2023年高考数学一轮复习课时规范练20简单的三角恒等变换含解析北师大版文

课时规范练20　简单的三角恒等变换

基础巩固组

1.(2021广西南宁三中模拟)sin-cos的值等于(　　)

A.- B C.- D

答案:A

解析:sin-coscossin-sincos=sin=-sin=-

2.(2021安徽亳州模拟)若cos-α=,则cos+2α=(　　)

A B.- C D.-

答案:C

解析:∵cos-α=,∴cos-α=sin--α=sin+α=

∴cos+2α=1-2sin2+α=1-

3.(2021山西晋中一模)已知sin α+cos α=1,则cos2α+=(　　)

A.- B.- C D.-

答案:C

解析:由sinα+cosα=1,可得sinα+=,

故cos2α+=1-2sin2α+=

4.(2021重庆一中高三月考)求值:=(　　)

A.1 B 

C D.2

答案:D

解析:原式==2

5.(2021江苏南京师大附中高三月考)若λsin 160°+tan 20°=,则实数λ的值为(　　)

A.3 B C.2 D.4

答案:D

解析:由λsin160°+tan20°=可得λsin20°+,

即λsin20°·cos20°=cos20°-sin20°,

所以sin40°=2sin(60°-20°)=2sin40°,所以λ=4.

6.(2021福建福州一中高三开学考试)已知θ∈,sin+θ=,则tan θ的值为(　　)

A B.- C.7 D.-7

答案:D

解析:因为θ∈,所以+θ∈,π.又因为sin+θ=,所以tan+θ=-,

所以tanθ=tan+θ-==-7.

7.(2021陕西西安一模)已知α∈,π,2sin 2α=cos 2α-1,则cos α=(　　)

A.- B.- C D.-

答案:B

解析:由2sin2α=cos2α-1可得4sinαcosα=-2sin2α,

因为α∈,π,所以0<sinα<1,cosα<0,

因此2cosα=-sinα,所以sin2α+cos2α=4cos2α+cos2α=5cos2α=1,

解得cosα=-(正值舍去).

8.已知tan(α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则2α-β=(　　)

A B.- C.- D或-

答案:C

解析:tanα=tan[(α-β)+β]=,又α∈(0,π),所以0<α<

所以tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]==1.

又<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-

9.(2021天津红桥模拟)=　　　　. 

答案:-4

解析:由题意得=-4.

10.(2021广东汕头二模)若α+β=,则cos α+cos β的最小值为　　　　　　. 

答案:-

解析:因为α+β=,所以cosα+cosβ=cosα+cos-α=cosα+coscosα+sinsinα=cosα+sinα=sinα+cosα=sinα+,

所以cosα+cosβ的最小值为-

11.(2021贵州遵义一模)已知α,β∈0,,tan α=,sin β=,则π-α-2β的值为　　　　　.

答案:

解析:因为α,β∈0,,所以cosβ=,

所以tanβ=,所以tan2β=,

则tan(α+2β)==1.

因为α,β∈0,,tanα=0,,sinβ=0,,

所以α,β∈0,,所以0<α+2β<,所以α+2β=,故π-α-2β=

综合提升组

12.(2021河南安阳一模)已知=7,则cosα-=(　　)

A.- B C D

答案:B

解析:∵cos2α+=1-2sin2α+,由=7,

得21-2sin2α+=7sinα+,

化简得4sinα+-1sinα++2=0.

∴sinα+=,sinα+=-2(舍去),

∴cosα-=cosα+-=sinα+=

13.(2021吉林长春一模)已知sinα-+cos α=,则sin2α+=(　　)

A B C.- D.-

答案:D

解析:∵sinα-+cosα=,

∴sinαcos-cosαsincosα=,

sinα-cosα+cosα=,

sinα+cosα=,

∴cosα-=,

∴sin2α+=sin2α-+=cos2α-=2cos2α--1=2×2-1=-

14.(2021云南昆明一中高三月考)已知m=2sin 18°,若m2+n=4,则=(　　)

A.- B.- C D

答案:B

解析:因为m=2sin18°,m2+n=4,

所以n=4-m2=4-4sin218°=4cos218°,

因此=-

15.(2021河北唐山一中高三月考)若sin 2α=,sin(β-α)=,且α∈,π,β∈π,,则α+β的值是(　　)

A B

C D

答案:A

解析:∵α∈,π,∴2α∈,2π.∵sin2α=,∴2α∈,π,

∴α∈,cos2α=-β∈π,,∴β-α∈,又sin(β-α)=,

∴cos(β-α)=-

∴cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=-×--

又α+β∈,2π,∴α+β=

创新应用组

16.(2021广东广州模拟)在△ABC中,满足cos2A+cos2B=1,则=　　　　.

答案:±4

解析:由cos2A+cos2B=1,=1,

即=1,

所以2+tan2A+tan2B=(1+tan2A)(1+tan2B),可得tanAtanB=±1.

又sin2A+sin2B+sin2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)]+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+sin2C=2sinCcos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-2sinCcos(A+B)=2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinAsinBsinC,

所以=4tanAtanB=±4.

17.(2021重庆南开中学高三月考)函数f(x)=的最小值为　　　　　　. 

答案:-

解析:f(x)=

设=t,可得4sinx-tcosx=3t,

可得sin(x-φ)=3t,

其中cosφ=,sinφ=

因为sin(x-φ)∈[-1,1],

所以|3t|,解得-t

因此f(x)的最小值为-

18.(2021广西来宾高三开学考试)设sinβ++sin β=,则sinβ-=　　　　. 

答案:或-

解析:依题意sinβ++sinβ=,

sinβ-+sinβ-=,

cosβ-+sinβ-+cosβ-=,

sinβ-+cosβ-=,

sinβ-+(+2)cosβ-=+1,

cosβ-=,代入sin2β-+cos2β-=1,

sin2β-+=1,

化简得(8+4)sin2β--(2+2)sinβ--(3+2)=0,

两边同时除以+2,得4sin2β-+(2-2)sinβ--=0,

2sinβ-+12sinβ--=0,

解得sinβ-=-或sinβ-=