高中物理粤教版 (2019)必修 第二册第七节 生产和生活中的机械能守恒学案

第七节　生产和生活中的机械能守恒

学习目标：1.[科学态度与责任]了解落锤打桩机的工作原理，会用机械能守恒进行分析。　2.[科学思维]知道跳台滑雪运动项目和过山车模型，建立物理模型，制定运动策略。　3.[科学思维]理解功能关系，会用功能关系灵活分析问题。

一、落锤打桩机

落锤打桩机主要由桩锤、卷扬机和导向架(组成)打桩时，桩锤由卷扬机用吊钩提升到设计高度，然后使桩锤沿导向架自由下落打击管桩，桩锤自由下落过程符合机械能守恒定律。

二、跳台滑雪

跳台滑雪是滑雪运动项目的一种，为确保运动员的安全，同时使空中飞行的距离尽量远，需要综合考虑运动员速度、坡面倾斜度和跳台高度等要素。

三、过山车

过山车是游乐场中常见的机动游乐设施，过山车的速度必须满足一定的条件，即通过最高点的速度v≥才能保证过山车沿轨道正常运行。

四、能量的转化与守恒定律

1．内容

能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体，在转化或转移过程中其总量不变。

2．意义

揭示了自然界各种运动形式不仅具有多样性，而且具有统一性，能量既不能无中生有，也不能消灭，只能在一定条件下相互转化。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)做功的过程就是能量转化的过程。 (√)

(2)做功越多，能量的转化也越多。  (√)

(3)物体做了多少功，就有多少能量消失。 (×)

(4)过山车能过最高点的条件是在最高点v≥0。 (×)

2.如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是(　　)

A．重力势能减小，动能不变，机械能减小，总能量减小

B．重力势能减小，动能增加，机械能减小，总能量不变

C．重力势能减小，动能增加，机械能增加，总能量增加

D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒，总能量不变

B　[由能量守恒定律可知，小孩在下滑过程中总能量守恒，故A、C均错；由于摩擦力要做负功，机械能不守恒，故D错；下滑过程中重力势能向动能和内能转化，故只有B正确。]

3.图是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中(　　)

A．缓冲器的机械能守恒

B．摩擦力做功消耗机械能

C．垫板的动能全部转化为内能

D．弹簧的弹性势能全部转化为动能

B　[在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中，由于缓冲器要克服摩擦力做功，且缓冲器所受合力做功不为零，所以此过程中机械能不守恒，A错；

缓冲器克服摩擦力做功消耗机械能，B对；

垫板的动能部分转化为弹性势能，C错；

压缩弹簧过程的弹簧的弹性势能增加，D错。]

【例1】　小军看到打桩机，对打桩机的工作原理产生了兴趣。他构建了一个打桩机的简易模型，如图甲所示。他设想，用恒定大小的拉力F拉动绳端B，使物体从A点(与钉子接触处)由静止开始运动，上升一段高度后撤去F，物体运动到最高点后自由下落并撞击钉子，将钉子打入一定深度。按此模型分析，若物体质量m＝1 kg，上升1 m高度时撤去拉力，撤去拉力前物体的动能Ek与上升高度h的关系图像如图乙所示。(g取10 m/s2，不计空气阻力)

(1)求物体上升到0.4 m高度处F的瞬时功率；

(2)若物体撞击钉子后瞬间弹起，且使其不再落下，钉子获得20 J的动能向下运动，钉子总长为10 cm，撞击前插入部分可以忽略，不计钉子重力。已知钉子在插入过程中所受的阻力f与深度x的关系图像如图丙所示，求钉子能够插入的最大深度。

