面角的余弦值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
利用直接求解，注意为锐角．

【解答】

解：点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，
，平面的法向量为，
二面角的大小为，且为锐角，
．
故选C．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：向量的共线问题，向量的线性运算，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
直接利用空间向量的基底判断的结论，利用向量的线性运算判断的结论，利用共面向量基本定理的应用判定的结论，利用向量的共线和向量的线性运算的应用判定的结论．

【解答】

解：对于：若为空间的一组基底，
则不共面，与点、、之间共线没有关系，故A错误；
对于：只有当是四棱柱且底面为平行四边形时，如图所示：

满足，故B错误；
对于：、、三点必定共面，和必定共面，
因为，所以也与和共面，
又、、有公共起点，所以、、、四点共面，故C正确；
对于：设为的重心，延长交于点，则为中点，
得到，，
所以


，
故，故D正确；
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量数量积的定义与运算法则，考查运算求解能力，属于基础题．
根据空间向量数量积的运算法则逐一检验选项，即可．

【解答】

解：选项A，，即A正确；
选项B，，即B错误；
选项C，，，，即C错误；
选项D，，即D正确．
故答案选：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线问题和单位向量的概念，属于基础题．
根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，，即可求出．

【解答】

解：设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．

故，而，所以或．

故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查利用空间向量判断空间中的线线平行以及线面平行的判定定理，属于基础题．

【解答】

解：，，
  ，所以，
由线面平行的判定定理可知，平面，平面．
ACD正确．
故选ACD．

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题．

【解答】

解：，，
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量基本定理的应用，空间向量加法和加法运算法则的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
利用空间向量基本定理以及空间向量的加法和减法的运算法则进行求解，即可得到答案．

【解答】

解：如图，，
故，．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的夹角，向量共线定理，以及向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
由的夹角为锐角，可得，且不能同向共线，求解即可得出答案．

【解答】

解：由题意知，，
的夹角为锐角，
，且不能同向共线，
解得，．
则的取值范围为．
故答案为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
本题考查点到平面的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

【解答】

解：在长方体中，，，
点为的中点，
以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示：

，，，
，
，，
，
设平面的法向量，
则
取，得，
点到平面的距离：
．
故答案为：．

17.【答案】解：取中点为，连接，，

因为点，分别是，的中点，
，，


，
与共线． 

【解析】本题考查了空间向量共线定理，空间向量的加减运算及数乘运算，属于基础题．
取中点为，连接，，易知，，，即可判断．
 

18.【答案】解：

．

．

向量，如图所示．
 

【解析】本题考查了空间向量的线性运算，是基础题．
利用空间向量的加法和减法化简即可．
 

19.【答案】证明：平行六面体中，，，
，，，，且平面平面，
，
≌，
，
同理，
故AEC为平行四边形，
、、、四点共面．
解：由题，



，
即，，，
． 

【解析】本题考查四点共面的证明，空间向量基本定理及其应用，属于基础题，解题时要认真审题，解题时要注意向量法的合理运用．
由，，，，且平面平面，，知≌，进而，同理，故AEC为平行四边形，由此能够证明、、、四点共面．
结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．
 

20.【答案】解：由题意可得


，
故．
由条件得，，，
，，，，
故

． 

【解析】本题考查向量的表示，空间向量的模，考查运算求解能力，属于基础题．
由题意可得，计算可得；
可得，即可求得
 

21.【答案】解：在长方体中，，，，为棱的中点，
分别以，，所在直线为轴轴、轴建立空间直角坐标系．
点，
在轴的正半轴上，且，
，
同理得：，，
在坐标平面内，且，，
，
同理得，，
与点的坐标相比，点的坐标只有竖坐标与点不同，
且，则点．
由知，，
的中点坐标为 

【解析】本题考查点的坐标、中点坐标的求法，考查空间直角坐标系、中点坐标公式等，是基础题．
利用空间直角坐标系的性质能求出点，，，，，，，的坐标．
利用中点坐标公式能求出点的坐标．
 

22.【答案】证明：取的中点，连接，，
为等边三角形，
．
在直角梯形中，，，，
，
为等腰三角形，．
，，
平面．
平面，

解：由知，，，两两垂直，
以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，
即
令，得．
设平面的一个法向量为，
，即
可得平面的一个法向量为，
，
又二面角为钝二面角，故其余弦值为． 

【解析】本题考查异面直线垂直的判定，考查利用空间向量求二面角余弦值的应用，考查空间中直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题．
取的中点，连接，，由题可知在直角梯形中，
求出，可知，进而得证平面，即可求证．
由，，两两垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标得到，，，即可求出平面的法向量平面的一个法向量为，即可求出二面角余弦值．