人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷（困难）（含答案解析）

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人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分150分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。


第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 已知椭圆C：x216+y28=1，F1、F2分别为其左、右焦点，A1，A2分别为其长轴的左右端点，动点M满足MA2⊥A1A2，A1M交椭圆于点P，则OM·OP的值为(    )
A. 8 B. 16 C. 20 D. 24
2. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别是F1,F2，焦距为2c，若直线y=3x+c与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1 ，则椭圆的离心率是(    )
A. 22 B. 3-1 C. 3-12 D. 32
3. 已知椭圆C：x23+y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，双曲线E：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左顶点与椭圆C的左顶点重合，点P是双曲线在第一象限内的点，且满足PB=λPAλ>0，PA2=27，则双曲线E的离心率为(    )
A. 233 B. 213 C. 253 D. 153
4. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为12的直线交双曲线的左、右支于A、B两点，线段AB的垂直平分线恰过点F2，则该双曲线的离心率为
A. 153 B. 103 C. 152 D. 102
5. 已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x，则下列结论错误的是(    )
A. 曲线C的方程为x23−y2=1；
B. 左焦点到一条渐近线距离为1；
C. 直线x−2y−1=0与曲线C有两个公共点；
D. 过右焦点截双曲线所得弦长为23的直线只有三条；
6. 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线C交于M，N两点，若PF=4MF，则|MN|=   (    )
A. 32 B. 3 C. 92 D. 9
7. 已知抛物线y2=8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线相交于A，B两点，则AF−9BF的最小值为(    )
A. 1 B. 32 C. 52 D. 6
8. 已知抛物线C:y2=6x的焦点为F，其准线l与x轴相交于点M，过点M作斜率为k的直线l与抛物线C相交于A，B两点，∠AFB=120∘，则k=(    )
A. ±12 B. ±32 C. ±(2+3) D. ±(2−3)

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 已知O为坐标原点，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，点M，P在C上且OP=c，直线PF2与C交于另一个点Q，若tan∠F1QF2=34，则下列说法正确的是(    )
A. ▵PF1Q为等腰三角形
B. 椭圆C的离心率为22
C. △PF1F2内切圆的半径为2−1
D. ▵MPQ面积的最大值为21+33
10. 已知双曲线C:x2−y23=1，则下列说法正确的是(    )
A. 双曲线C的顶点到其渐近线的距离为2
B. 若F为C的左焦点，点P在C上，则满足FM=2MP的点M的轨迹方程为3x+22−3y2=4
C. 若A，B在C上，线段AB的中点为(2,2)，则直线AB的方程为3x−y−4=0
D. 若P为双曲线上任意一点，则P到点(2,0)和到直线x=12的距离之比恒为2
11. 双曲线C：x216−y28=1的左、右焦点分别为F1、F2.以F1F2为直径的圆O与C在第一象限交于P点.过F2作QF2⊥x轴与C在第四象限交于Q，下列说法正确的是(    )
A. ΔPF1F2的面积为8
B. ΔPF1F2的内切圆圆心I的横坐标为4
C. 直线PQ过原点O
D. 过Q直线交圆O于M、N两点，则QM⋅QN为定值
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A,B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，设线段AB的中点为P，则下列说法正确的是(    )
A. 若抛物线上点E(2,t)到F的距离为4，则抛物线的方程为y2=4x
B. OA⋅OB=−3p24
C. 若|AF|⋅|BF|=3p2，则直线AB的斜率为±2
D. sin∠PMN的取值范围为[12,1)
第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知椭圆的标准方程为x2a2+y2=1a>1，上顶点为A，左顶点为B，设点P为椭圆上一点，△PAB的面积的最大值为2+1，若已知点M−3,0、N3,0，点Q为椭圆上任意一点，则1QN+4QM的最小值为          ．
14. 过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M，N，若|MQ|=3|QN|，|FN|=4，则双曲线的标准方程是          ．
15. 已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，平行于y轴的直线l与圆Γ：x2+(y−1)2=1交于A，B两点(点A在点B的上方)，l与C交于点D，则△ADF周长的取值范围是________．
16. 已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q两点，交l于点A，若PF=3FQ，则|AQ||QF|=          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为12,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为12．
(Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程；
(Ⅱ)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D，若△APD的面积为62，求直线AP的方程．
18. 设O是坐标原点，以F1,F2为焦点的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的长轴长为22，以F1F2为直径的圆和C恰好有两个交点，
(1)求C的方程;
(2)P是C外的一点，设其坐标为x0,y0，过P的直线l1,l2均与C相切，且l1,l2的斜率k1,k2之积为m-1⩽m⩽-12，记u为|PO|的最小值，求u的取值范围．
19. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，A、F分别为左顶点和右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B，△ABF的面积为2(2+1).
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线y=kx−1与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P，Q两点，|MN|=λ|PQ|，求实数λ的取值范围．
20. 已知双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1，离心率为2，右顶点为(2,0)
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过E(0,1)的直线l与双曲线C的一支交于M、N两点，求EM⋅EN的取值范围．
21. 已知Q为抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点，P为抛物线C的准线上的一点，且|PQ|的最小值为1．
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
(Ⅱ)过点P作抛物线的切线l1，l2，切点分别为M，N，求证：直线MN过定点D，并求出△PMN面积的最小值．
22. 设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，抛物线C上一点A的横坐标为x1(x1>0)，过点A作抛物线C的切线l1，与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l:y=p2交于点M.当|FD|=2时，∠AFD=60∘．
(1)证明：△AFE为等腰三角形，并求抛物线C的方程;
(2)若B为y轴左侧抛物线C上一点，过B作抛物线C的切线l2，与直线l1交于点P，与直线l交于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时x1的值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，直线与椭圆相交问题，化为方程联立得到根与系数的关系，数量积运算等基础知识与基本技能方法，属于较难题．
设M(4,t)，P(s,m)，C(−2,0).直线MA1的方程为y=t8(x+4)，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，即可得出点M的坐标用t表示，再利用数量积运算化简整理即可得出OM⋅OP的值．
【解答】
解：椭圆C：x216+y28=1中a=4，
可得A1(−4,0)，A2(4,0)，
由MA2⊥A1A2，可设M(4,t)，P(s,m)，
可得直线MA1的方程为y=t8(x+4)，
代入椭圆C：x216+y28=1，可得：
32+t2x2+8t2x+16t2−512=0，
则−4s=16t2−51232+t2，
解得s=−4t2+12832+t2，
m=t8(s+4)=32t32+t2，
即有P(−4t2+12832+t2,32t32+t2)，
则OM·OP=4×−4t2+12832+t2+t×32t32+t2
=−16t2+512+32t232+t2
=16(t2+32)t2+32=16．
故选B．
  