思路点拨：(1)动能与势能之和是物体的机械能，由图像可以求出物体上升0.4 m时物体的速度，根据动能定律求得力F的大小，然后代入功率的计算式即可；

(2)钉子在插入过程中所受阻力f对钉子做功，数值等于钉子动能的改变，根据动能定律即可求得结果。

[解析]　(1)撤去F前，根据动能定理，有(F－mg)h＝Ek－0

由图像乙得，斜率为k＝F－mg＝20 N，

代入数据解得F＝30 N，

又由图像得h＝0.4 m时，Ek＝8 J，即v＝4 m/s

代入数据解得PF＝Fv＝120 W。

(2)碰撞后，对钉子，有－x′＝0－Ek′，Ek′＝20 J

由于平均阻力是最大阻力的一半，所以＝＝

又由图像丙得k′＝105N/m

代入数据解得：  x′＝0.02 m。

[答案]　(1)瞬时功率为120 W　(2)最大深度为0.02 m

【例2】　高台滑雪以其惊险刺激而闻名，运动员在空中的飞跃姿势具有很强的观赏性。某滑雪轨道的完整结构可以简化成如图所示的示意图。其中AB段是助滑坡，倾角α＝37°，BC段是水平起跳台，CD段是着陆坡，倾角θ＝30°，DE段是停止区，AB段与BC段平滑相连，轨道各部分与滑雪板间的动摩擦因数均为μ＝0.03，图中轨道最高点A处的起滑台距起跳台BC的竖直高度h＝47 m。运动员连同滑雪板的质量m＝60 kg，滑雪运动员从A点由静止开始起滑，通过起跳台从C点水平飞出，运动员在着陆坡CD上的着陆位置与C点的距离l＝120 m。设运动员在起跳前不使用雪杖助滑，忽略空气阻力的影响，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：

(1)运动员在助滑坡AB上运动加速度的大小；

(2)运动员在C点起跳时速度的大小；

(3)运动员从起滑台A点到起跳台C点的过程中克服摩擦力所做的功。

[解析]　(1)运动员在助滑坡AB上运动时，根据牛顿第二定律得：

mgsin α－μmgcos α＝ma

解得：a＝g(sin α－μcos α)＝10×(0.6－0.03×0.8)＝5.76 m/s2。

(2)设运动员从C点起跳后到落到着陆坡上的时间为t，C点到着陆坡上着陆点的距离为L。运动员从C点起跳后做平抛运动，则有

竖直方向：Lsin θ＝gt2…  ①

水平方向：Lcos θ＝v0t…  ②

由①：②得：tan θ＝

解得t＝2s，v0＝30 m/s。

(3)运动员从起滑台A点到起跳台C点的过程，根据动能定理得

mgh－Wf＝mv

解得克服摩擦力所做的功Wf＝mgh－mv＝60×10×47－×60×302＝1 200 J。

[答案]　(1)5.76 m/s2　(2)30 m/s　(3)1 200 J

【例3】　过山车是游乐场中常见的设施。如图是一种过山车运行轨道的简易模型，它由竖直平面内粗糙斜面轨道和光滑圆形轨道组成。过山车与斜面轨道间的动摩擦因数为μ，圆形轨道半径为R，A点是圆形轨道与斜面轨道的切点。过山车(可视为质点)从倾角为θ的斜面轨道某一点由静止开始释放并顺利通过圆形轨道。若整个过程中，人能承受过山车对他的作用力不超过其自身重力的8倍。求过山车释放点距A点的距离范围。

思路点拨：(1)当过山车恰好通过圆形轨道的最高点时，对应距A点距离的最小值。

(2)当过山车在圆形轨道最低点时，人受到的支持力为自身重力8倍时，对应距A点距离的最大值。

[解析]　过山车恰能通过圆轨道的最高点

从释放的最低点到A点，由动能定理mgL1sin θ－μmgL1cos θ＝mv

设过山车经过最高点速度为v，从A点到圆轨道的最高点，由机械能守恒定律

mv＝mgR(1＋cos θ)＋mv2

在圆轨道最高点，由牛顿第二定律mg＝

解得：L1＝

过山车在圆轨道最低点承受作用力最大

从释放的最高点到A点，由动能定理mgL2sin θ－μmgL2cos θ＝mv′

从A点到圆轨道的最低点，由机械能守恒定律mv′＋mgR(1－cos θ)＝mv2

在圆轨道最低点，由牛顿第二定律

FN－mg＝ ；FN＝8mg

解得： L2＝

过山车释放点距A点的距离范围

≤L≤。

[答案]　≤L≤

1.功与能量的转化

不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的。做功的过程就是各种形式的能量之间转化(或转移)的过程，且做了多少功，就有多少能量发生转化(或转移)。因此，功是能量转化的量度。

2．功与能的关系

由于功是能量转化的量度，某种力做功往往与某一种具体形式的能量转化相联系，具体功能关系如下：

【例4】　如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为M的长木块以一定的初速度向右匀速运动，将质量为m的小铁块无初速度地轻放到长木块右端，小铁块与长木块间的动摩擦因数为μ，当小铁块在长木块上相对长木块滑动L时与长木块保持相对静止，此时长木块对地的位移为l，求这个过程中：

