人教版 (2019)选择性必修 第一册4 单摆导学案

单摆

目标体系构建

明确目标·梳理脉络

【学习目标】

1．知道什么是单摆，了解单摆的构成。

2．掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。

3．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关计算。

【思维脉络】

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课前预习反馈

教材梳理·落实新知

知识点 1　单摆

1．单摆模型

(1)由细线和__小球__组成。

(2)细线的质量和小球相比__可以忽略__。

(3)小球的直径与线的长度相比__可以忽略__。

2．摆动特点：在摆角很小时，位移—时间图线是一条正弦曲线，说明单摆的运动是__简谐运动__。

知识点 2　单摆的回复力

1．回复力的来源

摆球的重力沿__圆弧切线__方向的分力。

2．回复力的特点

在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成__正比__，方向总指向__平衡位置__，即F＝__－x__。

知识点 3　单摆的周期

1．探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响

(1)探究方法：__控制变量__法。

(2)实验结论：

①单摆振动的周期与摆球质量__无关__。

②振幅较小时周期与振幅__无关__。

③摆长越长，周期__越大__；摆长越短，周期__越小__。

2．定量探究单摆的周期与摆长的关系

(1)周期的测量：用停表测出单摆N(30～50)次全振动的时间t，利用T＝____计算它的周期。

(2)摆长的测量：用__刻度尺__测出细线长度l0，用__游标卡尺__测出小球直径D，利用l＝__l0＋__求出摆长。

(3)数据处理：改变__摆长__，测量不同__摆长__及对应周期，作出T－l，T－l2或T－图像，得出结论。

3．周期公式

(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家__惠更斯__首先提出的。

(2)公式：T＝__2π__，即T与摆长l的二次方根成__正比__，与重力加速度g的二次方根成__反比__。

思考辨析

『判一判』

(1)制作单摆的细线不能太长也不能太短，1 m左右为宜。(　√　)

(2)制作单摆的摆球越大越好。(　×　)

(3)单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。(　×　)

(4)单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力。(　√　)

(5)单摆的周期与摆球的质量无关。(　√　)

(6)单摆的振幅越小，周期越小。(　×　)

『选一选』

单摆的振动周期在发生下述哪些情况时会增大(　D　)

A．摆球质量增大

B．摆长减小

C．单摆由赤道移到北极

D．单摆由海平面移到高山顶上

解析：单摆的周期公式可表示为：T＝2π，周期与摆球质量无关，选项A错误；摆长变小，周期变小，选项B错误；由赤道到北极g变大，T变小，选项C错误；海拔高度增大，g变小，T增大，选项D正确。综上本题选D。

『想一想』

2013年6月20日，中国首位“太空教师”王亚平在“天宫一号”内进行了授课。假设王亚平将一个摆钟(如图)带到空间站内，则该摆动的钟摆周期如何变化？

提示：在空间站内摆球完全失重，回复力为零，等效值g′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究

对单摆的回复力及运动特点的理解

┃┃情境导入__■

如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个夹角，然后释放。

(1)小球受到哪些力的作用？

(2)什么力提供向心力？

(3)什么力提供回复力？

提示：(1)小球受细线的拉力和重力作用。

(2)细线的拉力和重力沿径向的分力的合力提供向心力。

(3)重力沿圆弧切线方向的分力提供小球振动的回复力。

┃┃要点提炼__■

1．回复力来源

单摆的回复力是重力沿圆弧切向的分力F＝mgsinθ提供的。

2．单摆做简谐运动的推证

(1)在任意位置P，则有向线段为此时的位移x，重力G沿圆弧切线方向的分力G1＝Gsinθ提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力。

(2)在摆角很小时，sinθ≈θ＝，G1＝Gsinθ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝G1＝－。令k＝，则F回＝－kx。

因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。(摆角一般不超过5°)

特别提醒

(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力。

(2)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动。

┃┃典例剖析__■

典例1 将一个摆长为l的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是(　A　)

A．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθsinα

B．摆球做简谐运动的回复力为F＝mgsinθ

C．摆球经过平衡位置时合力为零

D．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F′＝mgsinα

思路引导：将重力准确分解到沿斜面方向是解题的关键。

解析：摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的分力沿圆弧的切向分力来提供，则回复力为F＝mgsinθsinα，故选项A正确，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误；设摆球在平衡位置时速度为v，由动能定理得mgsinα(l－lcosθ)＝mv2，由牛顿第二定律得F′－mgsinα＝m，由以上两式可得线的拉力为F′＝3mgsinα－2mgsinαcosθ，故选项D错误。

┃┃对点训练__■

1．图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　D　)

A．摆球在A点和C点处，速度为零，合力也为零

B．摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零

C．摆球在B点处，速度最大，回复力也最大

D．摆球在B点处，速度最大，向心力也最大

解析：摆球在摆动过程中，最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，故A、B错误；在最低点B，速度最大，回复力为零，摆球做圆周运动，其向心力最大，故C错误，D正确。

探究

对单摆周期公式的理解及应用

┃┃情境导入__■

惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行时克服摩擦所需的能量由重锤势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示。一只冬天很准的摆钟到了夏天却不准了，是走快了还是慢了？怎么调节才能重新准确计时？

提示：由冬天到夏天，摆杆变长，周期变大，摆钟走慢了，应将调节螺母上移。

┃┃要点提炼__■

1．单摆的周期

单摆的振动周期与振幅和质量无关，只决定于摆长与该处的重力加速度g，T＝2π。

2．对摆长的理解

(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径。

(2)等效摆长。

图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆动起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sina，这就是等效摆长，其周期T＝2π。

图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

3．影响g的主要因素

(1)g由单摆所在的空间位置决定。由g＝G知，g随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，高度越高，g的值就越小，另外，在不同星球上g也不同。

(2)g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a，则重力加速度的等效值g′＝g＋a；若升降机加速下降，则重力加速度的等效值g′＝g－a。

┃┃典例剖析__■

典例2

一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方 0.19l 处有一钉子P(如图所示)，现将摆球向左拉开到A，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。

思路引导：单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。

解析：释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动。

小球在左边的周期为T1＝2π

小球在右边的周期为T2＝2π

则整个单摆的周期为T＝＋＝π＋π＝1.9π

答案：1.9π

┃┃对点训练__■

2．(多选)(2020·北京师大附中高二下学期期中)下图为同一实验中甲、乙两个单摆的振动图像，从图像可知(　CD　)

A．两摆球的质量相等　 B．两单摆的振幅相等

C．两单摆相位相差π/2 D．两单摆的摆长相等

解析：单摆的周期与质量无关，故A错误；由振动图线可看出两单摆的振幅不同，相位差相差，故B错，C对；由图线知两单摆的周期都是T＝8 s，由周期公式可知两单摆的摆长相等，故D对。

核心素养提升

以题说法·启智培优

不同系统中的等效重力加速度

在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止时的摆线拉力与摆球质量的比值。

案例 如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是(　C　)

A．T1>T2>T3>T4　　 B．T1<T2＝T3<T4

C．T1>T2＝T3>T4 D．T1<T2<T3<T4

解析：图(1)中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力(mgsinθ)等效为重力，即单摆等效的重力加速度g1＝gsinθ；图(2)中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；图(3)为标准单摆；图(4)摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g4＝g＋a。由单摆振动的周期公式T＝2π，故T1>T2＝T3>T4，选项C正确。