人教版 (2019)选择性必修 第一册3 简谐运动的回复力和能量学案及答案

简谐运动的回复力和能量

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．掌握简谐运动中回复力的特点。

2．会用动力学的方法，分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。

3．会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。

【思维脉络】

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课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　简谐运动的回复力

1．简谐运动的动力学定义

如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置的位移大小成__正比__，并且总是指向__平衡位置__，质点的运动就是简谐运动。

2．回复力

知识点 2　简谐运动的能量

1．振动系统的状态与能量的关系

(1)振子的速度与动能：速度不断__变化__，动能也在不断__变化__。

(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在不断__变化__，因而势能也在不断__变化__。

2．简谐振动的能量

振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。

(1)在最大位移处，__势能__最大，__动能__为零；

(2)在平衡位置处，__动能__最大，__势能__最小；

(3)在简谐运动中，振动系统的机械能__守恒__(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。

3．决定能量大小的因素

振动系统的机械能跟__振幅__有关，__振幅__越大，机械能就越大，振动越强。

思考辨析

『判一判』

(1)简谐运动的回复力可以是恒力。(　×　)

(2)简谐运动平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　×　)

(3)做简谐运动的质点，振幅越大其振动的能量就越大。(　√　)

(4)回复力的方向总是跟位移的方向相反。(　√　)

(5)弹簧振子在运动过程中机械能守恒。(　√　)

(6)通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。(　√　)

『选一选』

把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置O在A、B间振动，如图所示，下列结论正确的是(　C　)

A．小球在O位置时，动能最小，加速度最小

B．小球在A、B位置时，动能最大，加速度最大

C．小球从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功

D．小球从B到O的过程中，振动的能量不断减小

解析：振子经过平衡位置时，速度最大，位移为零，所以经过平衡位置动能最大，回复力为零，加速度为零，故A错误；在A、B位置时，速度为零，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误；由于回复力指向平衡位置，所以振子从A经O到B的过程中，回复力先做正功，后做负功，故C正确；振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即振动的能量保持不变，故D错误。

『想一想』

弹簧下面挂一小钢球如图所示，它所受的力与位移的关系也满足F＝－kx吗？x为弹簧的形变量吗？它振动的回复力由哪些力提供？是简谐运动吗？

答案：满足；不是；由弹簧弹力和重力的合力提供；是

解析：设振子的平衡位置为O，向下为正方向，此时弹簧已伸长了x0

设弹簧的劲度系数为k，由平衡条件得kx0＝mg ①

当振子偏离平衡位置距离为x时

F回＝mg－k(x＋x0) ②

由①②得F回＝－kx，

所以该振动是简谐运动。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

简谐运动的回复力和加速度

┃┃情境导入__■

下图为水平弹簧振子的模型，则：

(1)振子在运动过程中所受的合力有什么特点？

(2)振子所受的合力产生了什么效果？

提示：(1)振子所受的合力总是指向平衡位置。

(2)合力的效果总是把振子拉回到平衡位置。

┃┃要点提炼__■

1．回复力的来源

(1)回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来命名的，分析物体的受力时，不分析回复力。

(2)回复力可以由某一个力提供(如弹力、摩擦力等)，也可能是几个力的合力，还可能是某一力的分力，归纳起来回复力一定等于物体在振动方向上所受的合力。

2．简谐运动的回复力

(1)表达式：F＝－kx。

①由F＝－kx知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。

②公式F＝－kx中k指的是回复力与位移间的比例系数，而不一定是弹簧的劲度系数，系数k由振动系统自身决定。

3．加速度特点

根据牛顿第二定律，a＝＝－x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。

特别提醒

(1)回复力F＝－kx和加速度a＝－x是简谐运动的动力学特征和运动学特征，常用两式来证明某个振动为简谐运动。

(2)k的单位：式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。　

┃┃典例剖析__■

典例1 物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是(　A　)

