考点专练2：直线、平面平行的判定与性质-2023届高考数学一轮复习（新高考）含答案

考点专练：直线、平面平行的判定与性质

一、选择题

1．给出下列关于互不相同的直线l，m，n和平面α，β，γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n．

其中真命题的个数为(　　)

A.3    B.2     C.1    D.0

2.(2022·辽宁大连测试)已知直线l，m，平面α，β，γ，则下列条件能推出l∥m的是(　　)

A．l⊂α，m⊂β，α∥β    B．α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m

C．l∥α，m⊂α          D．l⊂α，α∩β＝m

3.(多选题)以下命题中，正确的命题有(　　)

A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行

B．在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行

C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行

D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交

4.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)

A．α内有一条直线与β平行       B．α内有无数条直线与β平行

C．α内有两条相交直线与β平行   D．α内有一条直线与β内的一条直线平行

5.(多选)已知α，β是两个平面，m，n是两个直线，则下列结论正确的是(　　)

A.如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n    B.如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β

C.如果α∥β，m⊂α，那么m∥β     D.如果m∥α，n∥β且α∥β，那么m∥n

6.(多选)(2021·苏州月考)已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m，n⊄α，m，n⊄β，给出下列四个论断：①α∥β；②m∥n；③m∥α；④n∥β．以其中三个论断为条件，剩余论断为结论组成四个命题．其中正确的命题是(　　)

7.已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，M是BB1的中点，动点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面ABD1，则动点P的轨迹所形成区域的面积是(　　)

A.    B.     C.1     D.2

8.(多选)如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个命题中正确的是(　　)

A.没有水的部分始终呈棱柱形          B.水面EFGH所在四边形的面积为定值

C.棱A1D1始终与水面所在平面平行    D.当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值

二、填空题

9.在四面体A­BCD中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是___________

10.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A′，B′，C′．若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________

11.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________；直线MD与平面BCC1B1的位置关系是___________．

三、解答题

12.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E，F分别是线段A1D，BC1的中点，延长D1A1到点G，使得D1A1＝A1G．证明：GB∥平面DEF．

13.如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，AB＝1，BC＝2．

(1)求异面直线AO与CM所成角的余弦值；

(2)设点P是线段AM上的点，且满足AP＝λPM，若直线CM∥平面BPD，求实数λ的值．

14.如图，平面EFGH分别与空间四边形ABCD中的BD，AD，AC，BC交于E，F，G，H，且AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH，CD＝a，AB＝b，CD⊥AB．

(1)求证：四边形EFGH为矩形；(2)点G在什么位置时，SEFGH最大？

参考答案：

一、选择题

1.C　 2.B　  3.CD　  4.C　  5.AC  　6.AC　  7.A　  8.ACD　

二、填空题

9.答案：平面ABD与平面ABC　 10.答案：4∶25　  11.答案：相交，平行　

三、解答题

12.证明：连接A1C，B1C，则B1C，BC1交于点F(图略)．

因为CBD1A1，D1A1＝A1G，所以CBA1G，所以四边形BCA1G是平行四边形，所以GB∥A1C．

又GB⊄平面A1B1CD，A1C⊂平面A1B1CD，所以GB∥平面A1B1CD．

又点D，E，F均在平面A1B1CD内，所以GB∥平面DEF．

13.解：(1)取AD的中点N，连接CN，MN，OM，ON(图略)．

因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD的中点，所以AO∥CN，

所以异面直线AO与CM所成角就是CN与CM所成的锐角或直角．

因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC．

在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，

所以NO⊥平面BCM．

又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM．

在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，所以MN＝．

又M是圆周上点，且∠CBM＝30°，所以CM＝1．

在△MCN中，CN＝，由余弦定理可求得cos∠MCN＝＝，

所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为．

(2)连接PB，PD，连接BD和AC交于点Q，连接PQ(图略)．

因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，所以CM∥PQ．

因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，所以PQ为△AMC的中位线，所以P为AM中点．

又AP＝λPM，所以λ的值为1．

14.(1)证明：因为CD∥平面EFGH，平面EFGH∩平面ADC＝FG，平面EFGH∩平面BDC＝EH，

所以FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，同理可证EF∥GH，所以四边形EFGH为平行四边形．

又因为AB⊥CD，所以EF⊥FG，所以四边形EFGH为矩形．

(2)解：设AG＝x，AC＝m，则＝，＝，所以GF＝x，GH＝(m－x)，

所以SEFGH＝GH·GF＝x×(m－x)＝(mx－x2)＝，所以当x＝时，SEFGH＝·＝