2023年高考数学一轮复习课时规范练30等比数列含解析北师大版文

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课时规范练30　等比数列基础巩固组1.(2021陕西西安二模)在等比数列{an}中,a3a7=9,则a5=(　　)A.±3 B.3 C.± D答案:A解析:由等比数列的性质,可得=a3a7=9,则a5=±3.2.(2021四川成都三诊)已知数列{an}为等比数列,则“a6>a5>0”是“数列{an}为递增数列”的(　　)A.充要条件  B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案:B解析:设数列{an}的公比为q.充分性:当a6>a5>0时,q=>1,且a1=>0,则数列{an}为递增数列;必要性:当数列{an}为递增数列时,若a1<0,0<q<1,则0>a6>a5.故为充分不必要条件.3.(2021山西临汾二模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=21,a4-a1=21,则a3=(　　)A.9 B.10 C.11 D.12答案:D解析:设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1,则解得q=2,a1=3,则a3=3×22=12.4.(2021湖北鄂东南示范高中联考)在等比数列{an}中,a1+a2=10,a3+a4=20,则a7+a8=(　　)A.80 B.100 C.120 D.140答案:A解析:设等比数列{an}的公比为q,则q2==2,∴a7+a8=(a1+a2)q6=10×23=80.5.(2021安徽江南十校一模)将数列{3n+1}与{9n-1}的公共项从小到大排列得到数列{an},则a10=(　　)A.319 B.320 C.321 D.322答案:B解析:由题意知,数列{an}是首项为9,公比为9的等比数列,所以an=9n,则a10=910=320.6.(2021吉林长春四模)在等比数列{an}中,a1+a2=,a4+a5=18,则其前5项的积为(　　)A.64 B.81 C.192 D.243答案:D解析:设等比数列{an}的公比为q,由题意=q3=8,解得q=2,所以a1+a2=a1+2a1=,所以a1=,所以a1a2a3a4a5=q10=5×210=243.7.(2021河南新乡、商丘高三联考)设Sn为等比数列{an}的前n项和,且8a2-a5=0,Sm=5S2,则m的值是　　　　　. 答案:4解析:设等比数列{an}的公比为q,由8a2-a5=0,得8a1q=a1q4,解得q=2.又因为Sm=5S2,所以=5,解得m=4.8.(2021北京西城一模)在等比数列{an}中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=　　　　　;满足an>1的n的最大值为　　　　. 答案:-　3解析:因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q==-所以a1+a3=a1+q2a1=10,即a1=8,所以an=a1qn-1=8×-n-1,所以当n为偶数时,an<0;当n为奇数时,an=8=8×n-1=24-n>0.要使an>1,则4-n>0且n为奇数,即n<4且n为奇数,所以n=1或n=3,n的最大值为3.9.(2021河北邯郸二模)已知数列{an}满足an>0,an+1=3an+4.(1)证明:数列{an+2}为等比数列;(2)若a3=25,求数列{an-n}的前n项和Sn.(1)证明:由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2),因为an>0,所以an+2≠0,所以数列{an+2}为等比数列.(2)解:若a3=25,则an+2=(a3+2)×3n-3,即an+2=(25+2)×3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列{an-n}的前n项和Sn=(3+32+…+3n)--2n=-2n=.综合提升组10.(2021广东梅州二模)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=1,则+…+=　　　　　　. 答案:502解析:因为an+Sn=1,所以当n≥2时,an-1+Sn-1=1,两式相减,可得an-an-1+(Sn-Sn-1)=2an-an-1=0,即an=an-1(n≥2);当n=1时,可得a1+S1=2a1=1,解得a1=所以数列{an}表示首项为,公比为的等比数列,所以an=n,Sn==1-n,所以=2n-1,所以+…+=(2+22+…+28)-(1+1+…+1)=-8=29-10=502.11.(2021山东淄博高三)在等比数列{an}中,a1=2,公比q>1,a2,a3是函数f(x)=x3-6x2+32x的两个极值点,则数列{an}的前9项和是　　　　　　. 答案:1 022解析:由f(x)=x3-6x2+32x得f'(x)=x2-12x+32,又因为a2,a3是函数f(x)=x3-6x2+32x的两个极值点,所以a2,a3是函数f'(x)=x2-12x+32=(x-4)(x-8)的两个零点,即4或8,又因为a1=2,{an}是等比数列,所以a2=4,a3=8,故q=2.则前9项和为=210-2=1022.12.(2021河南湘豫名校联盟3月联考)已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2…an取得最小值的n为　　　　　. 答案:3或4解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=a1-a1q2=-8a1=-,∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.13.(2021湖南长沙模拟预测)在等比数列{an}中,a2=2,a5=,则满足a1a2+a2a3+…+anan+1成立的n的最大值为　　　　　. 答案:3解析:已知{an}为等比数列,设其公比为q,由a5=a2q3得,2q3=,q3=,解得q=,又a2=2,∴a1=4.=q2=,∴数列{anan+1}也是等比数列,其首项为a1a2=8,公比为∴a1a2+a2a3+…+anan+1=(1-4-n),从而有n∴n≤3.故nmax=3.14.(2021山东青岛西海岸新区高三期末)已知数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,则{an}的通项公式an=　　　　　;若数列{bn}的通项公式bn=n,将数列{bn}中与{an}相同的项去掉,剩下的项依次构成数列{cn},{cn}的前n项和为Tn,则T100=　　　　　　. 答案:2n　5 545解析:由题意,数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,当n=1时,a1=S1=22-2=2,适合上式,所以{an}的通项公式an=2n.在数列{bn}的前100项中与数列{an}相同的项为2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+…+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+…+b106)=(b1+b2+…+b100+b101+b102+…+b106)-(2+22+23+24+25+26)==5671-126=5545.创新应用组15.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得∠BEF=15°;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得∠FMN=15°;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EMQ的面积为S2).有以下结论:①数列{an}是公比为的等比数列;②S1=;③数列{Sn}是公比为的等比数列;④数列{Sn}的前n项和Tn<其中正确结论的序号有　　　　. 答案:②④解析:如图,由图知an=an+1·(sin15°+cos15°)=an+1sin(15°+45°)=an+1,对于①:an=an+1,a1=AB=1,所以数列{an}是公比为的等比数列,故不正确;对于②③:因为an=1×n-1=n-1,所以Sn=n-1-n=n-1,所以数列{Sn}是首项为,公比为的等比数列,故②正确,③不正确;对于④:Tn=1-n<,故④正确.16.(2021浙江温州一模)有一种病毒在人群中传播,使人群成为三种类型:没感染病毒但可能会感染病毒的S型;感染病毒尚未康复的I型;感染病毒后康复的R型(所有康复者都对病毒免疫).根据统计数据:每隔一周,S型人群中有95%仍为S型,5%成为I型;I型人群中有65%仍为I型,35%成为R型;R型人群都仍为R型.若人口数为A的人群在病毒爆发前全部是S型,记病毒爆发n周后的S型人数为Sn,I型人数为In,则Sn=　　　　;In=　　　　　.(用A和n表示,其中n∈N+) 答案:0.95nA　A解析:由题意,可得由①③可得Sn=0.95nA,代入②可得In+1=0.65In+0.05×0.95nA,则In+1-0.95n+1A=0.65×In-0.95nA,所以数列In-0.95nA为等比数列,公比为0.65,由④可得In-0.95nA=0.65n×I0-0.950A,整理得In=0.95nA-0.65nA=A.综上可得Sn=0.95nA,In=A.