A．平衡位置就是回复力为零的位置

B．处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态

C．物体到达平衡位置，合力一定为零

D．物体到达平衡位置，回复力不一定为零

思路引导：简谐运动中回复力不一定是物体受到的合外力。例如弹簧振子受到的回复力是合外力，单摆(后面学习)则不是。

解析：由回复力及平衡位置的定义可知，振子处于平衡位置时回复力为零，选项A正确D错误；物体停在平衡位置时处于平衡状态，物体振动至平衡位置时不一定处于平衡状态，合力不一定为零，选项B、C错误。

┃┃对点训练__■

1．(2021·山东省聊城高二检测)做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是图中的哪一个(　B　)

解析：物体做简谐运动时，加速度和位移的关系为a＝－x，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，根据数学知识可知图像B正确。

探究

对简谐运动能量的认识

┃┃情境导入__■

如图所示，在水平弹簧振子的运动过程中，弹性势能最大的位置有几个？动能最大的位置有几个？

提示：弹性势能最大的位置有两个，分别对应于振子运动的最左端和最右端。动能最大的位置只有一个，就是弹簧振子运动到平衡位置的时候。

┃┃要点提炼__■

1．决定因素

对于一个确定的振动系统，简谐运动的能量由振幅决定，振幅越大，系统的能量越大。

2．能量获得

开始振动系统的能量是通过外力做功由其他形式的能转化来的。

3．能量转化

当振动系统自由振动后，如果不考虑阻力作用，系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒。

4．理想化模型

a．从力的角度分析，简谐运动没考虑摩擦阻力。b．从能量转化角度分析，简谐运动没考虑因阻力做功能量损耗。

特别提醒

因为动能和势能是标量，所以：

(1)在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小；

(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时，具有相等的动能和相等的势能。　

┃┃典例剖析__■

典例2 如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量、当细线突然断开后，两物体都开始做简谐运动，在运动过程中(　C　)

A．甲的振幅大于乙的振幅

B．甲的振幅小于乙的振幅

C．甲的最大速度小于乙的最大速度

D．甲的最大速度大于乙的最大速度

思路引导：对甲乙两个物体进行受力分析，由物体的平衡条件可以分析弹力，进而分析弹簧的形变量，细线剪断之后甲乙两个物体都做简谐运动，弹簧和物体所构成的系统机械能守恒，再根据弹性势能和动能之间的相互转化可以确定所求关系。

解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动时的振幅是相等的，A、B错误；两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，所以C正确，D错误。

┃┃对点训练__■

2．右图为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知(　B　)

A．由于在0.1 s末位移为零，所以振子的振动能量为零

B．在0.2 s末振子具有最大势能

C．在0.4 s末振子具有的势能尚未达到最大值

D．在0.4 s末振子的动能最大

解析：简谐振动的能量是守恒的，故A、C错；0.2秒末、0.4秒末位移最大，动能为零，势能最大，故B对，D错。

核心素养提升

以题说法·启智培优

判断振动是否为简谐运动的方法

(1)以平衡位置为原点，沿运动方向建立直线坐标系。

(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外)，对振动物体进行受力分析。

(3)将力在振动方向上分解，求出振动方向上的合力。

(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F＝－kx(或a＝－x)，若符合，则为简谐运动，否则不是简谐运动。

案例 一个质量为m，侧面积为S的正方形木块放在水面上静止(平衡)，如图所示。现用力向下将其压入水中一小距离后撤掉外力，木块在水面上下振动，试判断木块的振动是否为简谐运动。

解析：以木块为研究对象，设静止时木块浸入水中Δx深，

当木块再被压入水中x后所受力如图所示，

则F回＝mg－F浮，又F浮＝ρgS(Δx＋x)。

由以上两式，得F回＝mg－ρgS(Δx＋x)＝mg－ρgSΔx－ρgSx。

∵mg＝ρgSΔx，∴F回＝－ρgSx。即F回＝－kx，(k＝ρgS)。即木块做简谐运动。

答案：是简谐运动