2.【答案】B 
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查直线与椭圆位置关系及椭圆的性质，属于中档题．
在△MF1F2中，设∠MF1F2=60°，则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，由|F1F2|=2c，得|MF1|=c，|MF2|=3c，从而2a=c+3c，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2c，
直线y=3x+c与椭圆的一个交点满足∠MF1F2=2∠MF2F1，
如图，在△MF1F2中，因为kMF1=3，所以∠MF1F2=60°，
则∠MF2F1=30°，∠F1MF2=90°，
∵|F1F2|=2c，
∴|MF1|=c，|MF2|=3c，
∴2a=|MF1|+|MF2|=c+3c，
∴该椭圆的离心率为e=ca=23+1=3−1．
故选B．

  
3.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的性质以及双曲线的离心率的求解，涉及余弦定理的运用，考查椭圆的性质，属于中档题．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°.利用余弦定理求出|PA1|=8，得到PB=34PA1，进而求出b²，即可求出离心率．
【解答】
解：由椭圆方程x23+y2=1可知，左顶点A1(−3,0)，上顶点B(0,1)，
由双曲线E的左顶点与椭圆x23+y2=1的左顶点重合，得a2=3，a=3．
在△A1A2P中，|PA2|=27.易知|A1A2|=23，∠PA1A2=30°．
由余弦定理得28=|PA1|2+12−2×23×|PA1|×cos 30∘，
得|PA1|=8.易知|BA1|=2，所以PB=34PA1．
设点P的坐标为(x0,y0)，则(−x0,1−y0)=34(−3−x0,−y0)，
得x0=34(x0+3),y0−1=34y0,解得x0=33,y0=4,
代入双曲线E的标准方程，得9−16b2=1，得b2=2，
从而c2=a2+b2=5，c=5，
所以双曲线E的离心率e=ca=53=153，
故选D．  
4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义，性质，直线与双曲线的位置关系，较难．
由题意先设AF2=BF2=m，设直线的倾斜角为θ，进而得NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，再利用定义得AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，求m，由|BF2|2=|NF2|2+|BN|2,(4c5)2=4a2+(2c5)2，求出离心率．
【解答】
解：连接AF2，BF2，记A，B中点为N，
根据题意知：AF2=BF2，所以设AF2=BF2=m，
并且NF2垂直AB，由于过点F1的直线斜率为12，
设直线的倾斜角为θ,tanθ=12,sinθ=15,cosθ=25，
所以在直角三角形F1F2N中，NF2=2csinθ=2c5,NF1=2ccosθ=4c5，
根据双曲线的定义：BF1−BF2=2a，所以：BF1=2a+m，同理：AF1=m−2a；
所以AB=BF1−AF1=4a，则AN=BN=2a，
故：AF1=NF1−AN=4c5−2a=m−2a，因此：m=4c5 ．
在直角三角形BNF2中，
BF22=NF22+BN2,所以(4c5)2=4a2+(2c5)2，
从而解得离心率 e=153．
  