(1)小铁块增加的动能；

(2)长木块减少的动能；

(3)系统机械能的减少量；

(4)系统产生的热量。

思路点拨：(1)由W合＝ΔEk分析小铁块及长木板动能的变化。

(2)由W外＝ΔE分析系统机械能的减少量，由能量守恒分析系统产生的热量。

[解析]　画出这一过程两物体位移示意图，如图所示。

(1)根据动能定理得μmg(l－L)＝ΔEk

即小铁块动能的增加量等于滑动摩擦力对小铁块做的功。

(2)摩擦力对长木块做负功，根据功能关系得ΔEkM＝－μmgl，即长木块减少的动能等于长木块克服摩擦力做的功μmgl。

(3)系统机械能的减少量等于系统克服摩擦力做的功ΔE＝μmgL。

(4)m、M间相对滑动的位移为L，根据能量守恒定律，有Q＝μmgL，即摩擦力对系统做的总功等于系统产生的热量，也等于系统减少的机械能。

[答案]　(1)μmg(l－L)　(2)μmgl　(3)μmgL　(4)μmgL

1．公式W＝F·s·cos θ中s均指物体对地位移。

2．两物体间滑动摩擦产生的内能Q＝f·s相对，s相对指两接触面间的相对位移(或相对路程)。

1．滑雪运动员沿斜坡下滑了一段距离，重力对他做功为2 000 J，他克服阻力做功100 J。则该运动员的(　　)

A．机械能减少了100 J

B．动能增加了2 100 J

C．重力势能减少了1 900 J

D．重力势能增加了2 000 J

A　[重力做功等于重力势能减少量，C、D错误。克服阻力做功，机械能减少，A正确。总功等于动能的增加，且阻力做负功，故B错误。]

2．(多选)在体育比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项。质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)(　　)

A．他的动能减少了Fh－mgh

B．他的重力势能增加了mgh

C．他的机械能减少了(F－mg)h

D．他的机械能减少了Fh

AD　[由动能定理，ΔEk＝mgh－Fh，动能减少了Fh－mgh，A选项正确；他的重力势能减少了mgh，B选项错误；他的机械能减少了ΔE＝Fh，C选项错误，D选项正确。]

3．(多选)一个质量为m的物体以a＝2g的加速度竖直向下运动，则在此物体下降h高度的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物体的重力势能减少了2mgh

B．物体的动能增加了2mgh

C．物体的机械能保持不变

D．物体的机械能增加了mgh

BD　[物体以a＝2g的加速度向下运动，说明除重力外，还有其他力对物体做正功。物体下降h，重力势能减少mgh，A错误。动能增加2mgh，B正确。物体的机械能增加mgh，C错误，D正确。]

4．芬兰小将拉林托以两跳240.9分的成绩在跳台滑雪世界杯芬兰站中获得冠军。如图所示是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，拉林托从助滑雪道AB上由静止开始滑下，到达C点后水平飞出，落到滑道上的D点，E是运动轨迹上的某一点，在该点拉林托的速度方向与轨道CD平行，设拉林托从C到E与从E到D的运动时间分别为t1、t2，EF垂直CD，则(　　)

A．t1＝t2，CF＝FD　　 B．t1＝t2，CF<FD

C．t1＞t2，CF＝FD D．t1＞t2，CF<FD

B　[以C点为原点，CD为x轴，和CD垂直向上方向为y轴，建立坐标系；进行运动分解，y轴方向做类竖直上抛运动，x轴方向做匀加速直线运动。当运动员速度方向与轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据对称性，t1＝t2，而x轴方向运动员做匀加速运动，t1＝t2，故CF＜FD，故B正确。故选B。]

5．打桩机的重锤质量是500 kg，把他提升到离地面12 m高处，然后让它自由下落(以地面为零势能面)，求：

(1)重锤在最高处的重力势能；

(2)重锤下落5 m时的重力势能、动能和速度的大小；

(3)重锤落地时动能和速度的大小。

[解析]　(1)取地面为零势能面，则重锤在最高处的高度为h1＝12 m，所以重锤的重力势能为Ep1＝mgh1＝6×104 J。

(2)重锤下落5 m时离地高度为h2＝7 m

重力势能为：Ep2＝mgh2＝3.5×104 J，

根据机械能守恒，0＋mgh1＝Ek2＋mgh2

动能Ek2＝mgh1－mgh2＝2.5×104J

由Ek2＝mv2，得v＝10 m/s。

(3)根据机械能守恒，重锤落地时的动能Ek3＝mgh1＝6×104J

由Ek3＝mv得重锤落地时速度v3＝15.5 m/s。

[答案]　(1)6×104J　(2)3.5×104J,2.5×104J,10 m/s

(3)6×104J,15.5 m/s