2023年高考数学一轮复习课时规范练41直线的倾斜角斜率与直线的方程含解析北师大版文

课时规范练41　直线的倾斜角、斜率与直线的方程

基础巩固组

1.把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是(　　)

A.y=-x B.y=x 

C.x-y+2=0 D.x+y-2=0

答案:B

解析:已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点(1,)逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tanα=tan60°=,∴直线l的方程为y-(x-1),即y=x.

2.(2020上海静安期中)设直线的斜率k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),则该直线的倾斜角α满足(　　)

A.- B<<

C< D<

答案:B

解析:因为k=tanα,所以当k≤-1时,<,当k≥1时,<,即直线的倾斜角α满足<<故选B.

3.若经过两点A(4,2y+1),B(2,-3)的直线的倾斜角为,则y等于(　　)

A.-1 B.-3 C.0 D.2

答案:B

解析:由k==tan=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故选B.

4.(2020广东深圳调研)方程y=ax+b和y=bx+a表示的直线可能是(　　)

答案:D

解析:根据题意,依次分析选项:对于A,对于y=ax+b,图像经过第一、二、三象限,则a>0,b>0,y=bx+a也要经过第一、二、三象限,所以A选项错误;对于B,同理A,可得B选项错误;对于C,对于y=ax+b,图像经过第二、三、四象限,则a<0,b<0,y=bx+a也要经过第二、三、四象限,所以C选项错误;对于D,对于y=ax+b,图像经过第一、三、四象限,则a>0,b<0,y=bx+a要经过第一、二、四象限,符合题意.故选D.

5.(2020潍坊模拟)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为(　　)

A.2x+y-12=0 B.2x-y-12=0

C.2x+y-8=0 D.2x-y+8=0

答案:C

解析:由题知M(2,4),N(3,2),中位线MN所在直线的方程为,整理得2x+y-8=0.

6.(2020河南郑州期末)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为(　　)

A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0

C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=0

答案:D

解析:∵B(-1,0),C(0,2),∴线段BC的中点的坐标为,线段BC所在直线的斜率kBC=2,∴线段BC的垂直平分线的方程为y-1=-,即2x+4y-3=0.

∵AB=AC,∴△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上,

∴△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0.故选D.

7.过点(5,2)且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)

A.2x+y-12=0

B.2x+y-12=0或2x-5y=0

C.x-2y-1=0

D.x-2y-1=0或2x-5y=0

答案:B

解析:设所求直线在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为2a,①当a=0时,所求直线经过点(5,2)和(0,0),所以直线方程为y=x,即2x-5y=0;②当a≠0时,设所求直线方程为=1,又直线过点(5,2),所以=1,解得a=6,所以所求直线方程为=1,即2x+y-12=0.故选B.

8.在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中点N在x轴上,则直线MN的方程为　　　　　　. 

答案:5x-2y-5=0

解析:设C(x0,y0),则M,N.

因为点M在y轴上,所以=0,解得x0=-5.因为点N在x轴上,所以=0,解得y0=-3.

所以M0,-,N(1,0),所以直线MN的方程为=1,即5x-2y-5=0.

9.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为　　　　　. 

答案:16

解析:根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,

所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.

根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4,从而0(舍去)或4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16.

综合提升组

10.(2021贵州期末)一条经过点A(-4,2)的入射光线l的斜率为-2,若入射光线l经x轴反射后与y轴交于点B,O为坐标原点,则△AOB的面积为(　　)

A.16 B.12 C.8 D.6

答案:B

解析:设直线l与x轴交于点C,因为l的方程为y-2=-2(x+4),令y=0,得点C的坐标为(-3,0),从而反射光线所在直线的方程为y=2(x+3),令x=0,得B(0,6),所以△AOB的面积S=6×4=12.故选B.

11.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为(　　)

A.1 B.4 C.2 D.8

答案:B

解析:因为直线ax+by=ab过点(1,1),所以a+b=ab,即=1.因为直线在x轴上的截距为b,在y轴上的截距为a,所以直线在x轴、y轴上的截距之和为a+b.a+b=(a+b)=2+2+2=4,当且仅当a=b=2时取等号,故最小值为4.故选B.

12.(2020湖南益阳模拟)直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(　　)

A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)

C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)

答案:C

解析:令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形的面积为|-b|=b2,且b≠0,b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].

13.(2020山东日照高三段考)已知直线l过点P(2,-1),在x轴、y轴上的截距分别为a,b,且满足a=3b,则直线l的方程为　　　　　　　　. 

答案:x+2y=0或x+3y+1=0

解析:若a=0,则直线l过原点(0,0),

此时直线l的斜率k=-,故直线l的方程为x+2y=0.

若a≠0,则设直线l的方程为=1,即=1.

因为点P(2,-1)在直线l上,所以=1,解得b=-

从而直线l的方程为x+3y+1=0.

综上可知,直线l的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.

14.(2020海南琼州中学模拟)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).

(1)求证:直线l过定点;

(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围;

(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程.

(1)证明:直线l的方程可化为k(x+2)+(1-y)=0.

由解得故无论k取何值,直线l恒过定点(-2,1).

(2)解:直线l的方程可化为y=kx+1+2k.当k≠0时,要使直线l不经过第四象限,则有解得k>0.

当k=0时,直线l的方程为y=1,显然符合题意.

综上,k的取值范围是[0,+∞).

(3)解:依题意,A,B(0,1+2k),且解得k>0.

所以S=|OA|·|OB|=|1+2k|=(2×2+4)=4,

当且仅当4k=,即k=时,等号成立.

所以Smin=4,

此时直线l的方程为x-2y+4=0.

创新应用组

15.已知函数f(x)=log2(x+1),且a>b>c>0,则的大小关系为　　　　　　　.

答案:

解析:作出函数f(x)=log2(x+1)的大致图像,如图所示,可知当x>0时,曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以

16.(2020山东德州高三模拟)已知实数x,y满足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),则的最大值为　　　　　,最小值为　　　　　. 

答案:8　

解析:如图,作出y=x2-2x+2(-1≤x≤1)的图像,即曲线段AB,则表示定点P(-2,-3)与曲线段AB上任意一点(x,y)的连线的斜率k.连接PA,PB,由图可知kPA≤k≤kPB.易得A(1,1),B(-1,5),则kPA=,kPB==8,所以k≤8.故的最大值为8,最小值为