2023年高考数学一轮复习单元质检卷五平面向量数系的扩充与复数的引入含解析北师大版文

单元质检卷五　平面向量、数系的扩充与复数的引入

(时间:60分钟　满分:80分)

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.

1.(2021广西南宁一模)复数z=(1+i)(1-2i),则z的虚部是(　　)

A.-3 B.-1 C.1 D.3

答案:B

解析:z=(1+i)(1-2i)=1-2i+i-2i2=3-i,因此复数z的虚部为-1.

2.已知向量a=(-1,2),b=(3,-2),c=(t,2-t),若(2a+b)∥c,则t=(　　)

A.- B. C.- D.

答案:D

解析:由2a+b=(1,2),又(2a+b)∥c,∴2t=2-t,可得t=.

3.(2021山东聊城二模)已知复数z1=-2+i,z2=,在复平面内,复数z1和z2所对应的两点之间的距离是(　　)

A. B. C.5 D.10

答案:B

解析:z1=-2+i所对应的点为(-2,1),z2==1+2i对应的点坐标为(1,2),所以复数z1和z2所对应的两点之间的距离为.

4.(2021云南昆明三模)已知向量a=(0,3),b=(4,0),则cos<a,a-b>=(　　)

A. B. C.- D.-

答案:A

解析:因为向量a=(0,3),b=(4,0),所以a-b=(-4,3),

所以cos<a,a-b>=.

5.(2021山西名校联考三模)已知△ABC的重心为O,则向量=(　　)

A. B.

C.- D.-

答案:C

解析:如图,设E,F,D分别是AC,AB,BC的中点,由于O是三角形ABC的重心,

所以×()=×=-.

6.若向量a=(1,-3),b=(-2,6),则(　　)

A.a⊥b B.a与b同向

C.a与b反向 D.|a|=2|b|

答案:C

解析:a·b=1×(-2)+(-3)×6=-20≠0,故A错误;∵b=(-2,6)=-2(1,-3)=-2a,∴a与b反向,故B错误,C正确;|a|=,|b|==2,|b|=2|a|,故D错误.

7.(2021四川泸州诊断测试)已知平面向量a,b满足|a|=,|b|=1,|a+b|=|a-b|,则|a-2b|=(　　)

A. B.5 C. D.7

答案:C

解析:∵|a+b|=|a-b|,∴|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=3-4×0+4×1=7,∴|a-2b|=.

8.(2021湖北黄石模拟)原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,||=2,||=1,||=3,若=λ+μ,则=(　　)

A.- B. C.- D.

答案:D

解析:建立如图所示的直角坐标系,根据题意,A(2,0),B-,C-,-,

因为=λ+μ,由向量相等的坐标表示可得

解得.

9.(2021山东泰安考前模拟)已知向量a=(λ,1),a-b=(0,4),a⊥b,则a-b在a方向上的投影为(　　)

A. B.2 C. D.

答案:B

解析:由a=(λ,1),a-b=(0,4),得b=(λ,-3),由a⊥b,得a·b=λ2-3=0,解得λ=±,所以|a|=2,故a-b在a方向上的射影为=2.

10.(2021四川资阳中学高三月考)任何一个复数z=a+bi(其中a,b∈R,i为虚数单位)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(其中r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.已知有公式[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈Z),由公式可知,“n为偶数”是“复数cos+isinn(n∈Z)为实数”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:由cos+isinn=cos+isin为实数,得sin=0,故=kπ,k∈Z,即n=2k,k∈Z;反之,若n为偶数,则设n=2k,k∈Z,则sin=sinkπ=0,则cos+isinn=cos+isin=cos,为实数.故“n为偶数”是“复数cos+isinn(n∈Z)为实数”的充要条件.

11.(2021湖南岳阳一模)已知等边三角形ABC的边长为4,O为三角形内一点,且+2=0,则△AOB的面积是(　　)

A.4 B. C. D.2

答案:D

解析:根据题意,设AB的中点为D,△ABC是等边三角形,则CD⊥AB,

AB的中点为D,则=2,

又由+2=0,则=-,则O是CD的中点,

又由△ABC的边长为4,则AD=2,CD=2,则OD=,则S△AOB=×4×=2.

12.(2021天津南开中学三模)如图,已知B,D是直角C两边上的动点,AD⊥BD,||=,∠BAD=),),则的最大值为(　　)

A. B.

C. D.

答案:C

解析:由题意,以点D为坐标原点,以DB方向为x轴正方向,以DA方向为y轴正方向,建立如图所示的直角坐标系,

因为||=,∠BAD=,所以BD=1,则D(0,0),B(1,0),A(0,).

又),),

所以M,N分别为BA,DA的中点,

因此M,N0,,

又CD⊥BC,所以点C可看作以BD为直径的圆上的点,

设C(x,y),则+y2=,即x2+y2=x,

又=-x,-y,=-x,-y,

所以=-x+x2+y+y2=x-y+,

令m=x-y,即x-2y-2m=0,

所以点C(x,y)为直线x-2y-2m=0与圆+y2=的一个交点,

因此圆心,0到直线x-2y-2m=0的距离小于等于半径,即d=,

解得≤m≤,

所以的最大值为.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2021全国甲,理14)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k=　　　　　. 

答案:-

解析:∵a⊥c,∴a·c=0,即a·(a+kb)=0,∴a2+ka·b=0,∵a=(3,1),b=(1,0),

∴10+3k=0,解得k=-.

14.(2021福建莆田三模)写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=　　　　　　. 

答案:1+2i(答案不唯一)

解析:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,

所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b或任取不为零的实数b,求出a即可得,答案不唯一,如z=1+2i.

15.(2021山东淄博二模)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=,则向量a-b和b的夹角为　　　　　. 

答案:

解析:由|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+4=3,得a·b=1,

由cos<a-b,b>==-,

所以向量a-b和b的夹角为.

16.(2021浙江嘉兴模拟)给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为120°,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R.则x+y的最大值为　　　　　;x-y的取值范围是　　　　　. 

答案:2　[-1,1]

解析:如图所示,以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

则A(1,0),B-,设C(cosθ,sinθ)0≤θ≤.

由于=(cosθ,sinθ),=(1,0),=-,

根据=x+y,得到从而

故x+y=cosθ+sinθ=2sinθ+,当θ=时,(x+y)max=2.

x-y=cosθ-sinθ=cosθ+,

又≤θ+,∴-≤cosθ+≤,即-1≤x-y≤1.