5.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线的定义及其性质的运用，双曲线标准方程的求法，考查的知识点众多，计算麻烦，属于较难题．
由题意设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，将(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，即k=13，则双曲线C的方程为x23−y2=1，再对各个选项综合分析即可求解．
【解答】
解：∵双曲线C过点(3 , 2)且渐近线为y=±33x，
设双曲线方程为x29−y23=k(k≠0)，
将点(3 , 2)代入双曲线方程可得99−23=k，解得k=13，
∴双曲线C的方程为x23−y2=1，故A正确；
左焦点(−2,0)到一条渐近线y=33x距离为2331+13=1，故B正确；
由x23−y2=1x−2y−1=0，消去x整理得y2−22y+2=0，即y−22=0，方程只有一个实数根，即直线x−2y−1=0与双曲线C只有一个公共点，故 C错误．

设过右焦点(2,0)的直线方程为y=k(x−2)，由x23−y2=1y=k(x−2)，消去y整理得(1−3k2)x2+12k2x−12k2−3=0，
由韦达定理可得x1+x2=−12k21−3k3,  x1·x2=−12k2−31−3k3,
则(1+k2)[(x1+x2)2−4x1·x2]=23，
即(1+k2)[(−12k21−3k2)2−4(−12k2−3)1−3k2]=12，
化简得(1+k2)(k2+1)=1−6k2+9k4，
解得k=0或k=1或−1．
故D正确．
故选C．  
6.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的弦长问题，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力．
先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程进行联立，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．
【解答】
解：抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为l：x=−1，
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，M，N到准线的距离分别为dM，dN，
由抛物线的定义可知|MF|=dM=x1+1，|NF|=dN=x2+1，
于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2．
∵PF=4MF，易得到1−x12=14,x1=12，
则M(12,±2)，因为F(1,0)，
∴直线MN的斜率为±21−12=±22，
∵F(1,0)，∴直线PF的方程为：y=±22(x−1)，
将y=±22(x−1)，代入方程y2=4x，化简得2x2−5x+2=0，
∴x1+x2=52，于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=92，
故选C．
  
7.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的概念，性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查利用导数研究函数的单调性，最值，考查计算能力，属于较难题．
设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理及抛物线的焦半径公式，求得|AF|−9|BF|=2x12−x1+82x1+4，x1>0，根据函数的单调性，即可求得答案．
【解答】
解：由题意知，抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0)，
当斜率k存在时，设直线AB的方程为y=k(x−2)，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，
由y2=8xy=k(x−2)，整理得：k2x2−(4k2+8)x+4k2=0．
则 x1+x2=4k2+8k2，x1x2=4，则x2=4x1，
根据抛物线定义可知，|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，
|AF|−9|BF|=(x1+2)−9x2+2=(x1+2)−9x12x1+4=2x12−x1+82x1+4，x1>0，
设f(x)=2x2−x+82x+4，x>0，求导f′x=4x+5x−1(2x+4)2，令f′x=0，则x=1，
当x∈(0,1)，f′x0，
∴f(x)在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，
∴当x=1，f(x)取最小值，f(1)=2−1+82+4=32，
∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
当斜率不存在时，AF=BF=4，
此时|AF|−9|BF|=74，∴|AF|−9|BF|的最小值为32，
故选B．  
8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查三角形的余弦定理，化简运算能力，属于中档题．
求得抛物线的焦点和准线方程，过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，以及余弦定理，化简整理，解方程可得斜率k．
【解答】
解：抛物线y2=6x的焦点为F(32,0)，准线方程为x=−32，M(−32,0)，
过点M作斜率为k的直线方程设为y=k(x+32)，联立抛物线方程，可得
k2x2+(3k2−6)x+94k2=0，k≠0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，可得|AF|=x1+32，|BF|=x2+32，
则△=(3k2−6)2−9k4>0，即−10恒成立可得m∈R．
对于A，由抛物线定义可得|EF|=2+p2=4，解得：p=4，则抛物线方程是y2=8x，故A错误；
对于B，OA⋅OB=x1x2+y1y2=y122p·y222p+y1y2=p24−p2=−34p2，故B正确；
对于C，根据抛物线定义可知|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，
|AF|·|BF|=(x1+p2)(x2+p2)=(my1+p)(my2+p)
=m2y1y2+pm(y1+y2)+p2
=−m2p2+2p2m2+p2=p2(m2+1)=3p2，
则m2+1=3，解得：m=±2，直线l的斜率k=1m=±22，故C错误；
对于D，因为以线段AB为直径的圆交y轴于M,N两点，P为线段AB的中点，
所以sin∠PMN=dr，其中d是点P到y轴的距离d=x1+x22，r=|AB|2=x1+x2+p2，
由分析可知x1+x2=my1+p2+my2+p2=my1+y2+p=2pm2+p，
所以sin∠PMN=dr=x1+x2x1+x2+p=2pm2+p2pm2+2p=2m2+12m2+2=1−12(m2+1)，
因为2m2+1⩾2，所以0