物理选择性必修 第一册1 简谐运动学案设计

简谐运动

必备知识·自主学习

一、弹簧振子

　图中小球和弹簧组成的系统在什么情况下可看成弹簧振子?在可看成弹簧振子的情况下,小球的运动有什么特征?

提示:一要弹簧的质量和小球相比可忽略,二要忽略小球与杆之间的摩擦阻力及空气阻力。小球在平衡位置两侧做等幅振动,其运动关于平衡位置对称。

1.机械振动:物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。

2.振动特点:振动是一种往复运动,具有周期性和往复性。

3.弹簧振子模型

如图所示,如果空气阻力及球与杆之间的摩擦可以忽略,且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略,则该装置为弹簧振子,有时也简称为振子。

4.平衡位置:振子原来静止时的位置。

5.振子的位移:振子相对平衡位置的位移。

二、弹簧振子的位移—时间图像

如图所示的弹簧振子正在做以O为中心的往复运动。那么,如何了解其运动特点呢?

提示:我们可以以平衡位置为坐标原点,以水平向右为正方向建立坐标轴,利用频闪照相等方法得到相等时间间隔内不同时刻的小球的位置,进而得到振子的运动特点。

1.建立坐标系:以振子的平衡位置为坐标原点,明确纵、横轴意义。规定振子在平衡位置右边时,位移为正,在平衡位置左边时,位移为负。

2.图像绘制:用频闪照相的方法来显示振子在不同时刻的位置。两个坐标轴分别代表时间t和振子位移x,绘制出的图像就是振子在平衡位置附近往返运动时的位移—时间图像,即x -t图像。

三、简谐运动

如图所示,弹簧振子的位移—时间图像好像是正弦曲线,那到底是不是呢?是的话又说明什么呢?

提示:是正弦曲线,说明弹簧振子的位移随时间成正弦规律变化。

1.定义:如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动叫作简谐运动。

2.特点:简谐运动是最简单、最基本的振动,其振动过程关于平衡位置对称,是一种往复运动。弹簧振子的运动就是简谐运动。

3.简谐运动的图像

(1)形状:正弦曲线,凡是能写成x=Asin(ωt+φ)的曲线均为正弦曲线。

(2)物理意义:表示振动的质点在不同时刻偏离平衡位置的位移,是位移随时间的变化规律。

(3)应用:医院的心电图仪,地震仪中绘制地震曲线的装置等。

(1)弹簧振子是一种理想化的模型。 (√)

(2)弹簧振子的平衡位置都在原长处。 (×)

(3)平衡位置即速度为零时的位置。 (×)

(4)振子的位移-5 cm小于1 cm。 (×)

(5)简谐运动的轨迹是一条正弦(或余弦)曲线。 (×)

(6)简谐运动是一种匀变速直线运动。 (×)

关键能力·合作学习

知识点一　弹簧振子和简谐运动的特点

角度1弹簧振子的运动特点

1．实际物体看作弹簧振子的四个条件

(1)弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子(小球)；

(2)构成弹簧振子的小球体积足够小，可以认为小球是一个质点；

(3)忽略弹簧以及小球与水平杆之间的摩擦力；

(4)小球从平衡位置被拉开的位移在弹性限度内。

2．弹簧振子的运动特点

(1)弹簧振子在运动过程中，振子所受到的弹力随位移的变化而变化，因而弹簧振子的运动是非匀变速运动。

(2)振子受到的弹力是变力，弹簧振子的运动是变加速运动。

【典例1】如图所示，将小球向下拉动一小段距离，则之后小球所做的运动属于下列哪一种(　　)

A．匀速运动

B．匀变速运动

C．加速运动

D．机械振动

【解析】选D。以弹簧振子为例，振子是在平衡位置附近做往复运动，并且平衡位置处合力为零，加速度为零，速度最大，从平衡位置向最大位置运动的过程中，由F＝－kx可知，振子的受力是变化的，因此加速度也是变化的，朝平衡位置运动时速度增加，远离平衡位置运动时速度减小，故A、B、C错，由题意知，小球将以其静止时所在位置为平衡位置上下振动，故其运动为机械振动。

【母题追问】若将上题情景变为如图所示的水平方向的弹簧振子，则小球在平衡位置附近运动时，小球的运动属于下列哪一种？(选项不变)(　　)

【解析】选D。小球受重力、杆的支持力及弹簧弹力，其中重力和支持力大小相等、方向相反，合力为零，弹簧弹力变化，故小球所受合力变化，小球做非匀变速往复运动，朝平衡位置运动时速度增加，远离平衡位置运动时速度减小，同时也是机械振动，故选D。

根据受力特点判断运动情况

(1)物体的受力情况及初状态决定其运动性质；

(2)若物体受的合力为恒力，则物体做匀变速运动，若合力为变力，则为非匀变速运动。

角度2简谐运动的位移、速度与加速度

1．简谐运动的位移

位移的表示方法：以平衡位置为坐标原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某时刻振子偏离平衡位置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。

2．简谐运动的速度

(1)物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称“一维坐标系”)上，速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。

(2)特点：如图所示为一简谐运动的模型，振子在O点速度最大，在A、B两点速度为零。

3．简谐运动的加速度

(1)产生：水平弹簧振子的加速度是由弹簧弹力产生的。

(2)方向特点：指向平衡位置，总是与位移方向相反。

(3)大小变化：远离平衡位置运动，振子的加速度增大；向平衡位置运动，振子的加速度减小；平衡位置振子的加速度为零；最大位移处振子的加速度最大。

4．简谐运动的对称性

如图所示，物体在A点和B点之间运动，O点为平衡位置，C和D两点关于O点对称，则：

(1)时间的对称。

①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如tDB＝tBD。

②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中tOB＝tBO＝tOA＝tAO，tOD＝tDO＝tOC＝tCO。

(2)速度的对称。

①物体连续两次经过同一点(如D点)的速度大小相等，方向相反。

②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)的速度大小相等，方向可能相同，也可能相反。

(3)位移和加速度的对称。

①物体经过同一点(如C点)时，位移相同。

②物体经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时，位移大小相等，方向相反。

将小球从平衡位置O向下压一段后释放，请思考：

 (1)小球做什么运动？

提示：往复运动

(2)小球在振动过程中的位移和速度怎样变化？

提示：越靠近平衡位置，小球的位移越小，速度越大；越远离平衡位置，小球的位移越大，速度越小。

(3)在什么条件下小球的运动可看成简谐运动？

提示：满足两个条件：一、忽略弹簧质量，二、忽略所有摩擦阻力及空气阻力。

【典例2】(2021·宿迁高二检测)如图所示，水平方向上有一弹簧振子，O点是其平衡位置，振子在a和b之间做简谐运动，关于振子下列说法正确的是(　　)

A.在a点时加速度最大，速度最大

B．在O点时速度最大，位移最大

C．在b点时位移最大，速度最小

D．在b点时加速度最大，速度最大

【解析】选C。O为弹簧振子振动的平衡位置，其加速度为零，位移为零，速度最大，B错误；振子在a、b两位置，振动的位移最大，加速度最大，速度为零，故A、D错误，C正确。

简谐运动中位移与速度的矢量性

(1)位移相同时，振子的速度大小相等，但方向可能相同也可能相反；

(2)速度相同时，振子的位移大小相同，方向可能相同，也可能相反。

1.弹簧上端固定在O点，下端连接一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段距离后释放小球，小球便上下振动起来，在振子从平衡位置下方向平衡位置运动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．振子所受的弹力逐渐增大

B．振子的位移逐渐增大

C．振子的速度逐渐减小

D．振子的加速度逐渐减小

【解析】选D。在平衡位置，振子所受弹簧弹力等于重力，在从平衡位置下方向平衡位置运动时，振子所受弹力逐渐减小，加速度及位移逐渐减小，由于此过程加速度与速度方向相同，故速度逐渐增大。故选D。

2.如图所示，一升降机在箱底装有若干弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的运动过程中(　　)

A．升降机的速度不断减小

B．升降机的加速度不断变大

C．升降机的加速度最大值等于重力加速度值

D．升降机的加速度最大值大于重力加速度值

【解析】选D。从弹簧接触地面开始分析，升降机做简谐运动(简化为如图中小球的运动)，在升降机从A→O过程中，速度由v1增大到最大vm，加速度由g减小到零，当升降机运动到A的对称点A′点(OA＝OA′)时，速度也变为v1(方向竖直向下)，加速度为g(方向竖直向上)，升降机从O→A′点的运动过程中，速度由最大vm减小到v1，加速度由零增大到g，从A′点运动到最低点B的过程中，速度由v1减小到零，加速度由g增大到a(a>g)，故答案为D选项。

【加固训练】

如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现使重球(视为质点)从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的错误说法应是(　　)

A．重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动

B．重球下落至b处获得最大速度

C．重球下落至d处获得最大加速度

D．由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于重球由c下落至d处时重力势能减少量

【解析】选A。重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于重球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定A错误，B、D正确。C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可以非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a′使ab＝a′b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a′的加速度大小相等，方向相反，如图所示，而在d点的加速度大于在a′点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。

知识点二　简谐运动的图像

1．物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移随时间的变化规律。

2．图像形状：正(余)弦曲线

3．图像应用

(1)任意时刻质点位移的大小和方向。如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2。

(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻向上振动。图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻向上振动。

(3)某段时间内位移、速度、加速度的变化情况判断：先判断质点在这段时间内的振动方向，从而确定各物理量的变化。如图甲所示，质点在t1时刻到t0时刻这段时间内，离平衡位置的位移变小，故质点正向平衡位置运动，速度增大，位移和加速度都变小；t2时刻，质点从负位移处远离平衡位置运动，则速度为负值且减小，位移、加速度增大。

如图所示为利用沙摆描绘简谐运动的装置，沙摆在做简谐运动的过程中，讨论：

(1)若木板静止，沙摆漏出的沙在木板上成什么形状？

提示：开始时成线状，渐渐地成了中间较高，两侧较低的长条状沙堆。

(2)若将木板沿与沙摆摆动相垂直的方向匀速抽出，木板上的沙成什么形状？

提示：成正(余)弦曲线。

【典例】如图所示是表示一振子做简谐运动的图像，下列说法正确的是(　　)

A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动

B．t2时刻振子的位移最大

C．t3时刻振子正通过平衡位置向负方向运动

D．该图像是从平衡位置计时画出的

【解析】选B。从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D选项错误；t1时刻以后振子的位移为负，因此t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A选项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是振子的位移最大，B选项正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，C选项错误。

分析简谐运动图像问题的三点提醒

(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律，简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹，运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。

(2)在x­t图像上，质点在某时刻的位移，即为此时刻对应的纵坐标。

(3)质点在某段时间内的路程(轨迹的长度)，需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。

1．(母题追问)在典例所述情景中，下列说法正确的是(　　)

A．t＝0时刻振子的加速度最大

B．t1时刻振子的加速度最大

C．t2时刻振子的速度最大

D．该图像表明该弹簧振子的轨迹是一余弦曲线

【解析】选A。从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，此时振子的速度为零，加速度最大，A项正确；t1时刻振子处于平衡位置，此时其速度最大，加速度为零，B项错误；t2时刻振子在负的最大位移处，速度为零，加速度最大，C项错误；简谐运动的位移—时间图像表示弹簧振子的位移随时间变化的规律，不表示振子轨迹，D项错误。

2.如图所示为弹簧振子的振动图像，关于振子的运动，下列描述正确的是(　　)

A．振子沿题干所示的曲线运动

B．图像描述的是振子的位移随时间变化的规律

C．从0.5 s到1.5 s内振子先加速运动后减速运动

D．从1 s到2 s内振子先减速运动后加速运动

【解析】选B。振动图像表达的是振子的位移随时间变化的规律，不是运动轨迹，选项A错，B对；振子运动到平衡位置时速度最大，由图像得出：0.5 s时振子在平衡位置，1 s时在负的最大位移处，1.5 s时又回到平衡位置，2 s时在正的最大位移处，所以在0.5 s到1.5 s内振子先减速运动后加速运动，C错；在1 s到2 s内振子先加速运动后减速运动，D错。

【加固训练】

如图甲所示，质点在a、b两点之间做简谐运动，质点做简谐运动的图像如图乙所示。若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是(　　)

A.质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动

B．质点在1.5 s时的位移最大

C．1.2～1.4 s，质点的位移在减小

D．1.6～1.8 s，质点的位移在增大

【解析】选B。由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，所以A项错误；质点在

1.5 s时的位移达到最大，故B项正确；在1.2～1.4 s，质点正在远离平衡位置，所以其位移在增加，故C项错误；1.6～1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，故D项错误。

【拓展例题】考查内容：对振动图像的理解

【典例】质点做简谐运动，其x­t关系如图所示。以x轴正方向为速度v的正方向，该质点的v­t关系是(　　)

【解析】选B。在t＝0时刻，质点的位移最大，速度为0，则下一时刻质点应向下运动，故选项A、C错误；在t＝时刻，质点的位移为0，速率最大，故选项B正确，选项D错误。

情境·模型·素养

用手拨动的弹簧片，上下跳动的皮球，小鸟飞离后颤动的树枝。

探究：

(1)以上物体的运动有什么共同点？

(2)以上物体的运动是简谐运动吗？

【解析】(1)以上物体的运动都具有往复性，都是机械振动。

(2)用手拨动的弹簧片和颤动的树枝在忽略空气阻力的情况下可看成简谐运动，上下跳动的皮球即使在忽略空气阻力的情况下也不能看成简谐运动。

答案：见解析

在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录。如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带。当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示。

探究：

(1)记录用笔P做什么运动？

(2)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，作出P的振动图像。

【解析】(1)在忽略空气阻力和摩擦阻力的情况下可认为P的运动为简谐运动。

(2)由图乙可知，P运动的最大位移为2 cm，且其运动具有周期性，周期为T＝＝0.2 s，可作出P的振动图像如下：

答案：见解析